备战2025年中考数学模拟卷（河北专用）
一、选择题：（共12小题，每小题3分，共36分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D B A C C D D A B B A A
二、填空题：（共4小题，每小题3分，共12分.）
13．1
14．
15．
三、解答题：（本大题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（5分）
（1）解：．--------------------（2分）
（2）解：由题意列出算式为，
原式，
所列算式的计算结果为．--------------------（5分）
18．（7分）
（1）解：作业题1：第①步；作业题2：第②步；--------------------（4分，各2分）
（2）解：选作业题1：去分母，得．
去括号，得．
移项，得．
合并同类项，得．
系数化为1，得．
经检验，是原分式方程的解．--------------------（7分）
选作业题2：
．--------------------（7分）
19．（8分）
（1）解∶抽取的学生问卷有（份） --------------------（1分）
成绩为“8分”的学生有（名），
补全条形统计图如下：
--------------------（3分）
（2）解：由题意，易得抽取的学生成绩的众数为8，
中位数为8， --------------------（4分）
平均数为． --------------------（5分）
，
平均数最大；--------------------（6分）
（3）解：（名）
答∶估计全校有360名学生达到优秀．--------------------（8分）
（9分）
（1）解：由题意知，
，
又，
∴△CAB∽△FAD，
，--------------------（2分）
由题意知，
，
解得，
即小视力表中相应“”的高是．--------------------（4分）
（2）解：如图，如图，作于点，延长线交于点，
由题意知，，
，
∴，
，--------------------（5分）
，
，
，
，--------------------（7分）
由题意知，
，
，
，
∴镜长至少为．--------------------（9分）
21．（9分）
（1）解：设直线的解析式为，
将点和代入得
，--------------------（1分）
解得，
∴直线的解析式为；--------------------（2分）
（2）解：①将直线按甲方式操作得到直线解析式为，
再按甲方式操作得到直线解析式为，
故直线的解析式为，--------------------（3分）
令，
则，
∴与轴交点坐标为，--------------------（4分）
令，则，
解得，
∴与轴交点坐标为．--------------------（5分）
②由①可知进行一次甲操作相当于直线向上平移1个单位，将直线按乙方式操作得到直线解析式为，即进行一次乙操作相当于直线向下平移1个单位故进行一次甲操作和一次乙操作所得直线与直线重合，
由表格可知共有4种等可能的结果，其中事件发生有2种；
．--------------------（7分）
（3）由（1）（2）得直线的解析式为，直线的解析式为，根据直线，，满足“任意两条相邻直线间距离相等”，可分为三种情况：
①若直线在直线上方，则直线的解析式为，
即直线向上平移4个单位得到直线，
∴10次操作中按甲方式进行了7次操作，按乙方式进行了3次操作；
②若直线在直线和直线之间，则直线的解析式为，
即直线向上平移1个单位得到直线进行10次操作无法得到；
③若直线在直线下方，则直线的解析式为，
即直线向下平移2个单位得到直线，
∴10次操作中按甲方式进行了4次操作，按乙方式进行了6次操作；
综上所述，嘉嘉按甲方式进行了7次或4次操作．--------------------（9分，直接写出答案即可）
22．（11分）
（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，--------------------（1分）
∵，
∴，
∵是圆半径，
∴是的切线；--------------------（3分）
（2）解：如图所示为所求：
--------------------（5分）
（3）解：连接，
∵，平分，
∴，
∴，
∵，，
∴在中，，--------------------（6分）
∵，
∴，
∴，--------------------（7分）
∵，
∴，，
∴，，--------------------（8分）
∵，
∴，
，--------------------（9分）
∵，
∴，
∴，--------------------（10分）
设，则，
∴，解得，
∴．--------------------（11分）
23.（11分）
解：（1）∵二次函数的图象经过和，
∴此抛物线的对称轴为直线；--------------------（2分）
（2）∵二次函数经过和，
∴，
将代入可得：，
∴，
∴，
∵的图象均经过和，
∴，
∵由图象可得：的顶点在的下方，
∴，
解得：；--------------------（5分）
（3）如图所示，将点分别向左右两侧平移3个单位得到点、，将向上平移个单位，矩形即为大树生长空间．
由题意得，，，
∴，；
设新拱门抛物线解析式为
∴抛物线顶点坐标为
∵拱顶到地面的距离为拱宽的一半，
∴，
解得，（不符题意，舍去），
∴新拱门抛物线解析式为--------------------（7分）
将代入得，，解得
∴，
∵原拱门拱顶距地面为4米，
∴--------------------（8分）
将代入得，，解得，
∴--------------------（9分）
将代入得，，解得
∴
∴--------------------（10分）
综上所述，的取值范围是或．--------------------（11分）
24.（12分）
【详解】（1）解：过点E作交的延长线于H，如图1，
∵点D是的中点，且，
∴，--------------------（1分）
在中，，
∴，，
由旋转得：，
即，--------------------（2分）
∵，
∴，
在和中，
，
∴，--------------------（3分）
∴，
∴，
在中，；--------------------（4分）
（2）解：证明：如图2，连接，过点F作交于H，
∵△ABC是等腰直角三角形，E、F分别是的中点，
∴AE=EF，，
∴，
由旋转得，
∴，
∴，--------------------（5分）
在和中，
，
∴，
∴，--------------------（6分）
∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，--------------------（7分）
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；--------------------（8分）
（3）解：设交于点M，作中点P，连接，作中点Q，连接，如图，
∵将绕点D逆时针旋转，得到，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∵点P是的中点，
∴，
∵Q是的中点，G是的中点，
∴是的中位线，
∴，，
设则
在中，，，
当A、Q、G三点共线时，，取得最大值，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵F是的中点，G是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴的值为．--------------------（12分，直接给出答案即可得分）
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备战2025年中考数学模拟卷（河北专用）
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。
4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：（共12小题，每小题3分，共36分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.）
1．下列四个数中，比小的数是（ ）
A．0 B． C． D．
2．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，一条光线经平面镜的反射光线经凹透镜折射后，其折射光线的反向延长线过凹透镜的一个焦点．已知光线的入射角为，反射光线与折射光线的夹角，则光线与光线所夹的锐角为（ ）
A．65° B． C． D．25°
4．如图，将一把损坏的刻度尺贴放在数轴上（数轴的单位长度是），刻度尺上的“0”和“3”分别对应数轴上的0，则数轴上x的值最有可能是（ ）
A．2 B．1.8 C． D．5.4
5．如图是嘉嘉用6块相同的小正方体搭成的几何体，若淇淇拿走其中的个小正方体后，发现该几何体的左视图没有发生变化，则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．晋剧是我省国家级非物质文化遗产，因其雅俗共赏，深受大众喜爱．正面印有晋剧经典剧目Q版人物的三张卡片（其中有1名男性角色，2名女性角色），它们除正面外完全相同．把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面人物性别都为女性的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知，且，则的值用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
8．若关于的一元二次方程有实数根．则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，将△ABC绕顶点旋转得到△DEC，点对应点，点对应点，点刚好落在边上，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
10．甲、乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知甲先出发3秒，在跑步过程中甲、乙两人之间的距离y（米）与乙出发的时间（秒）之间的函数关系如图所示，下列说法正确的是（ ）
①乙的速度为5米/秒；②离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点12米；③甲、乙两人之间的距离超过32米的时间范围是；④乙到达终点时，甲距离终点还有68米
A．①②③ B．①③④ C．③④ D．①②
11．如图，直线y＝x+2与y轴交于点A，与直线y=x交于点B，以AB为边向右作菱形ABCD，点C恰与点O重合，抛物线y＝（x﹣h）2+k的顶点在直线y＝﹣x上移动．若抛物线与菱形的边AB、BC都有公共点，则h的取值范围是（ ）
A．﹣2≤h≤ B．﹣2≤h≤1 C．﹣1≤h≤ D．﹣1≤h≤
12．如图，折叠矩形纸片，使得顶点，重合，点落在处，然后还原，得到折痕．已知：，，则折痕的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：（共4小题，每小题3分，共12分.）
13．与最简二次根式是同类二次根式，则 ．
14．若整数使得关于的不等式组，有且仅有2个奇数解，那么符合条件的所有整数的和为 ．
15．如图，正方形的顶点在轴上，点，点在反比例函数 图象上，若直线的函数表达式为，则的值为 ．
16．如图，在正六边形中，对角线分别交于点H，G，若△ABC与五边形的面积分别为，则 ．
三、解答题：（本大题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（5分）如图，数学课上，老师用四个圆分别代表一种运算，并依据这四个圆设计了数学游戏．例如：若按的顺序运算，则可列算式．
(1)直接写出算式的结果；
(2)若嘉嘉同学选择了的顺序，请列出算式并计算该算式的结果．
18．（7分）课堂上，数学老师展示了两道作业题及其错误的解答过程：
作业题1 作业题2
解分式方程：． 解：去分母，得 ① 去括号，得 ② 移项，得 ③ 合并同类项，得 ④ 系数化为1，得 ⑤ 经检验，是原分式方程的解． 化简分式：． 解： ① ② ③
(1)分别写出作业题1，作业题2的解答过程中是从第几步开始出现错误的；
(2)从两道作业题中任选一题，写出正确的解答过程．
19．（8分）为了了解全校学生对中国古代数学家的知晓情况，数学老师设计了10道选择题，并对全校学生进行问卷调查，每题1分，调查结束后，随机抽取了部分学生的问卷，将成绩和人数进行整理，并将结果制成了如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题
(1)求抽取了多少份学生的问卷，并补全条形统计图；
(2)求出被抽取学生成绩（单位：分）的众数、中位数和平均数，并判断哪一个最大；
(3)该校共有1200名学生，若成绩不低于9分视为优秀，请估计全校有多少名学生达到优秀．
20．（9分）为了加强视力保护意识，欢欢想在书房里挂一张测试距离为的视力表，但两面墙的距离只有．在一次课题学习课上，欢欢向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙两位同学设计方案新颖，构思巧妙．
甲 乙
图例
方案 如图①是测试距离为的大视力表，可以用硬纸板制作一个测试距离为的小视力表②．通过测量大视力表中“”的高度（的长），即可求出小视力表中相应的“”的高度（的长） 使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题．如图，在相距的两面墙上分别悬挂视力表（）与平面镜（），由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表的上、下边沿，发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼处，通过测量视力表的全长（）就可以计算出镜长
(1)甲生的方案中如果大视力表中“”的高是，那么小视力表中相应“”的高是多少？
(2)乙生的方案中如果视力表的全长为，请计算出镜长至少为多少米．
21．（9分）如图，已知直线经过点和，约定在坐标系内可对直线进行如下两种方式操作：
甲方式：先向上平移3个单位，再向右平移1个单位；
乙方式：先向上平移3个单位，再向右平移2个单位．
解决下列问题，
(1)求直线的解析式；
(2)若对直线连续进行两次操作．
①若这两次操作均为甲方式，请直接写出所得直线的解析式，并求其与坐标轴的交点；
②若这两次操作方式是随机选择的，设事件 “所得直线与重合”，求事件发生的概率；
(3)嘉嘉对直线连续进行10次操作得到直线，若，及（2）中三条直线满足“任意两条相邻直线间距离相等”，直接写出：嘉嘉按甲方式进行了几次操作？
22．（11分）如图，是的外接圆，为的直径，在△ABC外侧作，过点C作于点D，交延长线于点 P．
(1)求证：是的切线；
(2)用无刻度的直尺和圆规作出所对弧的中点F．(不写作法，保留作图痕迹)；
(3)在(2)基础上连接，交于点E，连接，求线段的长．
23．（11分）综合与实践
【发现问题】如图1是某景点的入口处，大门轮廓形状可视为抛物线，拱门宽3米（拱门所在抛物线与地面所在直线的两交点之间的距离称为拱门宽，这两个交点称为拱门的左端点与右端点），拱高4米（拱门所在抛物线的顶点到地面所在直线的距离称为拱高）．为了缓解入口处人流压力，让拱门成为景点的新一个标志建筑，需要重造扩建拱门．经测算，当拱顶到地面的距离为拱门宽的一半时，拱门最为美观．
【提出问题】在拱门右侧距拱门右端点10米处有一棵高为2米的珍贵树木，不宜移栽，为了不影响树木的生长，需要给树木左右两侧各留足3米，上方留足8米的生长空间（不考虑拱门厚度）．由于地域限制，为使改建后拱门的拱门宽不能超过25米，现以原拱门左端点为起点，向右扩建，拱高在什么范围，才能使拱门最美观，又不影响树木的生长呢？
【分析问题】
（1）二次函数的图象经过和，此抛物线的对称轴为直线________；
（2）如图2，已知二次函数经过点，且与的图象均经过和，则的取值范围是________；
【解决问题】
（3）以原拱门左端点为原点，建立如图3所示的平面直角坐标系，以，为端点的拱门表示原拱门，表示大树．当以原拱门左端点为起点向右扩建，使拱门扩建后最美观且不影响树木的生长时，求此时拱顶到地面的距离的取值范围．
24．（12分）已知△ABC是等腰直角三角形，，为平面内一点．
(1)如图1，当点在的中点时，连接，将绕点逆时针旋转，得到，若，求的长；
(2)如图2，当点在△ABC外部时，、分别是、的中点，连接、、，将绕点逆时针旋转得到，连接、、，若，求证：；
(3)如图3，当在内部时，连接，将绕点逆时针旋转，得到，若经过中点，连接、，为的中点，连接并延长交于点，当最大时，请直接写出的值．
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备战2025年中考数学模拟卷（河北专用）
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。
4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：（共12小题，每小题3分，共36分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.）
1．下列四个数中，比小的数是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【知识点】有理数大小比较、求一个数的绝对值
【分析】本题考查了有理数比较大小，正确把握两负数比较大小的方法是解题关键．利用两个负数，绝对值大的其值反而小，进而得出答案．
【详解】解：，，，
故选：D．
2．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】整式的加减运算、幂的乘方运算、合并同类项、同底数幂相乘
【分析】本题主要考查了积的乘方、单项式乘法、合并同类项、整式加减运算等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键．
根据积的乘方、单项式乘法、合并同类项、整式加减运算逐项判断即可．
【详解】解：A． ，故该选项错误，不符合题意；
B． ，故该选项正确，符合题意；
C． ，故该选项错误，不符合题意；
D． ，故该选项错误，不符合题意．
故选B．
3．如图，一条光线经平面镜的反射光线经凹透镜折射后，其折射光线的反向延长线过凹透镜的一个焦点．已知光线的入射角为，反射光线与折射光线的夹角，则光线与光线所夹的锐角为（ ）
A．65° B． C． D．25°
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质、利用邻补角互补求角度
【分析】本题主要考查了物理知识、三角形内角和定理、三角形外角的性质、邻补角的性质等知识点，掌握三角形的相关性质成为解题的关键．
如图：延长相交于点E，由题意可得：，由邻补角的定义可得，再根据三角形外角的性质可得，再最后根据三角形内角和定理求得即可．
【详解】解：如图：延长相交于点E，
由题意可得：，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选A．
4．如图，将一把损坏的刻度尺贴放在数轴上（数轴的单位长度是），刻度尺上的“0”和“3”分别对应数轴上的0，则数轴上x的值最有可能是（ ）
A．2 B．1.8 C． D．5.4
【答案】C
【知识点】用数轴上的点表示有理数
【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数．根据数轴上x的值在刻度尺的和之间，得出数轴上x的值的取值范围，即可求解．
【详解】解：数轴上x的值在刻度尺的和之间，
根据题意可得，数轴上x的值的取值范围是，
观察四个选项，只有符合题意题意，
故数轴上x的值最有可能是．
故选：C．
5．如图是嘉嘉用6块相同的小正方体搭成的几何体，若淇淇拿走其中的个小正方体后，发现该几何体的左视图没有发生变化，则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】判断简单组合体的三视图
【分析】本题考查简单组合体的三视图，解题的关键是掌握：从左边看得到的图形是左视图．据此解答即可．
【详解】解：在保证左视图不变的情况下，留下的正方体按照图中的方式摆放，则的最大值为3．
故选C．
6．晋剧是我省国家级非物质文化遗产，因其雅俗共赏，深受大众喜爱．正面印有晋剧经典剧目Q版人物的三张卡片（其中有1名男性角色，2名女性角色），它们除正面外完全相同．把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面人物性别都为女性的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】列表法或树状图法求概率
【分析】本题考查了树状图法或列表法求概率，解题的关键是正确画出树状图得到所有的等可能的结果数．根据题意，利用树状图法将所有结果都列举出来，然后根据概率公式计算解决即可．
【详解】解：把3张卡片中1名男性角色，2名女性角色分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中两次抽取的卡片正面人物性别都为女性的的结果有4种，
∴两次抽取的卡片正面人物性别都为女性的概率为．
故选：D．
7．已知，且，则的值用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】通过对完全平方公式变形求值、用科学记数法表示绝对值小于1的数
【分析】本题主要考查整式的运算和用科学记数法表示绝对值小于1的数，根据整数的运算求出，再用科学记数法表示出来即可．
【详解】解：把整理得，
∵，
∴，
故选：D．
8．若关于的一元二次方程有实数根．则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数
【分析】本题考查了一元二次方程的根．解题的关键在于明确：时，一元二次方程有两个不等实根；时，一元二次方程有两个相等实根；时，一元二次方程无实根；掌握以上知识是解题的关键；
本题直接利用根的判别式进行求解即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根，
∴，
解得：，
故选：A
9．如图，将绕顶点旋转得到，点对应点，点对应点，点刚好落在边上，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】根据旋转的性质求解、三角形的外角的定义及性质、等边对等角
【分析】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质及三角形外角的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．先通过旋转得到，，，再通过等边对等角以及三角形外角的性质得到，代入已知的数据即可求解．
【详解】解：由绕顶点旋转得到可知：
，，，
，
，
，
故．
故选：B．
10．甲、乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知甲先出发3秒，在跑步过程中甲、乙两人之间的距离y（米）与乙出发的时间（秒）之间的函数关系如图所示，下列说法正确的是（ ）
①乙的速度为5米/秒；②离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点12米；③甲、乙两人之间的距离超过32米的时间范围是；④乙到达终点时，甲距离终点还有68米
A．①②③ B．①③④ C．③④ D．①②
【答案】B
【知识点】行程问题(一次函数的实际应用)、行程问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了一次函数的应用，方程思想是解答的关键．
①根据速度等于路程除以时间求解．
②先求出甲的速度，再根据相遇时间路程相等，列方程求解．
③根据甲乙两人之间的距离超过米设时间为秒，列出不等式求出的取值，再求当乙到达终点停止运动后的取值，即可求解．
④用总路程减去甲走过的路程即可．
【详解】解：①∵乙用秒跑完米
∴乙的速度为米/秒；
故①正确；
②∵乙出发时，甲先走米，用秒钟，
∴甲的速度为米/秒，
∴乙追上甲所用时间为秒，
，
秒，
∴米，
∴离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点米；
故②不正确；
③甲乙两人之间的距离超过米设时间为秒，
，
，
当乙到达终点停止运动后，
，
，
甲、乙两人之间的距离超过32米的时间范围是；
故③正确；
④乙到达终点时，
甲距终点距离为：米，
即甲距离终点还有米．
故④正确；
正确的个数为①③④．
故选：B．
11．如图，直线y＝x+2与y轴交于点A，与直线y=x交于点B，以AB为边向右作菱形ABCD，点C恰与点O重合，抛物线y＝（x﹣h）2+k的顶点在直线y＝﹣x上移动．若抛物线与菱形的边AB、BC都有公共点，则h的取值范围是（ ）
A．﹣2≤h≤ B．﹣2≤h≤1 C．﹣1≤h≤ D．﹣1≤h≤
【答案】A
【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解、特殊四边形(二次函数综合)、y=a（x-h） +k的图象和性质、待定系数法求二次函数解析式
【分析】联立y＝x+2与直线y=x，得到点 ，再由抛物线y＝（x﹣h）2+k的顶点在直线y＝﹣x上移动．可得 ，从而得到抛物线解析式为 ，根据题意可得抛物线过点B和点C时抛物线与菱形的边AB、BC都有公共点，然后把点C、B的坐标代入抛物线解析式，即可求解．
【详解】解：把y＝x+2与直线y=x联立得：
，解得：，
∴点 ，
根据题意得抛物线的顶点坐标为 ，
把代入直线y=x，得： ，
∴抛物线解析式为 ，
如图，当抛物线经过点C时，
把点 代入得：
，解得： 或（舍去），
如图，当抛物线经过点B时，
将点代入得：
，解得： 或（舍去），
综上所述，抛物线与菱形的边AB、BC都有公共点，h的取值范围是 ．
故选：A
【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了一次函数的交点与一元二次方程组的关系、待定系数法求二次函数的解析式，通过平移抛物线探究出抛物线与形的边AB、BC均有交点时抛物线经过的“临界点”为点B和点C是解题解题的关键．
12．如图，折叠矩形纸片，使得顶点，重合，点落在处，然后还原，得到折痕．已知：，，则折痕的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】矩形与折叠问题、根据菱形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长
【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键．
分别连接与相交于，由折叠知，，所以共线，可以证明四边形为菱形，则，作，证明四边形是矩形，所以，设，则，，然后由勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，分别连接与相交于，
由折叠知，
∴，
∴共线，
由折叠知，
∴，
∵，，
∴四边形为菱形，
∴，
作，则，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
设，则，，
在直角中，，
解得：，即，
∴，
同理，
∴，
∴，
故选：．
二、填空题：（共4小题，每小题3分，共12分.）
13．与最简二次根式是同类二次根式，则 ．
【答案】1
【知识点】化为最简二次根式、同类二次根式
【分析】本题考查了二次根式的性质、同类二次根式，先将化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义得到，求解即可，熟练掌握同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，是解此题的关键．
【详解】解：，
与最简二次根式是同类二次根式，
，
，
故答案为：．
14．若整数使得关于的不等式组，有且仅有2个奇数解，那么符合条件的所有整数的和为 ．
【答案】
【知识点】由不等式组解集的情况求参数
【分析】本题考查了根据一元一次不等式组解的情况求参数，解题的关键在于正确掌握解一元一次不等式组的步骤方法．根据解一元一次不等式组的步骤方法得到不等式组的解集，再结合不等式组有且仅有2个奇数解得到的取值范围，最后根据为整数取值求和，即可解题．
【详解】解：，
解①得，，
解②得，，
则解集为，
整数使得关于的不等式组有且仅有2个奇数解，
，
解得，
符合条件的所有整数为，，，，
那么符合条件的所有整数的和为，
故答案为：．
15．如图，正方形的顶点在轴上，点，点在反比例函数 图象上，若直线的函数表达式为，则的值为 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、一次函数与反比例函数图象综合判断、反比例函数与几何综合、根据正方形的性质证明
【分析】根据一次函数求得，，得到，，过作轴于，过作轴于，根据正方形的性质得到，，可证明，根据全等三角形的性质得到，，进而证明，根据相似三角形的性质得到，设，，根据反比例函数图像上点的坐标特征即可得到结论．
【详解】解：在中，令，则，令，则，
，，
，，
过作轴于，过作轴于，
四边形是正方形，
，，
，
，
在与中，
，
，
，，
，，
，
，
设，，
，，
，，
点，点在反比例函数图像上，
，
，（不合题意舍去），
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
16．如图，在正六边形中，对角线分别交于点H，G，若与五边形的面积分别为，则 ．
【答案】
【知识点】含30度角的直角三角形、根据矩形的性质求线段长、全等的性质和SAS综合（SAS）、正多边形的内角问题
【分析】本题主要考查正六边形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
由正六边形的性质以及等腰三角形的性质可得，如图：连接，易证四边形是矩形，再证明可得；如图：过B作，则，设正六边形的边长为a，则，根据直角三角形的性质和勾股定理可得、，即；易得，；再说明，最后代入化简即可解答．
【详解】解：∵正六边形，
∴，，
∴，
∴，
如图：连接，
同理可得：，
∴四边形是矩形，
∵正六边形，
∴，，
∴，
∴，
如图：过B作，则，设正六边形的边长为a，则，
∵，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：．
三、解答题：（本大题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．如图，数学课上，老师用四个圆分别代表一种运算，并依据这四个圆设计了数学游戏．例如：若按的顺序运算，则可列算式．
(1)直接写出算式的结果；
(2)若嘉嘉同学选择了的顺序，请列出算式并计算该算式的结果．
【答案】(1)102 (2)
【知识点】含乘方的有理数混合运算
【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，理解题意，熟练掌握含乘方的有理数的混合运算是解题的关键．
（1）先计算括号，然后进行乘方运算即可；
（2）根据题意列式，计算求解即可．
【详解】（1）解：．
（2）解：由题意列出算式为，
原式，
所列算式的计算结果为．
18．课堂上，数学老师展示了两道作业题及其错误的解答过程：
作业题1 作业题2
解分式方程：． 解：去分母，得 ① 去括号，得 ② 移项，得 ③ 合并同类项，得 ④ 系数化为1，得 ⑤ 经检验，是原分式方程的解． 化简分式：． 解： ① ② ③
(1)分别写出作业题1，作业题2的解答过程中是从第几步开始出现错误的；
(2)从两道作业题中任选一题，写出正确的解答过程．
【答案】(1)作业题1：第①步；作业题2：第②步 (2)选作业题1，见解析
【知识点】异分母分式加减法、解分式方程
【分析】本题主要考查分式的减法和解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
（1）观察解题过程即可得出结论；
（2）按照解分式方程的步骤和分式的减法法则进行计算，即可逐一解答．
【详解】（1）解：作业题1：第①步；作业题2：第②步；
（2）解：选作业题1：去分母，得．
去括号，得．
移项，得．
合并同类项，得．
系数化为1，得．
经检验，是原分式方程的解．
选作业题2：
．
19．为了了解全校学生对中国古代数学家的知晓情况，数学老师设计了10道选择题，并对全校学生进行问卷调查，每题1分，调查结束后，随机抽取了部分学生的问卷，将成绩和人数进行整理，并将结果制成了如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题
(1)求抽取了多少份学生的问卷，并补全条形统计图；
(2)求出被抽取学生成绩（单位：分）的众数、中位数和平均数，并判断哪一个最大；
(3)该校共有1200名学生，若成绩不低于9分视为优秀，请估计全校有多少名学生达到优秀．
【答案】(1)100份，图见解析
(2)众数为8，中位数为8，平均数为8.05，平均数最大
(3)估计全校有360名学生达到优秀
【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、条形统计图和扇形统计图信息关联、画条形统计图、由扇形统计图求总量
【分析】（1）根据得分9分的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数，总人数减去已知人数可以将条形统计图补充完整；
（2）根据条形统计图中的数据，可以得到中位数与众数，求出平均数比较即可；
（3）用1200乘以本次测试成绩达到“优秀”的人数所占比例即可．
【详解】（1）解∶抽取的学生问卷有（份）
成绩为“8分”的学生有（名），
补全条形统计图如下：
（2）解：由题意，易得抽取的学生成绩的众数为8，
中位数为8，
平均数为．
，
平均数最大；
（3）解：（名）
答∶估计全校有360名学生达到优秀．
【点睛】此题考查了条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数、众数、平均数，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20．为了加强视力保护意识，欢欢想在书房里挂一张测试距离为的视力表，但两面墙的距离只有．在一次课题学习课上，欢欢向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙两位同学设计方案新颖，构思巧妙．
甲 乙
图例
方案 如图①是测试距离为的大视力表，可以用硬纸板制作一个测试距离为的小视力表②．通过测量大视力表中“”的高度（的长），即可求出小视力表中相应的“”的高度（的长） 使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题．如图，在相距的两面墙上分别悬挂视力表（）与平面镜（），由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表的上、下边沿，发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼处，通过测量视力表的全长（）就可以计算出镜长
(1)甲生的方案中如果大视力表中“”的高是，那么小视力表中相应“”的高是多少？
(2)乙生的方案中如果视力表的全长为，请计算出镜长至少为多少米．
【答案】(1) (2)
【知识点】相似三角形实际应用
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键，
（1）证明，得，代入数据求解，即可得解；
（2）如图，作于点，延长线交于点，证明，得，代入数据求解，即可得解．
【详解】（1）解：由题意知，
，
又，
∴△CAB∽△FAD，
，
由题意知，
，
解得，
即小视力表中相应“”的高是．
（2）解：如图，如图，作于点，延长线交于点，
由题意知，，
，
∴，
，
，
，
，
，
由题意知，
，
，
，
∴镜长至少为．
21．如图，已知直线经过点和，约定在坐标系内可对直线进行如下两种方式操作：
甲方式：先向上平移3个单位，再向右平移1个单位；
乙方式：先向上平移3个单位，再向右平移2个单位．
解决下列问题，
(1)求直线的解析式；
(2)若对直线连续进行两次操作．
①若这两次操作均为甲方式，请直接写出所得直线的解析式，并求其与坐标轴的交点；
②若这两次操作方式是随机选择的，设事件 “所得直线与重合”，求事件发生的概率；
(3)嘉嘉对直线连续进行10次操作得到直线，若，及（2）中三条直线满足“任意两条相邻直线间距离相等”，直接写出：嘉嘉按甲方式进行了几次操作？
【答案】(1) (2)①，；② (3)7次或4次
【知识点】一次函数与几何综合、列表法或树状图法求概率、一次函数图象平移问题、求一次函数解析式
【分析】（1）设直线的解析式为，将点和点的坐标代入求出系数即可求解；
（2）①根据平移的规律：“左加右减，上加下减”即可得到解析式，分别令和，即可求出与坐标轴的交点；
②由操作可得进行一次甲操作相当于直线向上平移1个单位，进行一次乙操作相当于直线向下平移1个单位，列出表得到所有等可能结果，进而得到事件发生的概率；
（3）根据直线，，满足“任意两条相邻直线间距离相等”，可分为三种情况：①若直线在直线上方； ②若直线在直线和直线之间； ③若直线在直线下方来分别求解．
【详解】（1）解：设直线的解析式为，
将点和代入得
，
解得，
∴直线的解析式为；
（2）解：①将直线按甲方式操作得到直线解析式为，
再按甲方式操作得到直线解析式为，
故直线的解析式为，
令，
则，
∴与轴交点坐标为，
令，则，
解得，
∴与轴交点坐标为．
②由①可知进行一次甲操作相当于直线向上平移1个单位，将直线按乙方式操作得到直线解析式为，即进行一次乙操作相当于直线向下平移1个单位故进行一次甲操作和一次乙操作所得直线与直线重合，
由表格可知共有4种等可能的结果，其中事件发生有2种；
．
（3）由（1）（2）得直线的解析式为，直线的解析式为，根据直线，，满足“任意两条相邻直线间距离相等”，可分为三种情况：
①若直线在直线上方，则直线的解析式为，
即直线向上平移4个单位得到直线，
∴10次操作中按甲方式进行了7次操作，按乙方式进行了3次操作；
②若直线在直线和直线之间，则直线的解析式为，
即直线向上平移1个单位得到直线进行10次操作无法得到；
③若直线在直线下方，则直线的解析式为，
即直线向下平移2个单位得到直线，
∴10次操作中按甲方式进行了4次操作，按乙方式进行了6次操作；
综上所述，嘉嘉按甲方式进行了7次或4次操作．
【点晴】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象与几何变换，概率的求法，一次函数图象上点的坐标特征等，准确求出的解析式是解题关键．
22．如图，是的外接圆，为的直径，在外侧作，过点C作于点D，交延长线于点 P．
(1)求证：是的切线；
(2)用无刻度的直尺和圆规作出所对弧的中点F．(不写作法，保留作图痕迹)；
(3)在(2)基础上连接，交于点E，连接，求线段的长．
【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)
【知识点】证明某直线是圆的切线、相似三角形的判定与性质综合、圆周角定理、解直角三角形相关计算
【分析】（1）利用等边对等角得到，结合，推出，证明，由，得到，即可证明；
（2）作直径的垂直平分线交所对弧于点F即可；
（3）连接，利用圆周角定理证明是等腰直角三角形，可求出半径，然后通过相似三角形的性质列方程求解即可．
【详解】（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是圆半径，
∴是的切线；
（2）解：如图所示为所求：
（3）解：连接，
∵，平分，
∴，
∴，
∵，，
∴在中，，
∵ ，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，解得，
∴．
【点睛】本题考查切线的判定，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，属圆的综合题目，熟练掌握相关性质定理和判定定理是解题的关键．
23．综合与实践
【发现问题】如图1是某景点的入口处，大门轮廓形状可视为抛物线，拱门宽3米（拱门所在抛物线与地面所在直线的两交点之间的距离称为拱门宽，这两个交点称为拱门的左端点与右端点），拱高4米（拱门所在抛物线的顶点到地面所在直线的距离称为拱高）．为了缓解入口处人流压力，让拱门成为景点的新一个标志建筑，需要重造扩建拱门．经测算，当拱顶到地面的距离为拱门宽的一半时，拱门最为美观．
【提出问题】在拱门右侧距拱门右端点10米处有一棵高为2米的珍贵树木，不宜移栽，为了不影响树木的生长，需要给树木左右两侧各留足3米，上方留足8米的生长空间（不考虑拱门厚度）．由于地域限制，为使改建后拱门的拱门宽不能超过25米，现以原拱门左端点为起点，向右扩建，拱高在什么范围，才能使拱门最美观，又不影响树木的生长呢？
【分析问题】
（1）二次函数的图象经过和，此抛物线的对称轴为直线________；
（2）如图2，已知二次函数经过点，且与的图象均经过和，则的取值范围是________；
【解决问题】
（3）以原拱门左端点为原点，建立如图3所示的平面直角坐标系，以，为端点的拱门表示原拱门，表示大树．当以原拱门左端点为起点向右扩建，使拱门扩建后最美观且不影响树木的生长时，求此时拱顶到地面的距离的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）或
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质、拱桥问题(实际问题与二次函数)、待定系数法求二次函数解析式
【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．
（1）根据二次函数的性质求解即可；
（2）待定系数法求出，，由图象可得的顶点在的下方，即可得出，求解即可；
（3）设新拱门抛物线解析式为，则抛物线顶点坐标为由题意可得，从而解得，（不符题意，舍去），得到新拱门抛物线解析式为，将代入得，，解得，从而可得，将代入得，，解得，从而可得；将代入得，，解得，从而可得；分别求解即可得解．
【详解】解：（1）∵二次函数的图象经过和，
∴此抛物线的对称轴为直线；
（2）∵二次函数经过和，
∴，
将代入可得：，
∴，
∴，
∵的图象均经过和，
∴，
∵由图象可得：的顶点在的下方，
∴，
解得：；
（3）如图所示，将点分别向左右两侧平移3个单位得到点、，将向上平移个单位，矩形即为大树生长空间．
由题意得，，，
∴，；
设新拱门抛物线解析式为
∴抛物线顶点坐标为
∵拱顶到地面的距离为拱宽的一半，
∴，
解得，（不符题意，舍去），
∴新拱门抛物线解析式为
将代入得，，解得
∴，
∵原拱门拱顶距地面为4米，
∴
将代入得，，解得，
∴
将代入得，，解得
∴
∴
综上所述，的取值范围是或．
24．已知△ABC是等腰直角三角形，，为平面内一点．
(1)如图1，当点在的中点时，连接，将绕点逆时针旋转，得到，若，求的长；
(2)如图2，当点在△ABC外部时，、分别是、的中点，连接、、，将绕点逆时针旋转得到，连接、、，若，求证：；
(3)如图3，当在内部时，连接，将绕点逆时针旋转，得到，若经过中点，连接、，为的中点，连接并延长交于点，当最大时，请直接写出的值．
【答案】(1)的长为； (2)见解析； (3)的值为．
【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、相似三角形的判定与性质综合、全等的性质和SAS综合（SAS）、根据旋转的性质求解
【分析】（1）过点E作交的延长线于H，利用证明，可得，，，运用勾股定理可得，即可得出答案；
（2）连接，过点F作交于H，利用证明，可得，再利用证明，可得，即可得出答案；
（3）设交于点M，作中点P，连接，作中点Q，连接，设,则运用勾股定理可得,进而可得，当A、Q、G三点共线时，，取得最大值，利用证得，可得，，根据，即可求得答案．
【详解】（1）解：过点E作交的延长线于H，如图1，
∵点D是的中点，且，
∴，
在中，，
∴，，
由旋转得：，
即，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
在中，；
（2）解：证明：如图2，连接，过点F作交于H，
∵△ABC是等腰直角三角形，E、F分别是的中点，
∴AE=EF，，
∴，
由旋转得，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：设交于点M，作中点P，连接，作中点Q，连接，如图，
∵将绕点D逆时针旋转，得到，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∵点P是的中点，
∴，
∵Q是的中点，G是的中点，
∴是的中位线，
∴，，
设则
在中，，，
当A、Q、G三点共线时，，取得最大值，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵F是的中点，G是的中点，
∴是△BEC的中位线，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴的值为．
【点睛】本题考查了旋转变换的性质，三角形中位线定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形或全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题
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