2.2.1 空间向量的概念及线性运算
课标要求 1.经历由平面向量推广到空间向量的过程,了解空间向量的概念. 2.经历由平面向量的运算及其运算律推广到空间向量的过程. 3.掌握空间向量的线性运算.
【知识梳理】
1.空间向量的基本概念
(1)空间向量的概念:空间中既有 又有 的量称为空间向量.
(2)空间向量的模:空间向量a的 称为a的模,记为 .
(3)空间向量的表示:要表示空间向量a,可以从任意一点A出发作有向线段,使的 与a相同,长度与|a|相等,则有向线段表示向量a,记作a= .
(4)几类特殊向量
概念 定义
单位向量 长度为 的向量
零向量 模为 的向量,记为 .零向量的方向可以是任意的
相等向量 方向 且长度 的向量
相反向量 方向相反,长度相等
共线向量 (平行向量) 对于空间任意两个向量a,b(a≠0),若 ,其中λ为实数,则b与a共线或平行,记作 .零向量与任意向量
温馨提醒 (1)平面向量是一种特殊的空间向量.
(2)两个向量相等的充要条件为长度相等,方向相同.
(3)向量不能比较大小.
2.空间向量的加减法
加法 运算 三角形 法则 语言 首尾顺次相接,首指向尾为和
图形
平行四 边形法 则 语言 共起点的两边为邻边作平行四边形,共起点 为和
图形
减法 运算 三角形 法则 语言 共起点,连终点,方向指向
图形
加法运 算律 交换律 a+b=
结合律 (a+b)+c=
温馨提醒 (1)求向量和时,可以首尾相接,也可共起点;求向量差时,可以共起点.
(2)三角形法则、平行四边形法则在空间向量中也适用.
3.空间向量与实数相乘
定义 任何一个向量a都可看作某平面上的向量,它与实数λ相乘可类比平面向量数乘的法则进行,因而有|λa|=
几何 意义 λ>0 λa与a方向 λa的长度是a的长度的 倍
λ<0 λa与a方向
λ=0 λa=0,其方向是 的
运算 律 对实数加法的分配律 (λ1+λ2)a=
对向量加法的分配律 λ(a+b)=λa+λb,其中λ∈R
温馨提醒 (1)当λ=0或a=0时,λa=0.
(2)λ的正负影响着向量λa的方向,λ的绝对值的大小影响着λa的长度.
(3)向量λa与向量a一定是共线向量.
4.向量共线(平行)
对于空间任意两个向量a,b(a≠0),若 ,其中λ为实数,则b与a共线或平行,记作b∥a.
【自测检验】
1.思考辨析,判断正误
(1)若向量a与b都是单位向量,则a=b. ( )
(2)若a=-b,则|a|=|b|. ( )
(3)若两个向量的终点重合,则这两个向量的方向相同. ( )
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,=a,=b,=c,则= ( )
A.a+b+c B.a-b+c
C.a+b-c D.a-b-c
3.化简:= .
4.已知a与b不共线,若向量2a-b和3a+mb共线,则实数m= .
题型一 空间向量的有关概念
例1 (1)下列关于空间向量的说法中正确的是 ( )
A.若向量a,b平行,则a,b所在的直线平行
B.若|a|=|b|,则a,b的长度相等而方向相同或相反
C.若向量,|,则
D.相等向量其方向必相同
(2)(多选)下列命题为真命题的是 ( )
A.若空间向量a,b满足|a|=|b|,则a=b
B.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,必有
C.若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则m=p
D.空间中,a∥b,b∥c,则a∥c
思维升华 空间向量的概念与平面向量的概念相类似,平面向量的其他相关概念,如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念.
训练1 (1)(多选)下列命题中为真命题的是 ( )
A.同平面向量一样,任意两个空间向量都不能比较大小
B.两个相等的向量,若起点相同,则终点也相同
C.只有零向量的模等于0
D.共线的单位向量都相等
(2)如图所示,以长方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点的两点为起点和终点的向量中,
①试写出与相等的所有向量;
②试写出的相反向量;
③若AB=AD=2,AA1=1,求向量的模.
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题型二 空间向量的加减运算
例2 (1)(多选)如图,在正方体ABCD -A1B1C1D1中,下列各式运算结果为的是 ( )
A. B.
C. D.
(2)化简()-()= .
思维升华 空间向量加法、减法运算的两个技巧
(1)巧用相反向量:向量的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键,灵活运用相反向量可使向量首尾相接.
(2)巧用平移:利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时,务必注意和向量、差向量的方向,必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果.
训练2 如图,已知空间四边形ABCD,连接AC,BD,E,F,G分别是BC,CD,DB的中点,请化简以下式子,并在图中标出化简结果.
(1);
(2).
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题型三 空间向量与实数相乘
例3 如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,设=a,=b,=c,M,N,P分别是AA1,BC,C1D1的中点,试用a,b,c表示以下各向量:
(1);(2);(3);(4).
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迁移 若把例3中“P是C1D1的中点”改为“P在线段C1D1上,且”,其他条件不变,如何表示
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思维升华 利用向量与实数相乘运算进行向量表示的技巧
(1)数形结合:利用向量与实数相乘运算解题时,要结合具体图形,利用三角形法则、平行四边形法则,将目标向量转化为已知向量.
(2)明确目标:在化简过程中要有目标意识,巧妙运用中点性质.
训练3 已知四边形ABCD为正方形,P是四边形ABCD所在平面外一点,P在平面ABCD上的射影恰好是正方形的中心O,Q是CD的中点,求下列各题中x,y的值.
(1);
(2).
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题型四 向量共线问题
例4 如图,四边形ABCD和ABEF都是平行四边形,且不共面,M,N分别是AC,BF的中点,则是否共线
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思维升华 向量共线的判定及应用
(1)判断或证明两向量a,b(a≠0)共线,就是寻找实数λ,使b=λa成立,为此常结合题目图形,运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达.
(2)判断或证明空间中的三点(如P,A,B)共线的方法,是否存在实数λ,使.
训练4 如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为A1C上一点,且,BD与AC交于点M.求证:C1,O,M三点共线.
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【课堂达标】
1.已知空间中任意四个点A,B,C,D,则等于 ( )
A.
2.在三棱锥O-ABC中,等于 ( )
A.
3.设有四边形ABCD,O为空间任意一点,且,则四边形ABCD是 ( )
A.平行四边形 B.空间四边形
C.等腰梯形 D.矩形
4.在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,若,则x+y+z= .
2.2.1 空间向量的概念及线性运算
新知导学
知识梳理
1.(1)大小 方向 (2)大小(或长度) |a|
(3)方向 (4)1 0 0 相同 相等 b=λa b∥a 平行
2.对角线 被减向量 b+a a+(b+c)
3.|λ||a| 相同 相反 任意 |λ|
λ1a+λ2a
4.b=λa
自测检测
1.(1)× 提示 若a与b都是单位向量,则|a|=|b|,但未必有a=b.
(2)√
(3)× 提示 两个向量的终点重合,但起点可能不同,则其方向的关系不能确定.
2.A [=a+b+c.]
3. [.]
4.- [因为2a-b和3a+mb共线,
故存在实数λ,使得2a-b=λ(3a+mb),
又a与b不共线,
故3λ=2,且λm=-1,解得m=-.]
题型剖析
例1 (1)D (2)BC [(1)A中,向量a,b平行,则a,b所在的直线平行或重合;B中,|a|=|b|只能说明a,b的长度相等而方向不确定; C中,向量不能比较大小,故选D.
(2)A中命题为假命题,根据向量相等的定义知,两向量相等,不仅模要相等,而且还要方向相同,而A中向量a与b的方向不一定相同;
B中命题为真命题,的方向相同,模也相等,故;
C中命题为真命题,向量的相等满足传递性;
D中命题为假命题,平行向量不一定具有传递性,当b=0时,a与c不一定平行.]
训练1 (1)ABC [容易判断D是假命题,共线的单位向量是相等向量或相反向量.]
(2)解 ①与向量相等的所有向量(除它自身之外)有,,共3个.
②向量,,,,共4个.
③|
==3.
例2 (1)AB (2)0 [(1)A中,;
B中,
=;
C中,
=;
D中,.故选AB.
(2)法一(转化为加法运算)
()-()=
==0.
法二(转化为减法运算)
()-()
=()+()
==0.]
训练2 解 (1),如图中向量.
(2),
如图中向量.
例3 解 (1)∵P是C1D1的中点,
∴
=a+
=a+c+
=a+b+c.
(2)∵N是BC的中点,
∴
=-a+b+
=-a+b+
=-a+b+c.
(3)∵M是AA1的中点,
∴
=
=-a+
=a+b+c.
(4)因为P,N分别是D1C1,BC的中点,
所以
=+(-)+
=-a+b-c.
迁移 解
=
=a+c+b.
训练3 解 (1)由图可知,=()=,
∴x=y=-.
(2)∵,
∴.
∵,
∴,
∴-(2)
=2.
∴x=2,y=-2.
例4 解 法一 ∵M,N分别是AC,BF的中点,且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形,
∴
=. ①
又∵
=-, ②
①+②得2,
∴,即共线.
法二 ∵M,N分别是AC,BF的中点,且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形,
∴()-
=()-()
=()=()=.
∴,即共线.
训练4 证明 设=a,=b,=c,
则
=()+()
=()
=
=a+b+c,
()+a+b+c,
∴,
又直线MC1与直线MO有公共点M,
∴C1,O,M三点共线.
课堂达标
1.D [法一 =()-.
法二 +()=.]
2.C [
=.]
3.A [∵,
∴,
∴|,
∴四边形ABCD为平行四边形.]
4.6 [在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,,
又,
∴∴x+y+z=6.](共68张PPT)
2.2.1 空间向量的概念及线性运算
第2章 2.2 空间向量及其运算
1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念.
2.经历由平面向量的运算及其运算律推广到空间向量的过程.
3.掌握空间向量的线性运算.
课标要求
新知导学
题型剖析
课时精练
内容索引
新知导学
1.空间向量的基本概念
(1)空间向量的概念：空间中既有______又有______的量称为空间向量.
(2)空间向量的模：空间向量a的________________称为a的模，记为________.
知识梳理
大小
方向
大小(或长度)
|a|
方向
(4)几类特殊向量
概念 定义
单位向量 长度为____的向量
零向量 模为____的向量，记为____.零向量的方向可以是任意的
相等向量 方向______且长度______的向量
相反向量 方向相反，长度相等
共线向量(平行向量) 对于空间任意两个向量a，b(a≠0)，若__________，其中λ为实数，则b与a共线或平行，记作________.零向量与任意向量______
1
0
0
相同
相等
b＝λa
b∥a
平行
(1)平面向量是一种特殊的空间向量.
(2)两个向量相等的充要条件为长度相等，方向相同.
(3)向量不能比较大小.
温馨提醒
2.空间向量的加减法
对角线
被减向量
加法运 算律 交换律 a＋b＝________
结合律 (a＋b)＋c＝________________
b＋a
a＋(b＋c)
(1)求向量和时，可以首尾相接，也可共起点；求向量差时，可以共起点.
(2)三角形法则、平行四边形法则在空间向量中也适用.
温馨提醒
3.空间向量与实数相乘
定义 任何一个向量a都可看作某平面上的向量，它与实数λ相乘可类比平面向量数乘的法则进行，因而有|λa|＝______________
几何 意义 λ>0 λa与a方向______ λa的长度是a的长度的________倍
λ<0 λa与a方向______
λ＝0 λa＝0，其方向是______的
运算 律 对实数加法的分配律 (λ1＋λ2)a＝________________
对向量加法的分配律 λ(a＋b)＝λa＋λb，其中λ∈R
|λ||a|
相同
相反
任意
|λ|
λ1a＋λ2a
(1)当λ＝0或a＝0时，λa＝0.
(2)λ的正负影响着向量λa的方向，λ的绝对值的大小影响着λa的长度.
(3)向量λa与向量a一定是共线向量.
温馨提醒
4.向量共线(平行)
对于空间任意两个向量a，b(a≠0)，若__________，其中λ为实数，则b与a共线或平行，记作b∥a.
b＝λa
1.思考辨析，判断正误
(1)若向量a与b都是单位向量，则a＝b.( )
提示 若a与b都是单位向量，则|a|＝|b|，但未必有a＝b.
(2)若a＝－b，则|a|＝|b|.( )
(3)若两个向量的终点重合，则这两个向量的方向相同.( )
提示 两个向量的终点重合，但起点可能不同，则其方向的关系不能确定.
自测检验
×
√
×
√
4.已知a与b不共线，若向量2a－b和3a＋mb共线，则实数m＝________.
因为2a－b和3a＋mb共线，
故存在实数λ，使得2a－b＝λ(3a＋mb)，
又a与b不共线，
题型剖析
√
A中，向量a，b平行，则a，b所在的直线平行或重合；B中，|a|＝|b|只能说明a，b的长度相等而方向不确定； C中，向量不能比较大小，故选D.
题型一 空间向量的有关概念
例1
√
√
思维升华
空间向量的概念与平面向量的概念相类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念.
√
(1)(多选)下列命题中为真命题的是
A.同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小
B.两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
C.只有零向量的模等于0
D.共线的单位向量都相等
训练1
√
√
容易判断D是假命题，共线的单位向量是相等向量或相反向量.
√
题型二 空间向量的加减运算
例2
√
0
思维升华
空间向量加法、减法运算的两个技巧
(1)巧用相反向量：向量的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接.
(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果.
如图，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，请化简以下式子，并在图中标出化简结果.
训练2
题型三 空间向量与实数相乘
例3
∵P是C1D1的中点，
(2)∵N是BC的中点，
迁移
思维升华
利用向量与实数相乘运算进行向量表示的技巧
(1)数形结合：利用向量与实数相乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量.
(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质.
训练3
由图可知，
题型四 向量共线问题
例4
法一 ∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，
法二 ∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，
思维升华
训练4
课堂达标
√
√
√
6
课时精练
√
1.向量a，b互为相反向量，已知|b|＝3，则下列结论正确的是
A.a＝b B.a＋b为实数0
C.a与b方向相同 D.|a|＝3
向量a，b互为相反向量，则a，b模相等，方向相反，故选D.
√
√
√
√
对于A，向量共线是指表示向量的有向线段所在直线平行或重合，所以A错误；
√
√
√
作出平行六面体ABCD－A′B′C′D′的图象如图，
根据空间向量的数乘运算法则可知，
－8
设AC的中点为G，连接EG，FG，
10.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是BB1的中点.化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量.
(2)因为M是BB1的中点，
√
因为|BM|＝2|MC′|，
在四面体ABCD中，E，G分别是CD，BE的中点，
又D′是直线D′M和D′N的公共点，
故D′M和D′N重合，
即M，N，D′三点在一条直线上.
如图，取AA′的中点E，在D′C′上取一点F，使|D′F|＝2|FC′|，
连接EF，课时精练16 空间向量的概念及线性运算
(分值:100分)
单选题每小题5分,共20分;多选题每小题6分,共12分.
一、基础巩固
1.向量a,b互为相反向量,已知|b|=3,则下列结论正确的是 ( )
a=b a+b为实数0
a与b方向相同 |a|=3
2.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,若=a,=b,=c,则等于 ( )
a+b-c a-b+c
b-a-c b-a+c
3.(多选)如图,在四棱柱的上底面ABCD中,,则下列向量相等的是 ( )
4.下列说法中正确的是 ( )
空间中共线的向量必在同一条直线上
的充要条件是A与C重合,B与D重合
数乘运算中,λ既决定大小,又决定方向
在四边形ABCD中,一定有
5.(多选)已知平行六面体ABCD-A'B'C'D',则下列四式中正确的有 ( )
6.化简(a+2b-3c)+5-3(a-2b+c)= .
7.设e1,e2是不共线的向量,已知=2e1+ke2,=e1+3e2,=2e1-e2,若A,B,D三点共线,则实数k为 .
8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M是AA1的中点,已知=a,=b,=c,用a,b,c表示,则= .
9.(10分)如图所示,在空间四边形ABCD中,点E,F分别是AB,CD的中点,请判断向量是否共线.
10.(10分)如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M是BB1的中点.化简下列各式,并在图中标出化简得到的向量.
(1);
(2);
(3).
二、综合运用
11.如图,在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,AC与BD的交点为O,点M在BC'上,且|BM|=2|MC'|,则等于 ( )
-
-
12.如图,在四面体ABCD中,E,G分别是CD,BE的中点,若记=a,=b,=c,则= .
13.(13分)如图,平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,点M在线段A'B上,且,点N在线段A'C上,且.
求证:M,N,D'三点在一条直线上.
三、创新拓展
14.(15分)如图,已知ABCD-A'B'C'D'是平行六面体.
(1)化简,并在图中标出其结果;
(2)设M是底面ABCD的中心,N是侧面BCC'B'对角线BC'上的分点,设,试求α,β,γ的值.
课时精练16 空间向量的概念及线性运算
1.D [向量a,b互为相反向量,则a,b模相等,方向相反,故选D.]
2.C [
=()-,
∵=c,∴=b-a-c.]
3.AD [对于A,的方向相同,大小相等,因而是相等向量,所以A正确;
对于B,的方向相反,因而不是相等向量,所以B错误;
对于C,的方向不同,因而不是相等向量,所以C错误;
对于D,的方向相同,大小相等,是相等向量,因而D正确.]
4.C [对于A,向量共线是指表示向量的有向线段所在直线平行或重合,所以A错误;
对于B,|,且,同向.但A与C,B与D不一定重合,所以B错误;
对于C,λ既决定大小又决定方向,所以C正确;
对于D,满足的一定是平行四边形,一般四边形是不满足的,因而D错误.
综上可知,正确的为C.]
5.ABC [ 作出平行六面体ABCD-A'B'C'D'的图象如图,可得,故A正确;
,故B正确;C显然正确;
,故D不正确.综上,正确的有ABC.]
6.a+b-c [根据空间向量的数乘运算法则可知,
原式=a+b-c+a-b+c-3a+6b-3c=a+b+c=a+b-c.]
7.-8 [因为=e1-4e2,=2e1+ke2,且A,B,D三点共线,由向量共线的充要条件得,所以k=-8.]
8.-a-b+c [ ∵,
又∵M是AA1的中点,∴,
∴,
∵=a,=b,=c,
∴=-a-b+c.]
9.解 设AC的中点为G,连接EG,FG,
∴,,
∴
=(),
∴共线.
10.解 (1).
(2)因为M是BB1的中点,
所以,
所以.
(3).
向量,,如图所示.
11.C [ 因为|BM|=2|MC'|,
所以,
在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,
=()
=()+()
=.]
12. a+b+c [ 在四面体ABCD中,E,G分别是CD,BE的中点,
则
=()
=()
=
=
=a+b+c.]
13.证明 设=a,=b,=c,
则=a-c.
又,
所以(a-c),
=-b+(a-c)
=(a-3b-c).
因为=a-c+=a-c+b,
(a-c+b),
所以=-b+(a-c+b)=(a-3b-c).
所以.
由两个非零向量平行的充要条件,
可知.
又D'是直线D'M和D'N的公共点,
故D'M和D'N重合,
即M,N,D'三点在一条直线上.
14.解 (1)如图,取AA'的中点E,在D'C'上取一点F,使|D'F|=2|FC'|,连接EF,
则,向量如图所示.
(2)因为
=()+()=,
所以α=,β=,γ=.
