18.2.2 菱形 练习
一、单选题
1．如图，在菱形中，，点在对角线上，且，那么的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在菱形中，点E是边上一点，连接，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．将矩形纸片按如图所示的方式折叠，得到菱形．若，则的长为（ ）
A．1 B．2 C． D．
4．如图，菱形的对角线交于点O，且，，则菱形的高的长是（ ）
A．10 B．96 C．9.6 D．以上都不对
5．为全面落实劳动教育，某中学将校园里的荒地设计成了如图所示的菱形花圃（阴影部分），且菱形花圃的四个顶点均为矩形荒地各边的中点，若矩形荒地的长为80米，宽为60米，则菱形花圃的面积为（ ）
A．2400平方米 B．2800平方米 C．3000平方米 D．3200平方米
6．如图，在菱形中摆放了一副三角板，等腰直角三角板的一条直角边在菱形边上，直角顶点为的中点，含角的直角三角板的斜边在菱形的边上．连接，若，则的长为（ ）
A．8 B． C． D．
7．如图，在中，添加下列条件仍不能判定是菱形的是（）
A． B． C． D．
8．在校园艺术节中，同学们准备制作个边长为的菱形画框．完成后，他们决定通过测量来验证画框的形状，根据下列测量结果，其中不能判定画框为菱形的测量方式是（ ）
A． B．C． D．
9．如图，以点为圆心，适当的长为半径圆弧，交两边于点，，再分别以、为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，．若，则（ ）
A． B． C． D．
10．如图，平面上有两个全等的正八边形，为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在中，，D为的中点，，，若，，则四边形的周长为（ ）
A．20 B．24 C．28 D．32
12．如图，在菱形中，对角线与相交于点，，分别是，的中点，下列结论：①四边形是菱形；②；③；④，其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
13．菱形中、，，、分别是边和对角线上的动点，且，则的最小值为 ．
14．如图，菱形中，对角线，相交于点，，．点和点分别为，上的动点，求的最小值 ．
15．如图，菱形的对角线，交于点O，E为的中点，若，则菱形的周长为 ．
16．如图，在菱形中，，是锐角，于点E，M是的中点，连结，．若，则的长为 ．
三、解答题
17．如图，已知平行四边形．
(1)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
(2)E为上一点，设（1）中的平分线交于点F，连接，若，判断四边形的形状，并说明理由．
18．如图，点A，B分别在的两条边，上．
(1)尺规作图：过点B在内部作射线，并在上截取；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)连接，，，若，，，求点A到射线的距离．
19．如图，在中，，是的斜边上的中线，过点和点分别作和的平行线交于点．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求四边形的面积．
20．如图，在菱形中，作于F，，求证：
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B D C A D C B B B
题号 11 12
答案 A C
1．C
【分析】本题考查菱形的性质，等边对等角，先根据菱形的性质得到，再根据等边对等角和三角形内角和定理得出答案．
【详解】解：解：∵四边形是菱形，点在对角线上，，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
2．B
【分析】本题考查了菱形的性质等知识．由菱形的性质得，，再由等腰三角形的性质得出，根据平行线的性质求出，再根据等腰三角形的性质即可得出答案．
【详解】解：四边形是菱形，
，，
，，
，，
，
，
，
，
故选：B．
3．D
【分析】本题主要考查了菱形的性质以及矩形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质；解决问题的关键是根据折叠以及菱形的性质发现特殊角，根据的直角三角形中各边之间的关系求得的长．根据菱形及矩形的性质可得到的度数，从而根据直角三角形的性质求得的长．
【详解】解：四边形为菱形，
，，
由折叠的性质可知，，
又，
，
在中，，
又，，
，，
中，，
故选：D．
4．C
【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，利用菱形的性质和勾股定理求出的长，再根据等积法求出的长即可．
【详解】解：∵菱形的对角线交于点O，
∴，，
∴，
∵是菱形的高，
∴，即：，
∴；
故选C．
5．A
【分析】本题考查了矩形的性质和判定，菱形的性质，熟练掌握矩形的性质和判定，菱形的性质是解题的关键；根据矩形的性质可证四边形是矩形，四边形是矩形， 可得米， 米，再根据菱形的面积公式求解即可．
【详解】解：如图：
四边形是矩形，矩形荒地的长为80米，宽为60米，
米，米，，
菱形花圃的四个顶点均为矩形荒地各边的中点，
，，
四边形是矩形，四边形是矩形，
米， 米，
菱形花圃的面积为平方米，
故选：．
6．D
【分析】由的长可求得的长，再求得的长，再利用含度角的直角三角形的性质以及勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，连接交于，
∵四边形是菱形，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形判定和性质，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
7．C
【分析】此题考查了菱形的判定．熟记判定定理是解此题的关键．根据菱形的判定定理，即可求得答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴添加，能判定是菱形，故A不符合题意；
添加，能判定是菱形；故B不符合题意；
添加，则是矩形，不能判定是菱形；选项C符合题意；
添加，能判定是菱形；选项D不符合题意．
故选：C．
8．B
【分析】本题考查了菱形的判定，根据菱形的判断定理逐项判断即可求解，掌握菱形的判断定理是解题的关键．
【详解】解：、由图可得，四边形的对角线垂直且互相平分，所以四边形是菱形，又由勾股定理可得菱形的边长为，能判定画框为边长的菱形，该选项不合题意；
、由同旁内角互补，两直线平行，可得四边形是平行四边形，但由图得不到邻边相等，所以不能判定画框为菱形，该选项符合题意；
、由四边形都等于，能判定画框为边长为的菱形，该选项不合题意；
、由同旁内角互补，两直线平行，可得四边形是平行四边形，由根据邻边相等为，能判定画框为边长为的菱形，该选项不合题意；
故选：．
9．B
【分析】本题考查的知识点是菱形的判定与性质，解题关键是熟练掌握菱形的判定．
先由作图得到，再由菱形的判定与性质求解即可．
【详解】解：依题得：，
四边形是菱形，
．
故选：．
10．B
【分析】本题考查的知识点是多边形内角和公式、全等性质、菱形的判定与性质，解题关键是熟练掌握多边形内角和公式．
现根据多边形内角和公式求出，再根据全等性质、菱形的判定与性质即可求出．
【详解】解：如图，
正八边形的一个内角度数为，
，
∵平面中这两个正八边形全等，
，
四边形是菱形，
．
故选：．
11．A
【分析】由已知条件，，，结合勾股定理求出的长，根据直角三角形斜边中线的性质，可得；由已知条件，，可得四边形是平行四边形，再结合，可证得四边形是菱形，即可解答
本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的性质与判定，勾股定理，三角形中位线，熟练掌握平行四边形的判定与性质，菱形的性质与判定是解题的关键
【详解】∵，，，
∴
∵D为的中点，
∴
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵
∴四边形是菱形，
∵
∴菱形的周长为
故选：A
12．C
【分析】本题考查了菱形的判定及性质，涉及到平行四边形的判定及平行线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
根据菱形的性质得出，，，然后根据菱形的判定即可判断①；
根据菱形的面积结合变形即可判断④；
根据菱形的性质得出，，再根据平行线的性质得出，，然后利用角的和差即可判断②；
根据直角三角形的性质即可判断③．
【详解】解：四边形为菱形
，，
，分别是，的中点，
，
四边形为平行四边形
四边形是菱形，故①正确；
，故④正确；
四边形是菱形，四边形是菱形，
，
，
即，故②正确；
在中，为的中线
，故③错误；
故选：C．
13．
【分析】在的下方作，使，连接，可证，将转化为，然后根据两点之间线段最短，可推出当时即最短，再根据勾股定理求出，即可得出答案．
【详解】解：在的下方作，使，连接，如图所示：
∵四边形是菱形，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，
∵，
即，
∴的最小值为,
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质、全等三角形的性质和判定、勾股定理、三角形三边关系及最短路线问题，利用转化思想构造全等三角形是解决本题的关键．
14．
【分析】本题考查轴对称中的光线反射问题（最短线路问题），菱形的性质，角平分线的性质，垂线段最短，勾股定理，利用菱形的性质求面积，学会利用垂线段最短解决最短线路问题是解题的关键．
【详解】解：过作于交于点，过作于点，
∵四边形是菱形，
∴且、互相平分，平分，
∴，
∵垂线段最短，
∴，即的最小值为线段的长度，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴菱形的面积为：，
∴，
∴，
∴的最小值．
故答案为：．
15．24
【分析】根据菱形的对角线互相平分可得，然后求出是的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出，然后根据菱形的周长公式计算即可得解．
本题考查了菱形的性质以及三角形中位线定理；熟记菱形性质与三角形中位线定理是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，，
∵点E是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴菱形的周长；
故答案为：24．
16．
【分析】这把呢提考查菱形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，延长交的延长线于点H，先证，再根据勾股定理求解即可得到答案．
【详解】解：延长交的延长线于点H，如图所示：
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵M是的中点，
∴，
在和中，
∵，
∴
∴，，
∵，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，或（舍去），
∴；
故答案为：．
17．(1)见解析
(2)菱形，理由见解析
【分析】（1）按照作角平分线的步骤即可作图；
（2）先证明四边形是平行四边形，然后证明，即可证明为菱形．
【详解】（1）解：如图：即为所作：
（2）解：四边形是菱形，理由如下，
证明：如图，∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴四边形是平行四边形，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定，尺规作图，等腰三角形的判定，熟练掌握各知识点是解题的关键．
18．(1)图见解析
(2)
【分析】（1）按要求作出图形即可；
（2）过点A作于点H，设、交于点J，由（1）得（即），，于是可证得四边形是平行四边形，再结合，进而可证得四边形是菱形，于是可得，，，由勾股定理可得，由菱形的性质可得，于是可得，由此即可求出点A到射线的距离．
【详解】（1）解：图形如图所示：
（2）解：如图，过点A作于点H，设、交于点J，
由（1）得：（即），，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，
，，
，
，
，
，
点A到射线的距离为．
【点睛】本题主要考查了尺规作图——作角（尺规作一个角等于已知角），作线段（尺规作图），平行四边形的判定，菱形的判定与性质，勾股定理，利用菱形的性质求面积等知识点，熟练掌握尺规作图的基本方法和技巧及菱形的判定与性质是解题的关键．
19．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据题意得到，四边形是平行四边形，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得到，结合菱形的判定方法即可求解；
（2）过点作于点，得到是等腰直角三角形，运用勾股定理得到，根据四边形是菱形，直角三角形斜边中线等于斜边一半得到，则，再根据即可求解．
【详解】（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵是的斜边上的中线，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：过点作于点，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，则（负值舍去），
∵四边形是菱形，
∴，则，
∴．
【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边中线等于斜边一半，菱形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的知识的综合，掌握菱形的判定和性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半等知识，数形结合分析是解题的关键．
20．见解析
【分析】本题主要考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质，依据菱形的性质即可得到，，再根据AAS即可判定≌，进而得出
【详解】证明：菱形，
，，
，，
，
在与中，
，
，
