湖南省长沙一中2024-2025学年高三下学期月考（七）数学试卷
一、选择题
1．已知复平面内坐标原点为O，复数z对应点Z，z满足z（4﹣3i）＝3+4i，则（ ）
A． B． C．1 D．2
2．如果对于任意实数x，[x]表示不超过x的最大整数，例如[3.1]＝3，[﹣2.1]＝﹣3，那么“|x﹣y|＜1”是“[x]＝[y]”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．天然钻石是在地球深部高压、高温条件下形成的一种由碳元素组成的单质晶体，随着科技发展，人工钻石也在不断涌现，目前已合成的有白钻、黄钻、绿钻及蓝钻．钻石常见外形有圆形、椭圆形、榄尖形、心形、梨形、方形、三角形等！现有一款雕琢后的钻石，其形状如图所示，可看作由正六棱台ABCDEF﹣A1B1C1D1E1F1和正六棱锥P﹣ABCDEF组合而成，其中A1B1＝2，AB 3，若该组合体的外接球存在，且外接球的体积为36π，则AA1的长度为（ ）
A．1 B． C． D．
4．已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，点M，N为异于F1，F2的两点，且M，N的中点在双曲线C的左支上，点M关于F1和F2的对称点分别为A，B，则|NA|﹣|NB|的值为（ ）
A．26 B．﹣26 C．52 D．﹣52
5．定义，设函数f（x）＝min{sinωx，cosωx}（ω＞0），若f（x）在区间上单调递减，则ω的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
6．如果{an}不是等差数列，但若 k∈N*，使得ak+ak+2＝2ak+1，那么称{an}为“局部等差”数列．已知数列{xn}的项数为4，记事件A：集合{x1，x2，x3，x4} {1，2，3，4，5}，事件B：{xn}为“局部等差”数列，则条件概率P（B|A）＝（ ）
A． B． C． D．
7．定义：若存在n个正数x1，x2…，xn，使得f（﹣xi）＝﹣f（xi）（i＝1，2，…，n），则称函数y＝f（x）为“n阶奇性函数”．若函数g（x）是“2阶奇性函数”，则实数m的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，0） B．（0，1）
C．（1，+∞） D．（0，1）∪（1，+∞）
8．设集合A的最大元素为M，最小元素为m，记A的特征值为XA＝M﹣m，若集合中只有一个元素，规定其特征值为0．已知A1，A2，A3， ，An是集合N*的元素个数均不相同的非空真子集，且，则n的最大值为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．18
二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分）
（多选）9．（6分）无穷等比数列{an}的首项为a1公比为q，下列条件能使{an}既有最大值，又有最小值的有（ ）
A．a1＞0，0＜q＜1 B．a1＞0，﹣1＜q＜0
C．a1＜0，q＝﹣1 D．a1＜0，q＜﹣1
（多选）10．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，），若将点A绕原点按顺时针旋转θ弧度，得到点B（x0，y0），记f（θ）＝x0+y0，g（θ）＝2x0y0，则下列结论错误的有（ ）
A．f（θ）＝2cos（）
B．不存在θ，使得f（θ）与g（θ）均为整数
C．f2（θ）﹣8g（θ）＝2
D．存在某个区间（a，b）（a＜b），使得f（θ）与g（θ）的单调性相同
（多选）11．（6分）如图，矩形BDEF所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直，BD＝2，DE＝1，点P在线段上．下列命题正确的是（ ）
A．存在点P，使得直线DP∥平面ACF
B．存在点P，使得直线DP⊥平面ACF
C．直线DP与平面ABCD所成角的正弦值的取值范围是
D．三棱锥A﹣CDE的外接球被平面ACF所截得的截面面积是
三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）
12．（5分）若直线1（a＞0，b＞0）过点（1，2），则2a+b的最小值为 ．
13．（5分）已知平面向量满足，则的取值范围为 ．
14．（5分）若正四棱锥的体积，则正四棱锥的表面积的最小值为 ．
四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．众所周知，乒乓球被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目，包括进攻、对抗和防守．某学校为了丰富学生的课后活动内容，增强学生体质，决定组织乒乓球活动社．以下是接下来7个星期（用x＝1表示第1个星期，用x＝2表示第二个星期，以此类推）参加活动的累计人数y（人）的统计数据．
x 1 2 3 4 5 6 7
y 6 14 20 37 74 108 203
（1）根据表中数据可以判断y与x大致满足回归模型，试建立y与x的回归方程（精确到0.01）；
（2）为了更好地开展体育类型活动，学校继续调查全校同学的身高情况．采用按比例分层抽样抽取了男生30人，其身高的平均数和方差分别为171.5和13.0；抽取了女生20人，其身高的平均数和方差分别为161.5和27.0，试求全体学生身高的平均数和方差．
参考数据：，其中；
参考公式：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2）， ，（un，vn），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．
16．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1B1C⊥平面AA1C1C，∠BAC＝90°．
（1）证明：AC⊥CA1；
（2）若△A1B1C是正三角形，AB＝2AC＝2，求二面角A1﹣AB﹣C的大小．
17．如图，在平面直角坐标系中，M和N是x轴上关于原点对称的两个点，过点M倾斜角为θ的直线l与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，且MB⊥NB．
（1）若N为C的焦点，求证：；
（2）过点A作x轴的垂线，垂足为H，若∠ABH＝2θ，求直线l的方程．
18．已知函数f（x）＝xlnx．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若 0＜x＜1，mf（x）＞x2﹣1恒成立，求实数m的取值范围；
（3）若正实数a，b满足a2+b2＝1，证明：．
19．对于有穷正整数列M：a1，a2， ，an（n≥2），记S＝a1+a2+ +an，若数列M满足： t∈{1，2，3， ，S﹣1，S}， i1，i2， ，in∈{﹣1，0，1}，使得i1a1+i2a2+ +inan＝t，则称M为平滑数列．
（1）已知数列M：1，3；N：2，3，5，判断M，N是否为平滑数列，并说明理由；
（2）若平滑数列M：a1，a2， ，an（n≥3）是公差为d的等差数列，求d的最大值；
（3）若平滑数列M的项数为5，求S的最大值．
参考答案
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B D D A C D C
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 BC BC ACD
12.8．
13.[3，4]．
14. 4
15.解：（1）根据题意可知，y＝cdx，两边取常用对数可得lgy＝lg（cdx）＝lgc+xlgd，
设z＝lgy，a＝lgc，b＝lgd，则回归方程变为z＝a+bx，
，n＝7，，
根据参考公式，
，
，
则z＝0.25x+0.57，
因为a＝lgc，b＝lgd，所以lgc≈0.57，则c≈100.57，lgd≈0.25，则d≈100.25，
所以y与x的回归方程为，
即y＝100.25x+0.57；
（2）全体学生身高的平均数，
根据方差公式（其中n1，n2为各层人数，为各层方差，为各层平均数，为总平均数），
将n1＝30，，，n2＝20，，，代入可得：
，
则全体学生身高的平均数为167.5，方差为42.6．
16.证明：（Ⅰ）过点B1作A1C的垂线，垂足为O，
由平面A1B1C⊥平面AA1C1C，平面A1B1C∩平面AA1C1C＝A1C，
得B1O⊥平面AA1C1C，
又AC 平面AA1C1C，得B1O⊥AC．
由∠BAC＝90°，AB∥A1B1，得A1B1⊥AC．
又B1O∩A1B1＝B1，得AC⊥平面A1B1C．
又CA1 平面A1B1C，得AC⊥CA1．…（4分）
（Ⅱ）以C为坐标原点，的方向为x轴正方向，||为单位长，建立空间直角坐标系C﹣xyz．
由已知可得A（1，0，0），A1（0，2，0），B1（0，1，）．
所以（1，0，0），（﹣1，2，0），（0，﹣1，）．…（6分）
设（x，y，z）是平面A1AB的法向量，
则，即
可取（2，，1）．…（8分）
设（x，y，z）是平面ABC的法向量，则
，即，
可取（0，，1）．…（10分）
则cos，．
又因为二面角A1﹣AB﹣C为锐二面角，
所以二面角A1﹣AB﹣C的大小为．…（12分）
17.解：（1）证明：易知N（1，0），M（﹣1，0），
设B（x2，y2），
因为MB⊥NB，
所以点B在圆x2+y2＝1上，
因为点B在抛物线C上，
联立，消去y并整理得x2+4x﹣1＝0，
解得，
因为x＞0，
所以，
此时，|MN|＝2，
则，
故；
（2）因为∠ABH＝2θ，∠AMH＝θ，
所以∠BHM＝θ，
此时BM＝BH，
则点B必在MH中垂线上，
设直线l的方程为y＝k（x﹣m），k＞0，M（m，0），A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，消去y并整理得k2x2﹣（2k2m+4）x+k2m2＝0，
此时Δ＝（2k2m+4）2﹣4k4m2＞0，
由韦达定理得，，
因为点B在MH中垂线上，
所以m＝2x2﹣x1，
此时，
即，
对等式两边同时除以，
可得，
解得或，
因为x1≠x2，
所以x1＝4x2，，
因为MB⊥NB，
所以，
即，
所以，，，，
则直线l的方程为
即．
18.解：（1）函数f（x）＝xlnx的定义域为（0，+∞），f′（x）＝1+lnx，
令f′（x）＝0，可得x，
当时，f′（x）＜0，当时，f′（x）＞0，
故f（x）的单调递减区间，单调递增区间；
（2）由mf（x）＞x2﹣1，即对 x∈（0，1）恒成立，
设，0＜x＜1，则g（1）＝0，
，
当m≤2时，，则g（x）在（0，1）上单调递增，
故g（x）＜g（1）＝0，符合题意；
当m＞2时，令g′（x）＝0，则x2﹣mx+1＝0，因Δ＝m2﹣4＞0，
则该一元二方程存在两个根x1，x2，又x1+x2＝m＞0，x1x2＝1，则0＜x1＜1＜x2，
当0＜x＜x1时，g′（x）＞0，当x1＜x＜1时，g′（x）＜0，
则g（x）在（0，x1）上单调递增，在（x1，1）上单调递增减，
则当x∈（x1，1）时，g（x）＞g（1）＝0不符合题意，
综上，实数m的取值范围为（﹣∞，2]．
（3）证明：令a＝cosx，b＝sinx，，
令F（x）＝f（a）+f（b）＝cosxln（cosx）+sinxln（sinx），
则
＝﹣sinx ln（cosx）+cosx ln（sinx）﹣sinx+cosx
，
设，x∈（0，1），则，则h（x）在（0，1）上单调递增，
当时，sinx＜cosx，则h（sinx）＜h（cosx），F′（x）＜0；
当时，sinx＞cosx，则h（sinx）＞h（cosx），F′（x）＞0，
则F（x）在上单调递减，在上单调递增，
则，
由（2）可知，当0＜x＜1时，，则
综上可知，．
19.解：（1）M：1，3是平滑数列，N：2，3，5不是平滑数列．
根据题目定义：对于有穷正整数列M：a1，a2， ，an（n≥2），记S＝a1+a2+ +an，
若数列M满足： t∈{1，2，3， ，S﹣1，S}， i1，i2， ，in∈{﹣1，0，1}，
使得i1a1+i2a2+ +inan＝t，则称M为平滑数列．
理由：
对于M，S＝1+3＝4，又a1＝1，a2﹣a1＝2，a2＝3，a1+a2＝4．符合平滑数列的定义．
对于N，S＝2+3+5＝10，考虑到a2+a3＜9＜a1+a2+a3，
因此9无法被表示．
（2）d的最大值为2．
先证d≤2．假设d＞2：因为n≥3，于是S＞6．
则S﹣1＝a2+a3+ +an＝S﹣a1，即a1＝1．
因为d＞2，于是﹣a1+a2＞a1．
所以S﹣2＝﹣a1+a2+a3+ +an＝S﹣2a1；
S﹣3＝a1+a3+a4+ +an＝S﹣a2＝S﹣1﹣d，
可以得到d＝2，与假设矛盾，因此假设不成立，即d≤2．
再证d可以取到2：构造数列Mn：1，3，5， ，2n﹣1．以下用归纳法证明对于任意n≥2，
该数列是平滑数列．根据等差数列的性质，有1+3+ +2n﹣1＝n2．
首先，由（1）知M2为平滑数列．
假设Mk（k≥2）为平滑数列，即 t∈{1，2，3， ，k2}， i1，i2， ，ik∈{﹣1，0，1}，
使得i1+3i2+ +（2k﹣1）ik＝t
那么对于Mk+1，由归纳假设，此时若令ik+1＝0，可以表示{1，2，3， ，k2}中的任意数；
根据题目定义：对于有穷正整数列M：a1，a2， ，an（n≥2），记S＝a1+a2+ +an，
若数列M满足： t∈{1，2，3， ，S﹣1，S}， i1，i2， ，in∈{﹣1，0，1}，
使得i1a1+i2a2+ +inan＝t，则称M为平滑数列．
若令ik+1＝1，可以表示{2k+1，2k+1+1，2k+1+2，2k+1+3， ，2k+1+k2}＝{2k+2，2k+3， ，（k+1）2}中的任意数．
因为k≥2时，k2+1≥2k+1，所以上述两集合包含了从1到（k+1）2中的所有自然数．
所以Mk+1为平滑数列．因此d＝2合题意．
平滑数列M：a1，a2， ，an（n≥3）公差为d的等差数列，d的最大值是2．
（3）平滑数列M的项数为5，S的最大值是121．先证S≤121．
对于平滑数列M：a1，a2，a3，a4，a5，对于i1a1+i2a2+i3a3+i4a4+i5a5，
考虑in∈{﹣1，0，1}（1≤n≤5）的所有可能情况，共有35＝243种．
当i1＝i2＝i3＝i4＝i5＝0时，此时和为零，于是非零的情况至多有242种．
又对于每一组in，都可取in'＝﹣in与之对应，
此时i1a1+i2a2+i3a3+i4a4+i5a5＝﹣（i1'a1+i2'a2+i3'a3+i4'a4+i5'a5），
因此和为正数的情况至多有种．
因此S≤121．
再证S可取到121．
构造数列M：1，3，9，27，81．由于1+3+9+27+81＝121及上面的论证，
只需证明对于不同的in∈{﹣1，0，1}（1≤n≤5），i1a1+i2a2+i3a3+i4a4+i5a5各不相同．
in，in'∈{﹣1，0，1}（1≤n≤5），设Δn＝in﹣in'，有Δn∈{﹣2，﹣1，0，1，2}，
若满足i1a1+i2a2+i3a3+i4a4+i5a5＝i1'a1+i2'a2+i3'a3+i4'a4+i5'a5，
即Δ1+3Δ2+9Δ3+27Δ4+81Δ5＝0．
若Δ1≠0，此时Δ1不是3的倍数，但3Δ2+9Δ3+27Δ4+81Δ5是3的倍数，矛盾．因此Δ1＝0；
若Δ2≠0，此时Δ1不是9的倍数，但9Δ3+27Δ4+81Δ5＝0是9的倍数，矛盾．因此Δ2＝0；
同理可证Δ3、Δ4、Δ5均等于零．
因此若i1a1+i2a2+i3a3+i4a4+i5a5＝i1'a1+i2'a2+i3'a3+i4'a4+i5'a5，必有in＝in'．得证．
