2.3.2 空间向量运算的坐标表示
课标要求 1.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示. 2.掌握空间向量的数量积及其坐标表示.
3.能利用空间向量的坐标运算解决有关问题.
【知识梳理】
1.空间向量运算的坐标表示
设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则有
向量运算 坐标表示
加法 a+b=
减法 a-b=
数乘 λa=
数量积 a·b=
2.空间向量的平行、垂直及模长和夹角的坐标表示
设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则有
名称 满足条件
向量表示形式 坐标表示形式
a∥b a=λb(b≠0) x1=λx2,y1=λy2, z1=λz2(λ∈R)
a⊥b a·b=0
模 |a|= |a|=
夹角 cos
温馨提醒 (1)空间两直线的夹角可转化为两向量的夹角,设直线AB与CD所成角为θ,cos θ=│cos<,>│.
(2)求空间线段的长度即求对应空间向量的模长,因此空间两点间的距离公式就是对空间向量的模长的计算.
【自测检验】
1.思考辨析,判断正误
(1)若A(1,1,0),B(2,3,1),则=(-1,-2,-1). ( )
(2)对于空间任意两个向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),若a与b共线,则. ( )
(3)空间向量a=(0,0,-1)与b=(1,0,0)垂直. ( )
2.已知向量a=(3,-2,1),b=(-2,4,0),则4a+2b等于 ( )
A.(16,0,4) B.(8,-16,4)
C.(8,16,4) D.(8,0,4)
3.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a-b互相垂直,则k的值是 ( )
A.1 B.
4.向量a=(1,2,3)的模长为 .
题型一 线性运算的坐标表示
例1 已知空间三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4).
(1)求,;
(2)是否存在实数x,y,使得成立,若存在,求x,y的值;若不存在,请说明理由.
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思维升华 (1)向量的坐标可由其两个端点的坐标确定,即向量的坐标等于其终点的坐标减去起点的坐标.特别地,当向量的起点为坐标原点时,向量的坐标即是终点的坐标.
(2)进行空间向量的加、减、数乘的坐标运算的关键是运用好其运算性质.
训练1 已知A(2,-1,2),B(4,5,-1),C(-2,2,3),则满足条件()的点P的坐标为 .
题型二 空间向量平行、垂直的坐标表示
例2 已知空间三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设=a,=b.
(1)设向量c=,试判断2a-b与c是否平行
(2)若ka+b与ka-2b互相垂直,求k.
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思维升华 判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件;已知两向量平行或垂直求参数值,则利用平行、垂直的充要条件,将位置关系转化为坐标关系,列方程(组)求解.
训练2 (1)已知向量a=(-1,2,1),b=(3,x,y),且a∥b,那么b的坐标为 ( )
A.(3,-6,-3) B.(3,-3,-6)
C.(3,2,1) D.(3,1,2)
(2)已知向量a=(2,2,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a+b互相垂直,则k的值是 ( )
A.1 B.
题型三 空间向量运算的坐标表示的应用
例3 棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是DD1,BD,BB1的中点.
(1)求证:EF⊥CF;
(2)求异面直线EF与CG所成角的余弦值;
(3)求CE的长.
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思维升华 通过分析几何体的结构特征,建立适当的坐标系,使尽可能多的点在坐标轴上,以便写点的坐标时便捷.建立坐标系后,写出相关点的坐标,然后再写出相应向量的坐标表示,把向量坐标化,然后再利用向量的坐标运算求解夹角、长度和证明问题.
训练3 在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PA与平面ABCD所成的角为60°,在四边形ABCD中,∠ADC=∠DAB=90°,AB=4,CD=1,AD=2.
(1)求BP的长;
(2)求异面直线PA与BC所成的角的余弦值.
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【课堂达标】
1.已知a=(1,1,0),b=(0,1,1),c=(1,0,1),p=a-b,q=a+2b-c,则p·q等于 ( )
A.-1 B.1
C.0 D.-2
2.向量a=(2,4,x),b=(2,y,2),若|a|=6,且a⊥b,则x+y的值为 ( )
A.-3 B.1
C.-3或1 D.3或1
3.(多选)若向量a=(1,2,0),b=(-2,0,1),则 ( )
A.cos
C.a∥b D.|a|=|b|
4.已知空间三点A(-2,2,1),B(-1,1,-2),C(-4,0,2),若向量3垂直,则k的值为 .
2.3.2 空间向量运算的坐标表示
新知导学
知识梳理
1.(x1+x2,y1+y2,z1+z2) (x1-x2,y1-y2,z1-z2) (λx1,λy1,λz1),λ∈R x1x2+y1y2+z1z2
2.x1x2+y1y2+z1z2=0
自测检测
1.(1)× 提示 因为一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标,所以=(1,2,1).
(2)× 提示 当b1,b2,b3至少有一个为0时不成立.
(3)√
2.D [4a+2b=4(3,-2,1)+2(-2,4,0)=(12,-8,4)+(-4,8,0)=(8,0,4).]
3.D [因为ka+b=(k-1,k,2),
2a-b=(3,2,-2),
所以(ka+b)·(2a-b)=3(k-1)+2k-4=0,解得k=.]
4. [|a|=.]
题型剖析
例1 解 (1)=(-1,1,2)-(-2,0,2)=(1,1,0),
=(-3,0,4)-(-2,0,2)=(-1,0,2).
=(1,1,0)+(-1,0,2)=(0,1,2),
=(1,1,0)-(-1,0,2)=(2,1,-2).
(2)假设存在x,y∈R满足条件,
由已知可得=(-2,-1,2).
由题意得(-1,0,2)=x(1,1,0)+y(-2,-1,2),
所以(-1,0,2)=(x-2y,x-y,2y),
所以
所以存在实数x=1,y=1使得结论成立.
训练1 [∵(),
∴,则,
即,
∴=(2,-1,2)+(6,3,-4)
=.]
例2 解 (1)因为a==(1,1,0),
b==(-1,0,2),
所以2a-b=(3,2,-2),
又c=,
所以2a-b=-2c,
所以(2a-b)∥c.
(2)由(1)知a=(1,1,0),b=(-1,0,2),
所以ka+b=(k-1,k,2),
ka-2b=(k+2,k,-4).
又因为(ka+b)⊥(ka-2b),
所以(ka+b)·(ka-2b)=0,
即(k-1,k,2)·(k+2,k,-4)=2k2+k-10=0,解得k=2或-.
训练2 (1)A (2)D [(1)由于a∥b,
所以,
解得x=-6,y=-3,所以b=(3,-6,-3).
(2)由a,b的坐标可得ka+b=(2k-1,2k,2),2a+b=(3,4,2),两向量互相垂直,
则(ka+b)·(2a+b)=0,
即3×(2k-1)+2k×4+2×2=0,
解得k=-.]
例3 (1)证明 建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,
则D(0,0,0),
E,
C(0,1,0),
F,
G.
所以,
,,
.
因为×0=0,
所以,即EF⊥CF.
(2)解 因为,
|,
|,
所以cos<,
=.
所以异面直线EF与CG所成角的余弦值为.
(3)解 CE=|
=.
训练3 解 (1)如图,建立空间直角坐标系.
∵∠ADC=∠DAB=90°,
AB=4,CD=1,AD=2,
∴A(2,0,0),C(0,1,0),B(2,4,0).
由PD⊥平面ABCD,得
∠PAD为PA与平面ABCD所成的角,
∴∠PAD=60°.
在Rt△PAD中,由AD=2,得PD=2,
∴P(0,0,2),
∴BP=||=.
(2)由(1)得,=(2,0,-2),
=(-2,-3,0),
∴cos<,>
=
=-,
又异面直线所成角的范围是,
∴异面直线PA与BC所成角的余弦值为.
课堂达标
1.A [∵p=a-b=(1,0,-1),q=a+2b-c=(0,3,1),
∴p·q=1×0+0×3+(-1)×1=-1.]
2.C [由题意得=6,4+4y+2x=0,
解得则x+y=-3或1.]
3.AD [∵向量a=(1,2,0),b=(-2,0,1),
∴|a|=,|b|=,
a·b=1×(-2)+2×0+0×1=-2,
cos
故A,D正确,B,C不正确.]
4.2 [∵A(-2,2,1),B(-1,1,-2),
C(-4,0,2),
∴=(1,-1,-3),=(-2,-2,1),
∴|,||=3.
∵向量3垂直,
则(3)·()
=3+(3k-1)=0,
即3×11-3×(3k-1)-9k=36-18k=0,
解得k=2.](共59张PPT)
2.3.2 空间向量运算的坐标表示
第2章 2.3 空间向量基本定理及坐标表示
1.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.
2.掌握空间向量的数量积及其坐标表示.
3.能利用空间向量的坐标运算解决有关问题.
课标要求
新知导学
题型剖析
课时精练
内容索引
新知导学
1.空间向量运算的坐标表示
设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则有
知识梳理
向量运算 坐标表示
加法 a＋b＝____________________________
减法 a－b＝____________________________
数乘 λa＝___________________________
数量积 a·b＝__________________
(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)
(x1－x2，y1－y2，z1－z2)
(λx1，λy1，λz1)，λ∈R
x1x2＋y1y2＋z1z2
2.空间向量的平行、垂直及模长和夹角的坐标表示
设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则有
x1x2＋y1y2＋z1z2＝0
温馨提醒
自测检验
×
×
√
2.已知向量a＝(3，－2，1)，b＝(－2，4，0)，则4a＋2b等于
A.(16，0，4) B.(8，－16，4) C.(8，16，4) D.(8，0，4)
√
4a＋2b＝4(3，－2，1)＋2(－2，4，0)＝(12，－8，4)＋(－4，8，0)＝(8，0，4).
3.已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是
√
因为ka＋b＝(k－1，k，2)，2a－b＝(3，2，－2)，
4.向量a＝(1，2，3)的模长为________.
题型剖析
题型一 线性运算的坐标表示
例1
假设存在x，y∈R满足条件，
思维升华
(1)向量的坐标可由其两个端点的坐标确定，即向量的坐标等于其终点的坐标减去起点的坐标.特别地，当向量的起点为坐标原点时，向量的坐标即是终点的坐标.
(2)进行空间向量的加、减、数乘的坐标运算的关键是运用好其运算性质.
训练1
题型二 空间向量平行、垂直的坐标表示
例2
由(1)知a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，
(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.
所以ka＋b＝(k－1，k，2)，
ka－2b＝(k＋2，k，－4).
又因为(ka＋b)⊥(ka－2b)，
所以(ka＋b)·(ka－2b)＝0，
思维升华
判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件；已知两向量平行或垂直求参数值，则利用平行、垂直的充要条件，将位置关系转化为坐标关系，列方程(组)求解.
√
(1)已知向量a＝(－1，2，1)，b＝(3，x，y)，且a∥b，那么b的坐标为
A.(3，－6，－3) B.(3，－3，－6)
C.(3，2，1) D.(3，1，2)
训练2
√
棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点.
(1)求证：EF⊥CF；
题型三 空间向量运算的坐标表示的应用
例3
(3)求CE的长.
思维升华
通过分析几何体的结构特征，建立适当的坐标系，使尽可能多的点在坐标轴上，以便写点的坐标时便捷.建立坐标系后，写出相关点的坐标，然后再写出相应向量的坐标表示，把向量坐标化，然后再利用向量的坐标运算求解夹角、长度和证明问题.
在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA与平面ABCD所成的角为60°，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2.
训练3
(1)求BP的长；
如图，建立空间直角坐标系.
∵∠ADC＝∠DAB＝90°，
AB＝4，CD＝1，AD＝2，
∴A(2，0，0)，C(0，1，0)，B(2，4，0).
由PD⊥平面ABCD，得
∠PAD为PA与平面ABCD所成的角，
∴∠PAD＝60°.
(2)求异面直线PA与BC所成的角的余弦值.
课堂达标
1.已知a＝(1，1，0)，b＝(0，1，1)，c＝(1，0，1)，p＝a－b，q＝a＋2b－c，则p·q等于
A.－1 B.1 C.0 D.－2
√
∵p＝a－b＝(1，0，－1)，q＝a＋2b－c＝(0，3，1)，
∴p·q＝1×0＋0×3＋(－1)×1＝－1.
2.向量a＝(2，4，x)，b＝(2，y，2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值为
A.－3 B.1 C.－3或1 D.3或1
√
√
√
∵向量a＝(1，2，0)，b＝(－2，0，1)，
2
∵A(－2，2，1)，B(－1，1，－2)，C(－4，0，2)，
课时精练
√
1.已知a＝(1，－2，1)，a－b＝(－1，2，－1)，则b等于
A.(2，－4，2) B.(－2，4，－2) C.(－2，0，－2) D.(2，1，－3)
b＝a－(a－b)＝(1，－2，1)－(－1，2，－1)＝(2，－4，2).
√
2.已知向量a＝(1，0，－1)，则下列向量中与a成60°夹角的是
A.(－1，1，0) B.(1，－1，0) C.(0，－1，1) D.(－1，0，1)
设b＝(x，y，z)与a成60°夹角，
√
√
4.已知A(1，－2，11)，B(4，2，3)，C(6，－1，4)，则△ABC的形状是
A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形
√
√
√
因为m⊥n，m＝(－1，2，5)，n＝(2，－4，x)，
所以m·n＝(－1)×2＋2×(－4)＋5x＝－10＋5x＝0，解得x＝2，故A正确；
因为m∥n，所以存在λ∈R，使得m＝λn，
则(－1，2，5)＝λ(2，－4，x)＝(2λ，－4λ，λx)，
6.若a＝(1，1，2)，b＝(2，－1，3)，则2a＋b＝________________.
(4，1，7)
2a＋b＝2(1，1，2)＋(2，－1，3)＝(2，2，4)＋(2，－1，3)＝(4，1，7)
7.若A(m＋1，n－1，3)，B(2m，n，m－2n)，C(m＋3，n－3，9)三点共线，则m＋n的值为________.
0
9.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB＝，BC＝1，PA＝2.求AC与PB所成角的余弦值.
以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则存在λ<0，使a＝λb(λ<0)，
12.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则异面直线ON，AM所成角的大小为________，
线段MN的长度为________.
90°
13.已知空间三点A(1，2，3)，B(2，－1，5)，C(3，2，－5).
(1)求△ABC的面积；
(2)求△ABC中AB边上的高.
设AB边上的高为CD，课时精练21 空间向量运算的坐标表示
(分值:100分)
单选题每小题5分,共20分;多选题每小题6分,共6分.
一、基础巩固
1.已知a=(1,-2,1),a-b=(-1,2,-1),则b等于 ( )
(2,-4,2) (-2,4,-2)
(-2,0,-2) (2,1,-3)
2.已知向量a=(1,0,-1),则下列向量中与a成60°夹角的是 ( )
(-1,1,0) (1,-1,0)
(0,-1,1) (-1,0,1)
3.在△ABC中,∠C=90°,A(1,2,-3k),B(-2,1,0),C(4,0,-2k),则k的值为 ( )
2
4.已知A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),则△ABC的形状是 ( )
等腰三角形 等边三角形
直角三角形 等腰直角三角形
5.(多选)已知空间向量m=(-1,2,5),n=(2,-4,x),则下列选项中正确的是 ( )
当m⊥n时,x=2
当m∥n时,x=-10
当|m+n|=时,x=-4
当x=时,cos
6.若a=(1,1,2),b=(2,-1,3),则2a+b= .
7.若A(m+1,n-1,3),B(2m,n,m-2n),C(m+3,n-3,9)三点共线,则m+n的值为 .
8.已知A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),则向量的夹角为 .
9.(10分)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,侧棱PA⊥底面ABCD,AB=,BC=1,PA=2.求AC与PB所成角的余弦值.
10.(10分)已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).
(1)若|a|=,且a分别与,垂直,求向量a的坐标;
(2)若,且|,求点P的坐标.
二、综合运用
11.已知向量a=(5,3,1),b=,若a与b的夹角为钝角,则实数t的取值范围为 .
12.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D的中点,N是A1B1的中点,则异面直线ON,AM所成角的大小为 ,线段MN的长度为 .
13.(13分)已知空间三点A(1,2,3),B(2,-1,5),C(3,2,-5).
(1)求△ABC的面积;
(2)求△ABC中AB边上的高.
三、创新拓展
14.(16分)如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=,AF=t,M是线段EF的中点.若线段AC上总存在一点P,使得PF⊥BE,求t的最大值.
课时精练21 空间向量运算的坐标表示
1.A [b=a-(a-b)=(1,-2,1)-(-1,2,-1)=(2,-4,2).]
2.B [设b=(x,y,z)与a成60°夹角,
则cos 60°=,
代入各选项检验得b=(1,-1,0)满足.]
3.D [=(-6,1,2k),=(-3,2,-k),
则=(-6)×(-3)+2+2k·(-k)
=-2k2+20=0,所以k=±.]
4.C [因为=(3,4,-8),=(2,-3,1),
=(5,1,-7),
于是=10-3-7=0,
而|,|,
所以△ABC是直角三角形.]
5.ABD [因为m⊥n,m=(-1,2,5),
n=(2,-4,x),
所以m·n=(-1)×2+2×(-4)+5x=-10+5x=0,解得x=2,故A正确;
因为m∥n,所以存在λ∈R,使得m=λn,
则(-1,2,5)=λ(2,-4,x)=(2λ,-4λ,λx),
即故B正确;
因为m+n=(1,-2,5+x),
所以由|m+n|=,
解得x=-5,故C错误;
当x=时,
则m=(-1,2,5),n=(2,-4,),
所以cos
,
故D正确.]
6.(4,1,7) [2a+b=2(1,1,2)+(2,-1,3)
=(2,2,4)+(2,-1,3)=(4,1,7)]
7.0 [因为=(m-1,1,m-2n-3),
=(2,-2,6),
由题意得,
所以,
所以m=0,n=0,所以m+n=0.]
8. [∵=(0,3,3),=(-1,1,0),
∴|,|,
=0×(-1)+3×1+3×0=3,
∴cos<,,
又∵<,>∈[0,π],∴<,.]
9.解 以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(0,0,0),B(,0,0),C(,1,0),D(0,1,0),P(0,0,2),
则=(,1,0),=(,0,-2).
设AC与PB的夹角为θ,
则cos θ=,
所以AC与PB所成角的余弦值为.
10.解 (1) =(-2,-1,3),=(1,-3,2).
设a=(x,y,z),
因为|a|=,且a分别与,垂直,
所以
解得
所以a=(1,1,1)或a=(-1,-1,-1).
(2)因为,
所以可设(λ∈R).
因为=(3,-2,-1),
所以=(3λ,-2λ,-λ).
又因为|,
所以,
解得λ=±2.
所以=(6,-4,-2)或=(-6,4,2).
设点P的坐标为(x1,y1,z1),
则=(x1,y1-2,z1-3),
所以
解得故所求点P的坐标为(6,-2,1)或(-6,6,5).
11. [由已知得
a·b=5×(-2)+3t+1×,
因为a与b的夹角为钝角,所以a·b<0,
即3t-<0,所以t<.
若a与b的夹角为180°,
则存在λ<0,使a=λb(λ<0),
即(5,3,1)=λ,
所以,
故t的取值范围是
.]
12.90° [以A为原点,分别以,,所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系(图略),
设正方体的棱长为1,则A(0,0,0),
M,O,N.
∴,,
=0,
∴异面直线ON与AM所成角的大小为90°.
又,
∴MN=|.]
13.解 (1)由已知,得=(1,-3,2),=(2,0,-8),
∴|,
|,
=1×2+(-3)×0+2×(-8)
=-14,
∴cos <,
=,
∴sin <,.
∴S△ABC=,>
=.
(2)设AB边上的高为CD,
则|,
即△ABC中AB边上的高为3.
14.解 正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,则可得CD,CB,CE两两垂直,则可以C为原点建立如图所示空间直角坐标系,
A(,,0),C(0,0,0),E(0,0,t),F(,,t),B(0,,0),
则=(,,0),因为点P在线段AC上,
设,其中λ∈[0,1],
则=(λ,λ,0),
从而P点坐标为(λ,λ,0),
于是=(λ,λ,t),
而=(0,-,t),
则由PF⊥BE可知=0,
即-2(1-λ)+t2=0,
所以t2=2(1-λ)≤2,解得t≤(当λ=0,即C与P重合时取等号),故t的最大值为.
