专题04 平移
（一）平移的概念
平移:平移是指在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移变换 (简称平移)，平移不改变物体的形状和大小。
（二）平移的性质
①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同。
②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点。连接各组对应点的线段平行且相等。
考点1：生活中的平移现象
典例1：下面生活中的现象可以看成平移的是（ ）
①转动的指针②水平传输带上物品的运动③从楼顶自由下落的铁球（球不旋转）④随风摆动的旗帜
A．①② B．③④ C．②③ D．②④
【变式1】下列运动属于平移的是（ ）
A．空中放飞的风筝
B．乒乓球比赛中的高抛发球后，乒乓球的运动方式
C．篮球被运动员投出并进入篮筐的过程
D．茅台机场的飞机降落时在笔直的跑道上滑行
【变式2】 下列现象
（1）水平运输带上砖块的运动
（2）高楼电梯上上下下迎接乘客
（3）健身做呼啦圈运动
（4）火车飞驰在一段平直的铁轨上
（5）沸水中气泡的运动
属于平移的是 ．
【变式3】下列现象是数学中的平移的是 （填序号）．
①苹果垂直从树上落下；②汽车在平直的公路上行驶；③骑自行车时轮胎的滚动；④卫星绕地球运动．
考点2：图形的平移
典例2：在的方格纸中，将图①中的三角形甲平移到图②中所示的位置，与三角形乙拼成一个长方形，下面平移的方法中正确的是（ ）
A．先向下平移2格，再向右平移1格 B．先向下平移2格，再向右平移2格
C．先向下平移2格，再向右平移3格 D．先向下平移3格，再向右平移2格
【变式1】如图，为保持原图的模样，应选下图、、、的哪一块拼在图案的空白处（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】 如图，将长方形平移到长方形的位置，则平移的距离是 ．
【变式3】下列图形中，可由基本图形平移得到的是 （填图形编号）
考点3：利用平移的性质求解
典例3：这个学期我们学移，数学中也有许多平移的例子，如图所示，这是用三角板和直尺画平行线的示意图，将三角板沿着直尺平移到三角板的位置，就可以画出的平行线．直线就可以看成是直线经平移后所得的图形．若平移的距离的长度为7，则之间的距离为（ ）
A．6 B．7 C．7.5 D．8
【变式1】如图，将三角形平移得到三角形，下列结论中，不一定成立的是（ ）
A．或与在同一条直线上
B．或与在同一条直线上
C．
D．
【变式2】 如图，将沿着直线向右平移到的位置，平移距离为7，，则图中阴影部分的面积为 ．
【变式3】如图，经过平移得到，连接，若，则点A与点之间的距离为 ．
考点4：利用平移解决实际问题
典例4：政府准备在一块长a米，宽b米的长方形空地上铺草地并修建小路，现有三种方案，方案一、二、三分别如图1、图2、图3，其中图1和图3小路的宽均为，图2中小路的左边线向右平移1m就是它的右边线．
(1)分别设方案一和方案二的草地面积为、，则______（用含a、b的式子表示），______（填“＞”“＝”或“＜”）；
(2)如图3，在这块草地上修纵横两条宽1m的小路，求草地的面积S；（用含a、b的式子表示）
(3)经讨论后决定选用方案三的方案，若，，且铺草地平均每平方米需要花费元，那么铺设这块草地一共需要花费多少元？
【变式1】某学校准备在升旗台的台阶上铺设一种红色的地毯（含台阶的最上层），升旗台的台阶和地毯的宽都为3米，台阶侧面如图所示．
(1)问地毯至少需要多少米？
(2)若这种地毯的批发价为每平方米30元，则买地毯至少需要花费多少元？
【变式2】 如图所示，从面积为的正方形材料中裁出的一块垫片(阴影部分)，垫片的任意相邻两边都相互垂直，经测量，知，求这个剪去的垫片的周长．
【变式3】某酒店在重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设某种红色地毯，已知这种地毯每平方米的售价为40元，主楼梯道宽为3米，其侧面如图所示；铺设梯子的红地毯至少需要多长？花费至少多少元？
考点5：平移作图
典例5：如图，画出方格上的小鱼图形向右平移4格，再向上平移3格后的图形．
【变式1】在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点的位置如图所示，现将平移，点A平移到点D的位置，B、C点平移后的对应点分别是E、F．
(1)画出平移后的（保留作图痕迹）；
(2)线段、之间位置及数量关系是 ；
【变式2】 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A、B、C均在小正方形的顶点，把三角形平移得到三角形，使点C的对应点为点.
(1)请在图中画出三角形；
(2)过点画出线段的垂线段，垂足为O；
【变式3】经过平移，三角形的顶点A移到了点 D． 画出平移后的三角形．
考点6：平行线的判定与性质综合——求角
典例6：如图，已知点E、F在直线上，点G在线段上，连接交于点H，连接并延长到点M，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
【变式1】已知：如图，与相交于点F，点D在上，，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【变式2】 如图，已知，
(1)求证：；
(2)求．
【变式3】如图，点N在线段上，与交于点．
(1)判断与是否平行，并说明理由；
(2)若，求的大小．
考点7：平行线的判定与性质综合——证明题
典例7：如图，在中，是的平分线，，，交于点．
(1)求证：是的平分线．
(2)若将“是的平分线”与“是的平分线”，“”或“”中的任一条件交换，所得命题是真命题吗？若是，请选择一个证明；若不是，请说明理由．
【变式1】如图，已知，，．求证：．
证明：（已知），
________________（________________），
________（________________）．
（已知），________（等量代换），
（________________），
（________________）．
（已知），（等量代换），
________________（________________）．
【变式2】 补全下面推理过程：
已知：如图，，E是直线AB上的一点，CE平分，射线，与互余．
求证：
证明：，
______
平分，
______=______角平分线定义，
______等量代换，
______，
垂直的定义，
，
______，
与互余，
______互余的定义，
______，
______
【变式3】已知如图，，直线分别交，于点E和点F，其中，求证：．
考点8：平行线间的距离
典例8：如图，直线，．若a与b的距离是，b与c距离是，则a与c的距离是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】如图，直线，点在上，点在上，若，则下列线段的长度是到的距离的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】 如图，直线，点，位于直线上，点，位于直线上，且，如果的面积为，那么的面积为 ．
【变式3】如图，已知梯形中，，和相交于点G，和相交于点H，，，则阴影部分的面积为 ．
专题04 平移
（一）平移的概念
平移:平移是指在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移变换 (简称平移)，平移不改变物体的形状和大小。
（二）平移的性质
①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同。
②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点。连接各组对应点的线段平行且相等。
考点1：生活中的平移现象
典例1：下面生活中的现象可以看成平移的是（ ）
①转动的指针②水平传输带上物品的运动③从楼顶自由下落的铁球（球不旋转）④随风摆动的旗帜
A．①② B．③④ C．②③ D．②④
【答案】C
【知识点】生活中的平移现象
【分析】根据平移的定义，平移是指将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，逐项进行判断即可．
【详解】解：平移是指将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，生活中也很多物体存在平移现象，
②水平传输带上物品的运动，③从楼顶自由下落的铁球（球不旋转）是平移，
①转动的指针，④随风摆动的旗帜都改变了方向，不是平移，
故选：．
【点睛】本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的定义是解答本题的关键．
【变式1】下列运动属于平移的是（ ）
A．空中放飞的风筝
B．乒乓球比赛中的高抛发球后，乒乓球的运动方式
C．篮球被运动员投出并进入篮筐的过程
D．茅台机场的飞机降落时在笔直的跑道上滑行
【答案】D
【知识点】生活中的平移现象
【分析】本题考查生活中的平移，根据平移的定义，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、空中放飞的风筝不是平移，不符合题意；
B、乒乓球比赛中的高抛发球后，乒乓球的运动方式不是平移，不符合题意；
C、篮球被运动员投出并进入篮筐的过程不是平移，不符合题意；
D、茅台机场的飞机降落时在笔直的跑道上滑行属于平移，符合题意；
故选D．
【变式2】 下列现象
（1）水平运输带上砖块的运动
（2）高楼电梯上上下下迎接乘客
（3）健身做呼啦圈运动
（4）火车飞驰在一段平直的铁轨上
（5）沸水中气泡的运动
属于平移的是 ．
【答案】（1）（2）（4）
【分析】判断生活中的现象，是否是平移，要根据平移的定义，进行判断，图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化．
【详解】（1）水平运输带上砖块的运动，是平移，故此选项正确；
（2）高楼电梯上上下下迎接乘客，是平移，故此选项正确；
（3）健身做呼啦圈运动，是旋转，故此选项错误；
（4）火车飞驰在一段平直的铁轨上，是平移，故此选项正确；
（5）沸水中气泡的运动，是旋转，故此选项错误；
故答案为：（1）（2）（4）．
【点睛】本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转而误选．
【变式3】下列现象是数学中的平移的是 （填序号）．
①苹果垂直从树上落下；②汽车在平直的公路上行驶；③骑自行车时轮胎的滚动；④卫星绕地球运动．
【答案】①②
【知识点】生活中的平移现象
【分析】此题考查的知识点：平移的概念；平移，是指在同一平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移．平移不改变图形的形状和大小．图形经过平移，对应线段相等，对应角相等，对应点所连的线段相等．
【详解】①、苹果垂直从树上落下，只沿着竖直方向向下改变，是平移；
②、汽车在平直的公路上行驶，只沿着水平方向改变，是平移；
③、骑自行车时轮胎的滚动 ，是沿着圆做圆周运动，不是平移，是旋转；
④、卫星绕地球运动，是沿着圆做圆周运动，不是平移，是旋转；
故答案为①②
考点2：图形的平移
典例2：在的方格纸中，将图①中的三角形甲平移到图②中所示的位置，与三角形乙拼成一个长方形，下面平移的方法中正确的是（ ）
A．先向下平移2格，再向右平移1格 B．先向下平移2格，再向右平移2格
C．先向下平移2格，再向右平移3格 D．先向下平移3格，再向右平移2格
【答案】C
【知识点】图形的平移
【分析】本题考查图形的平移，根据平移后图形的位置，进行判断即可．
【详解】解：由图可知，图①中的三角形甲先向下平移2个单位，再向右平移3个单位到图②中所示的位置，与三角形乙拼成一个长方形；
故选：C．
【变式1】如图，为保持原图的模样，应选下图、、、的哪一块拼在图案的空白处（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】图形的平移
【分析】本题考查的是利用平移设计图案，先根据题意找出基础图形是解答此题的关键．根据题意找出平移的图形即可得出结论．
【详解】解：由图可知，此图案由如图的图形平移而成，
，
所以通过比较需要补充B图形，才能与空白处的上方图形组成如图，
故选：B．
【变式2】 如图，将长方形平移到长方形的位置，则平移的距离是 ．
【答案】3
【知识点】图形的平移、数轴上两点之间的距离
【分析】根据数轴上平移前后对应点的位置即可得出结果．
【详解】解：长方形平移到长方形的位置，
对应点B到的距离为：0-(-3)=3，
∴平移的距离是3，
故答案为：3．
【点睛】题目主要考查数轴上两点之间的距离及平移的性质，理解掌握平移的性质是解题关键．
【变式3】下列图形中，可由基本图形平移得到的是 （填图形编号）
【答案】①③④
【知识点】图形的平移
【分析】根据平移的性质，对每个选项进行分析即可．
【详解】解：能由一个三角形平移得到，∴①正确；
因图中的图形大小不都相同，不能由一个平移得到，∴②错误；
能由一个图形经过平移得出，∴③正确；
能由一个正方形经过平移得到，∴④正确；
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了图形的平移，平移只改变图形的位置，不改变图形的形状、大小、方向，解题的关键在于正确识别图形．
考点3：利用平移的性质求解
典例3：这个学期我们学移，数学中也有许多平移的例子，如图所示，这是用三角板和直尺画平行线的示意图，将三角板沿着直尺平移到三角板的位置，就可以画出的平行线．直线就可以看成是直线经平移后所得的图形．若平移的距离的长度为7，则之间的距离为（ ）
A．6 B．7 C．7.5 D．8
【答案】B
【知识点】利用平移的性质求解
【分析】本题主要考查了平移的性质，理解并掌握平移的性质是解题关键．平移是指在同一平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移．平移不改变图形的形状和大小，图形经过平移，对应线段相等，对应角相等，对应点所连的线段相等．根据平移的性质，即可获得答案．
【详解】解：根据题意，平移的距离的长度为7，
则之间的距离为7．
故选：B．
【变式1】如图，将三角形平移得到三角形，下列结论中，不一定成立的是（ ）
A．或与在同一条直线上
B．或与在同一条直线上
C．
D．
【答案】D
【知识点】利用平移的性质求解
【分析】本题考查的是平移的性质，根据平移的性质判断即可,平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行(或在一条直线上)且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．熟练掌握平移的性质是解题的关键．
【详解】解：A、由平移的性质可知或与在同一条直线上，故A正确；
B、由平移的性质可知或与在同一条直线上，故B正确；
C、由平移的性质可知，故C正确；
D、由平移的性质可知，但不一定等于，故D不一定正确，
故选：D．
【变式2】 如图，将沿着直线向右平移到的位置，平移距离为7，，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】70
【知识点】利用平移的性质求解
【分析】本题主要考查了平移的性质，熟练掌握平移不改变图形的形状和大小，经过平移，对应点所连的线段相等是解此题的关键．由平移的性质可得，，，从而得出，再由可得，即可得解．
【详解】解：由平移的性质可得：，，，
，
，
，
，
故答案为：70．
【变式3】如图，经过平移得到，连接，若，则点A与点之间的距离为 ．
【答案】2.5/
【知识点】利用平移的性质求解
【分析】本题考查了平移的性质．根据图形的平移，对应点的平移的距离是相等，再结合，即可作答．
【详解】解：如图：连接，
∵经过平移得到，连接，且，
∴，
故答案为：．
考点4：利用平移解决实际问题
典例4：政府准备在一块长a米，宽b米的长方形空地上铺草地并修建小路，现有三种方案，方案一、二、三分别如图1、图2、图3，其中图1和图3小路的宽均为，图2中小路的左边线向右平移1m就是它的右边线．
(1)分别设方案一和方案二的草地面积为、，则______（用含a、b的式子表示），______（填“＞”“＝”或“＜”）；
(2)如图3，在这块草地上修纵横两条宽1m的小路，求草地的面积S；（用含a、b的式子表示）
(3)经讨论后决定选用方案三的方案，若，，且铺草地平均每平方米需要花费元，那么铺设这块草地一共需要花费多少元？
【答案】(1)，
(2)
(3)元
【知识点】列代数式、利用平移解决实际问题
【分析】本题考查了平移的实际应用，能将图形中的等宽路利用平移重合组合成一个矩形是解题的关键．
（1）利用平移的思想将分成的两块草地可以通过平移重新组合成一个长方形即可得出和，即可解决；
（2）利用平移的思想将分成的四块草地可以通过平移重新组合成一个长方形即可；
（3）代入数据求值即可．
【详解】（1）解：由图1可得小路是长为，宽为的长方形，
则分成的两块草地可以通过平移重新组合成一个长为米，宽为的长方形，
则，
由图2可得小路分成的两块草地也可以通过平移重新组合成一个长方形，
由图2中小路的左边线向右平移1m就是它的右边线，
则，
故答案为：，；
（2）由图可知图3中的四块草地可以通过平移得长为米，宽为米的长方形，
则；
（3）当，时，
，
因为铺草地平均每平方米需要花费元，
所以铺设这块草地一共需要花费（元），
答：铺设这块草地一共需要花费元．
【变式1】某学校准备在升旗台的台阶上铺设一种红色的地毯（含台阶的最上层），升旗台的台阶和地毯的宽都为3米，台阶侧面如图所示．
(1)问地毯至少需要多少米？
(2)若这种地毯的批发价为每平方米30元，则买地毯至少需要花费多少元？
【答案】(1)地毯至少需要11.6米
(2)买地毯需要1044元
【知识点】利用平移解决实际问题、有理数四则混合运算的实际应用
【分析】本题考查了平移的性质及有理数四则运算的实际应用．
（1）利用平移线段，把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，长宽分别为6.8米，2.4米， 即可求解；
（2）用地毯的长度乘以宽度3米，得到面积，再用面积乘以30，即可求解．
【详解】（1）解：如图，利用平移线段，把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，长宽分别为6.8米，2.4米，
∴地毯的长度为（米），
答：地毯至少需要11.6米；
（2）解：地毯的面积为（平方米），
∴买地毯至少需要（元），
答：买地毯需要1044元．
【变式2】 如图所示，从面积为的正方形材料中裁出的一块垫片(阴影部分)，垫片的任意相邻两边都相互垂直，经测量，知，求这个剪去的垫片的周长．
【答案】
【知识点】利用平移解决实际问题
【分析】利用平移的性质将，，，分别向左和上平移即可得出平移后图形，进而求出这块垫片的周长．
【详解】解：如图所示：正方形的面积为，则边长为
这块垫片的周长为：
．
【点睛】本题考查了生活中的平移现象，利用平移的性质得出是解题关键．
【变式3】某酒店在重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设某种红色地毯，已知这种地毯每平方米的售价为40元，主楼梯道宽为3米，其侧面如图所示；铺设梯子的红地毯至少需要多长？花费至少多少元？
【答案】铺设梯子的红地毯至少需要8.4米，花费至少1008元
【知识点】利用平移解决实际问题
【分析】根据平移地毯的长度等于横向与纵向的长度之和求出地毯的长度，再根据矩形的面积列式求出地毯的面积，然后乘以单价计算即可得解．
【详解】解：地毯的长度至少为：（米）；
（元）．
答：铺设梯子的红地毯至少需要8.4米，花费至少1008元．
【点睛】本题考查了生活中的平移，解题的关键是熟记平移的性质并理解地毯长度的求法．
考点5：平移作图
典例5：如图，画出方格上的小鱼图形向右平移4格，再向上平移3格后的图形．
【答案】见解析
【知识点】平移(作图)
【分析】本题考查了利用平移设计图案，对于此类直线型的图案，平移关键点再顺次连接关键点即可．将图中三角形鱼的顶点分别向右平移四个单位，再向上平移三个单位，然后顺次连接各点即可．
【详解】解：如图即为所求：
【变式1】在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点的位置如图所示，现将平移，点A平移到点D的位置，B、C点平移后的对应点分别是E、F．
(1)画出平移后的（保留作图痕迹）；
(2)线段、之间位置及数量关系是 ；
【答案】(1)图见详解
(2)平行且相等
【知识点】利用平移的性质求解、平移(作图)
【分析】(1)由点A和点D的位置可确定平移方式为“向右平移6格，向下平移2格”，即可确定B，C点平移后的对应点E，F，最后顺次连接D，E，F三点即可；
(2)根据图形平移后，对应点连成的线段平行即得出，．
【详解】（1）解：如图，
即为所作；
（2）解：如图，由平移的性质即可得出，，．
故答案为：平行且相等．
【变式2】 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A、B、C均在小正方形的顶点，把三角形平移得到三角形，使点C的对应点为点.
(1)请在图中画出三角形；
(2)过点画出线段的垂线段，垂足为O；
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
【知识点】平移(作图)、画垂线
【分析】本题考查了作图，平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移的性质，
（1）根据平移的性质，分别作出点A、B的对应点，再连线即可；
（2）根据垂线的定义作图即可
【详解】（1）解：如图，就是所求的三角形；
（2）解：如图，线段就是线段的垂线段；
【变式3】经过平移，三角形的顶点A移到了点 D． 画出平移后的三角形．
【答案】作图见详解
【知识点】平移(作图)
【分析】本题主要考查了作图 平移变换，熟练掌握平移的性质（对应点所连线段平行或共线且线段）是解题的关键．
连接，分别过点B，C画的平行线，且取，，即可得出答案．
【详解】解：连接，分别过点B，C画的平行线，且取，，
则即为所求．
考点6：平行线的判定与性质综合——求角
典例6：如图，已知点E、F在直线上，点G在线段上，连接交于点H，连接并延长到点M，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)见详解
(2)
【知识点】垂线的定义理解、根据平行线判定与性质求角度
【分析】（1）由同位角相等，两直线平行可得，从而得到，可求得，即可判定；
（2）结合（1）可得，，从而可求的度数．
本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
；
（2）解：，
．
由（1）可得：，，
，，
．
【变式1】已知：如图，与相交于点F，点D在上，，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】根据平行线判定与性质求角度
【分析】本题考查了平行线的性质与判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先由，证明，得，因为，故，即可作答．
（2）因为，所以，则，即可作答．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
【变式2】 如图，已知，
(1)求证：；
(2)求．
【答案】(1)见解析；
(2)．
【知识点】根据平行线判定与性质求角度、同旁内角互补两直线平行
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，掌握平行线的判定与性质是关键；
（1）及，得，由平行线的判定即可证明；
（2）由及已知得，即可得，从而有，由已知即可求解．
【详解】（1）证明：，
．
；
（2）解：，
，
，
．
．
．
，
．
【变式3】如图，点N在线段上，与交于点．
(1)判断与是否平行，并说明理由；
(2)若，求的大小．
【答案】(1)平行，见解析
(2)
【知识点】根据平行线判定与性质求角度、根据平行线判定与性质证明、对顶角相等
【分析】本题主要查了平行线的判定和性质．
（1）根据，可得，从而得到，继而得到，即可求证；
（2）根据，可得，再由，可得，即可求解．
【详解】（1）解：，理由如下：
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
考点7：平行线的判定与性质综合——证明题
典例7：如图，在中，是的平分线，，，交于点．
(1)求证：是的平分线．
(2)若将“是的平分线”与“是的平分线”，“”或“”中的任一条件交换，所得命题是真命题吗？若是，请选择一个证明；若不是，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)是，见解析
【知识点】根据平行线判定与性质证明、角平分线的有关计算、判断命题真假
【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定和性质，命题的真假，掌握相关知识点是解题关键．
（1）根据平行线的性质，得到，，再结合角平分线的定义，得出，即可得到结论；
（2）根据角平分线的定义和平行线的判定和性质求解即可．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，．
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴是的平分线．
（2）解：所得命题是真命题；
①选择命题：若是的平分线，，，则是的平分线．
证明：∵，，
∴，．
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴是的平分线．
②选择命题：若是的平分线，是的平分线，，则．
证明：∵是的平分线，是的平分线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
③选择命题：若是的平分线，是的平分线，，则．
∵是的平分线，是的平分线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
【变式1】如图，已知，，．求证：．
证明：（已知），
________________（________________），
________（________________）．
（已知），________（等量代换），
（________________），
（________________）．
（已知），（等量代换），
________________（________________）．
【答案】见解析
【知识点】根据平行线判定与性质证明
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题关键．根据平行线的判定定理和性质定理补全证明过程即可．
【详解】解：（已知），
（内错角相等，两直线平行），
（两直线平行，同旁内角互补）．
（已知），
（等量代换），
（同旁内角互补，两直线平行），
（两直线平行，同位角相等）．
（已知），
（等量代换），
（同位角相等，两直线平行）．
【变式2】 补全下面推理过程：
已知：如图，，E是直线AB上的一点，CE平分，射线，与互余．
求证：
证明：，
______
平分，
______=______角平分线定义，
______等量代换，
______，
垂直的定义，
，
______，
与互余，
______互余的定义，
______，
______
【答案】两直线平行，内错角相等；；；；；90；90；同角的余角相等；同位角相等，两直线平行
【知识点】根据平行线判定与性质证明、角平分线的有关计算
【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．根据平行线的判定与性质求解即可．
【详解】证明：，
（两直线平行，内错角相等），
平分，
（角平分线定义），
（等量代换），
，
（垂直的定义），
，
，
与互余，
（互余的定义），
（同角的余角相等），
（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：两直线平行，内错角相等；；；；；90；90；同角的余角相等；同位角相等，两直线平行
【变式3】已知如图，，直线分别交，于点E和点F，其中，求证：．
【答案】见解析
【知识点】根据平行线判定与性质证明
【分析】此题考查了平行线的性质和判定定理，解题的关键是掌握平行线的性质和判定定理．
首先根据得到，然后证明出，得到，进而可证明．
【详解】如图所示，
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴．
考点8：平行线间的距离
典例8：如图，直线，．若a与b的距离是，b与c距离是，则a与c的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】求平行线间的距离
【分析】本题考查的是平行线之间的距离，从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．据，可得，进而得出a与c的距离为．
【详解】解：∵a与b的距离是，b与c的距离是，，
∴，
∴，
即a与c的距离为．
故选：B.
【变式1】如图，直线，点在上，点在上，若，则下列线段的长度是到的距离的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】求平行线间的距离
【分析】本题考查了平行线之间的距离，根据平行线之间的距离的定义即可判断求解，理解平行线之间的距离的定义是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵，点在上，点在上，
∴的长度是到的距离，
故选：．
【变式2】 如图，直线，点，位于直线上，点，位于直线上，且，如果的面积为，那么的面积为 ．
【答案】20
【知识点】利用平行线间距离解决问题
【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据平行线间间距相等可得点C到与点B到的距离相等，设点C到与点B到的距离为h，则可得到，据此可得答案．
【详解】解：∵，
∴点C到与点B到的距离相等，
设点C到与点B到的距离为h，
∵，
∴，
∵的面积为，
∴的面积为20，
故答案为：20．
【变式3】如图，已知梯形中，，和相交于点G，和相交于点H，，，则阴影部分的面积为 ．
【答案】/
【知识点】利用平行线间距离解决问题
【分析】此题主要考查利用平行线的间距解决问题，三角形面积公式的综合应用，以及等底等高的两三角形面积相等，连接，由，，可得出，进一步可得出，同理：，则．
【详解】解：连接，
∵，，
∴
∴；
同理：
∴．
故答案为：．
