山东省临沂市郯城县高考补习学校2025届高三下学期3月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“”的否定是( )
A. B. C. D.
2.设为虚数单位，复数的共轭复数为，若，则在复平面内对应的点位于第 象限
A. 一 B. 二 C. 三 D. 四
3.已知，则( )
A. B. C. D.
4.已知平面向量是两个单位向量，在上的投影向量为，则( )
A. B. C. D.
5.已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，过作的垂线，垂足为若，则到轴的距离为( )
A. B. C. D.
6.已知是递增的等比数列，若，则当取得最小值时，( )
A. B. C. D.
7.如图是一块高尔顿板示意图：在一木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留着适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为、、、、，用表示小球落入格子的号码，则下列不正确的是( )
A.
B.
C.
D.
8.函数，因其图像类似于汉字“囧”，故被称为“囧函数”，下列个结论：
函数的定义域为；
；
函数的图像关于直线对称；
当时，函数的最大值为；
方程有四个不同的实根；
其中正确结论的个数为( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知随机事件、满足：，，则下列选项正确的是( )
A. 若，则与相互独立
B. 若与相互独立，则
C. 若与互斥，则
D. 若，则
10.已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A. 的最小正周期为 B.
C. 是函数的一个对称中心 D. 在区间的最小值为
11.如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，、分别是、的中点，是棱上的动点，则下列说法中正确的是( )
A.
B. 存在点，使平面
C. 存在点，使直线与所成的角为
D. 点到平面与平面的距离和为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.春节档国产影片哪吒之魔童闹海接连破全球票房记录，影片中哪吒与敖丙是不可分割的二人组，其中敖丙的武器“盘龙冰锤”相撞后形成了如图所示的曲线，可以用来表示数学上特殊的曲线如图所示的曲线过坐标原点，上的点到两定点的距离之积为定值当时，上第一象限内的点满足的面积为，则 ．
13.在中，内角，，所对的边长分别为，，，已知，，则的内切圆半径的最大值为 ．
14.项数为的数列满足，当且仅当时其中，规定：，称为“好数列”在项数为且的所有中，随机选取一个数列，该数列是“好数列”的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在四面体中，，，点为棱的中点，点为棱上的动点．
求证：平面平面；
已知二面角的大小为，当直线与平面所成角的正弦值的最大值为时，求此时四面体的体积．
16.本小题分
年月日，某地举行马拉松比赛，某服务部门为提升服务质量，随机采访了名参赛人员，得到下表：
满意度 性别 合计
女性 男性
比较满意
非常满意
合计
求的值；
依据小概率值的独立性检验，能否认为不同性别的参赛人员对该部门服务质量的评价有差异？
用频率估计概率，现随机采访名女性参赛人员与名男性参赛人员，设表示这人中对该部门服务质量非常满意的人数，求的分布列和数学期望．
附：，．
17.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，．
求证：；
若．
求；
若，且的面积为，求的周长．
18.本小题分
已知椭圆过点，离心率为．
求椭圆的方程．
过点的直线与轴不重合交椭圆于，两点．
若，求的方程；
已知分别是的左、右顶点，直线，分别交直线于，两点，证明：与的面积之比为定值．
19.本小题分
已知函数的图象与轴的三个交点为，，为坐标原点．
讨论的单调性；
若函数有三个零点，求的取值范围；
若，点在的图象上，且异于，，，点满足，，求的最小值．
参考答案
1.
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5.
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8.
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10.
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12.
13.
14.
15.由，得，
又平面，则平面，
而平面，于是，由为中点，，得，
又平面，因此面，又平面，
所以平面平面．
由知，二面角的平面角为，则，
由平面，得为与平面所成的角，
在中，，则，，
而，则，此时，
由平面，平面，得，而平面，
则平面，又平面，于是，
在中，，则，
所以四面体的体积．
16.完善二联表为：
满意度 性别 合计
女性 男性
比较满意
非常满意
合计
故，故；
零假设依据小概率值的独立性检验，认为不同性别的参赛人员对该部门服务质量的评价没有差异，
，
故依据小概率值的独立性检验，能认为不同性别的参赛人员对该部门服务质量的评价有差异．
由于女性对服务满意的概率为，男性对服务满意的概率为，
故，
，
，
故的分布列为
故．
17.因为，所以．
又因为，所以原式左边右边，得证．
由可得．
又由正弦定理得，即．
由余弦定理得．
因为，得．
由题知，由，得．
又由余弦定理，可得，
即，所以．
所以，故的周长为．
18.椭圆过点，故，
且离心率，解方程组，得：
故椭圆方程为：．
过点的直线与轴不重合，故设直线，
设，联立，整理得：，
故
故，
即，解得，
故的方程为：．
分别是的左、右顶点，故
故直线的方程为：，
当时，，故，
同理可得：直线的方程为：，，
且，故，
故，
因为，故，
所以，
故与的面积之比为定值．
19.由已知得，有三个根，令，得或，
所以有两个不同的解，所以，又，
令，得或，令，得，
所以当时，在和上单调递增，
在上单调递减．
令，得，令，
因为，所以为奇函数．
因为，所以是的一个零点，
要使有三个零点，只需要在有且仅有一个零点．
在上单调递增，．
当，即时，，所以在上单调递增，
由，得在上无零点，不合题意，舍去．
当，即时，，
所以存在，使得．
当时，，所以在上递减；
当时，，所以在上递增．
当时，，且．
当时，，
令，解得，所以，
所以在上存在唯一的零点．
综上，．
设，且，
因为点异于，所以．
由，得
即，解得，则，
所以，当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为．
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