广东省广州市铁一中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题
1．（2024八下·广州期中）下列二次根式中的最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A：，不是最简二次根式，不符合题意；
B：，不是最简二次根式，不符合题意；
C：，不是最简二次根式，不符合题意；
D：是最简二次根式，符合题意；
故答案为：D
【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案.
2．（2024八下·广州期中）下列函数中，是的正比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正比例函数的概念
【解析】【解答】解：A、是一次函数，故本选项不符合题意；
B、不是正比例函数，故本选项不符合题意；
C、是二次函数，故本选项不符合题意；
D、是正比例函数且k=3，故本选项符合题意；
故选：D.
【分析】
根据正比例函数的定义（一般地，形如y=kx（k是常数，）的函数，叫做正比例函数）逐项判断即可得．
3．（2024八下·广州期中）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ）
A．5，7，8 B．1，2，3 C．，，2 D．，，2
【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、，不能构成直角三角形；
B、1+2=3，不能构成三角形；
C、，不能构成直角三角形；；
D、，能构成直角三角形.
故答案为：D.
【分析】根据勾股定理的逆定理，两条边长的平方和等于第三条边的平方，可判断三角形是否为直角三角形.
4．（2024八下·广州期中）下列说法正确的是（ ）
A．四条边相等的四边形是矩形
B．有一个角是的平行四边形是正方形
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A．四条边相等的四边形是菱形，不一定是矩形，故选项错误，不符合题意；
B．有一个角是的平行四边形是矩形， 不一定是正方形 ，故选项错误，不符合题意；
C． 根据菱形的判定，对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故选项正确，符合题意；
D．一组对边平行且相等的四边形 可能是等腰梯形，不一定是平行四边形 ，故选项错误，不符合题意．
故选：C．
【分析】
根据菱形、矩形、正方形、平行四边形的判定方法逐项判断即可求解．
5．（2024八下·广州期中）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、 不能合并，故A不符合题意；
B、 ，故B不符合题意；
C、 ，故C符合题意；
D、 ，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】只有同类二次根式才能合并，可对A、D作出判断；利用二次根式的乘法法则进行计算，可对B作出判断；利用二次根式的除法法则，可对C作出判断.
6．（2024八下·广州期中）在平面直角坐标系中，将直线y＝kx+3沿y轴向下平移2个单位长度后与x轴交于(﹣2，0)，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将直线沿轴向下平移2个单位长度后得到，即，
∵平移后的直线与轴交于，
，
解得：，
故答案为：．
【分析】利用函数图象（解析式）平移的特征：左加右减，上加下减分析可得，再将点（-2，0）代入计算即可.
7．（2024八下·广州期中）如图，在直角三角形中，，分别以，，为边向外侧作正方形，面积分别记作，，，若，且满足，则（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：根据勾股定理得：，
，，，
，
，
，
，
．
故答案为：B．
【分析】利用正方形的面积公式可得，，，再结合，求出，最后求出BC=2即可.
8．（2024八下·广州期中）在平面直角坐标系中，已知一次函数，是常数，，随的增大而减小，且，则它的图象经过的象限正确的是
A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限
C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限
【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数 (k， b是常数， y随x的增大而减小，
∴一次函数 (k， b是常数， 的图象经过第二、三、 四象限.
故答案为： D.
【分析】先根据一次函数 (k， b是常数， y随x的增大而减小可知 再由 可知 ，据此可得出结论.
9．（2024八下·广州期中）如图，将矩形沿对角线折叠，点落在点处，与交于点．若，则重叠部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
10．（2024八下·广州期中）在平面直角坐标系中，点A、B分别在x，y轴的正半轴上，始终保持，以为边向右上方作正方形，交于点P，连接，（1）直线的函数表达式为；（2）的取值范围是；（3）若，则B点的坐标为；（4）连接，则的最大值为；（5）四边形面积的最大值为18．其中结论正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图：作轴，轴，则四边形是矩形，
，，
四边形是正方形，，
与互相垂直且平分，，则，
，
，
，
，（当时同理）
由题意可知，点在第一象限，设，直线的函数解析式为：，
代入可得：，可得，即直线的函数表达式为，故①正确；
，轴，轴，
四边形是正方形，则，
当时，，则，则，（当时同理可得：
当时，点的坐标为或，故③错误；
取的中点，连接，，，，则，
，，
，
由三角形三边关系可得：，当、、在同一直线上时取等，
，，
，（当时同理可得：则，故②错误；
由三角形三边关系可得：，当、、在同一直线上时取等，
的最大值为，故④正确；
，
四边形面积等于正方形的面积，
，，
的最大值为，
四边形面积的最大值为，即⑤正确，
综上：正确的有①④⑤，共3个．
故答案为：C．
【分析】 作轴，轴，再证可得，进而可求得直线的函数解析式为；当时，，则，则，当时，点的坐标为或；取的中点，连接，，，，则，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得，由三角形三边关系可得：，当、、在同一直线上时取等，由，，可得，（当时同理可得：，即可得，即②错误；由三角形三边关系可得：，当、、在同一直线上时取等，即可求得的最大值．先说明四边形面积等于正方形的面积，再求得的最大值，然后求出正方形的面积的最大值即可判定⑤，从而得解.
11．（2024八下·广州期中）使代数式 有意义的x的取值范围是 ．
【答案】x≥3
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵代数式 有意义，
∴2x﹣6≥0，
解得：x≥3．
故答案为：x≥3．
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数求解即可．本题考查了二次根式有意义的条件，解答本题的关键是掌握被开方数为非负数．
12．（2024八下·广州期中）已知点、在直线上，则与大小关系是 ．
【答案】
【知识点】比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：点、在直线上，
，，
，
故答案为：．
【分析】利用一次函数的性质与系数的关系（①当k>0时，一次函数的图象呈上升趋势，此时函数值y随x的增大而增大；②当k<0时，一次函数的图象呈下降趋势，此时函数值y随x的增大而减小）分析求解即可.
13．（2024八下·广州期中）如图，在中，是的平分线，，，则 ．
【答案】2
【知识点】平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：．
【分析】先利用平行四边形的性质可得，，再证出，利用角平分线定义及等量代换可得，利用等角对等边的性质可得，最后利用线段的和差求出EC的长即可.
14．（2024八下·广州期中）如图，在中，，，，以斜边为底作等腰直角三角形，则该等腰直角三角形的面积为 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵在中，，，，
∴
∵以斜边为底作等腰直角三角形，如图所示，
∴
∴，
则，
∴该等腰直角三角形的面积为，
故答案为：．
【分析】先利用勾股定理求出BC的长，再求出BC的长，最后利用三角形的面积公式列出算式求解即可.
15．（2024八下·广州期中）如图，在菱形中，对角线相交于点O，E是的中点，连接，若，菱形的面积是24，则的长为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：四边形是菱形，
，
根据菱形的面积是24，可得，
，
，
，
根据勾股定理可得，
E是的中点，
，
故答案为：．
【分析】先利用菱形的面积等于对角线乘积的一半求出BD的长，再利用勾股定理求出AB的长，最后利用直角三角形斜边上中线的性质可得.
16．（2024八下·广州期中）如图，矩形边上有一动点E，连接，以为边作矩形，使边过点D．若，，当为等腰三角形时，的长是 ．
【答案】2或或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：四边形是矩形，，，
，，，
如图，当时，
由勾股定理可得：；
如图，当时，
由勾股定理可得：，
；
如图，当时，
，
过点作交于，
，
四边形是矩形，
，
，，
，
，
综上所述，当为等腰三角形时，的长是：2或或，
故答案为：2或或．
【分析】分类讨论：①当时，②当时，③当时，再分别画出图形并利用矩形的性质和勾股定理分别求解即可.
17．（2024八下·广州期中）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）利用二次根式的加减法计算方法及步骤（①先利用二次根式的性质化简；②利用合并同类项的计算方法计算）分析求解即可；
（2）利用二次根式的混合运算的计算方法及步骤（①有括号先算括号内；②再算二次根式的乘除；③最后计算二次根式的加减法）分析求解即可.
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
18．（2024八下·广州期中）如图，在中，，垂足为D．．求证：．
【答案】证明：，
，
由勾股定理得：，，
，，
，
，
，
是直角三角形，
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】根据垂直定义得出，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求出和，求出，再根据如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么该三角形是直角三角形，最长边所对的角为直角即可证明.
19．（2024八下·广州期中）如图，平行四边形，E、F两点在对角线上，且，连接．求证：四边形是平行四边形．
【答案】证明：如图所示，连接与交于O，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】连接与交于O，利用平行四边形的性质可得，利用线段的和差及等量代换可得，从而可证出四边形是平行四边形．
20．（2024八下·广州期中）滑梯的示意图如图所示，左边是楼梯，右边是滑道，立柱，垂直于地面，滑道的长度与点到点的距离相等，滑梯高，且，求滑道的长度．
【答案】解：设AC=x m，则AE=AC=x m，AB=AE-BE=（x-0.5）m，
由题意得：∠ABC=90°，
在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，即（x-0.5）2+1.52=x2，
解得：x=2.5，
∴AC=2.5m．
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【分析】设AC=x m，则AE=AC=x m，AB=AE-BE=（x-0.5）m，利用勾股定理列出方程AB2+BC2=AC2，即（x-0.5）2+1.52=x2，再求出x的值即可.
21．（2024八下·广州期中）已知与成正比例，当时，．
（1）求出y与x的函数关系式，并在平面直角坐标系中画出该函数图象；
（2）设点在这个函数的图象上，求a的值．
（3）试判断点是否在此函数图象上，并说明理由．
【答案】（1）解：设，
当时，，
，
解得，
，
与的函数关系式为；
函数图象过，，画出图象如下：
（2）解：把代入，
得：，
解得：；
的值为.
（3）解：在中，令得，
点不在函数的图象上．
【知识点】一次函数的概念；一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；正比例函数的概念
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式，再利用列表、描点作出函数图象即可；
（2）将点（a，-2）代入解析式求出a的值即可；
（3）将x=-2代入解析式求出y的值，再判断即可.
22．（2024八下·广州期中）图1、图2是由边长为1的小正方形构成的网格，图3是由边长为2的小正方形构成的网格，点A、B均在格点上．
（1）在图1中画出以为边的菱形，且点C和点D均在格点上；在图2中画出以为对角线的矩形，且点E和点F均在格点上（画出一个即可）．
（2）在图3中画出平行四边形，点C、D均在小正方形的格点上，且此四边形的面积最大；以为腰画等腰三角形，点E在小正方形的格点上（不与B、C重合），且三角形的面积为16．
【答案】（1）解：如图，菱形即为所求；
如图，矩形即为所求；
（2）解：如图，平行四边形，等腰三角形即为所求；
【知识点】等腰三角形的判定；菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【分析】（1）利用菱形和矩形的判定方法和作图步骤并结合网格作出图形即可；
（2）利用三角形的面积公式及三角形的作图方法作出图形即可.
23．（2024八下·广州期中）如图．直线与x轴、y轴分别交于点E、F，x轴上有一点A的坐标为．
（1）求的长；
（2）若点是该直线上的一个动点，且在第二象限内运动，试写出的面积S与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．
（3）若点P是该直线上的一个动点，则当点P运动到什么位置时，，请说明理由．
【答案】（1）解：当时，，
∴点F的坐标为，
∴；
当时，，
解得：，
∴点E的坐标为，
∴．
在中，.
（2）解：∵点A的坐标为，
∴．
∵点是直线上的一个动点，且在第二象限内运动，
∴，
∴的面积，
即.
（3）解：当点P运动到或，，
理由如下：
∵点P是该直线上的一个动点，
∴点P的坐标为．
∵，
∴，
∴，
∴或，
∴当点P运动到或，.
【知识点】三角形的面积；勾股定理；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）先求出点E、F的坐标，再利用勾股定理求出EF的长即可；
（2）先求出，再利用三角形的面积公式求出的面积即可；
（3）先求出点P的坐标为，结合，可得，求出x的值，从而可得点P的坐标.
（1）解：当时，，
∴点F的坐标为，
∴；
当时，，
解得：，
∴点E的坐标为，
∴．
在中，；
（2）解：∵点A的坐标为，
∴．
∵点是直线上的一个动点，且在第二象限内运动，
∴，
∴的面积，
即；
（3）解：当点P运动到或，，理由如下：
∵点P是该直线上的一个动点，
∴点P的坐标为．
∵，
∴，
∴，
∴或，
∴当点P运动到或，．
24．（2024八下·广州期中）【理解概念】
定义：有三个角相等的四边形叫做三等角四边形．
（1）下列四边形是三等角四边形的是_________．（填序号）
①平行四边形；②菱形；③矩形；④正方形．
【巩固新知】
（2）如图 ，折叠平行四边形 DEBF，使得顶点 E、F 分别落在边 BE、BF上的点 A、C 处，折痕为DG、DH．
求证：四边形 ABCD 为三等角四边形．
【拓展提高】
（3）如图 ，在三等角四边形 ABCD 中，∠A＝∠B＝∠C，若 AB＝5，，DC＝7，则BC的长度为_________．
【答案】（1）③④；
（2）∵四边形为平行四边形，
∴，，
∵折叠平行四边形，使得顶点分别落在边上的点处，
∴DE=DA，DF=DC，
∴，
∵，，，
∴，
∴四边形是三等角四边形；
（3）．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】（1）解：①根据平行四边形的对角相等可得平行四边形不是三等角四边形；
②根据菱形四边相等、对角相等可知菱形不是三等角四边形；
③根据矩形四个角都相等可知矩形是三等角四边形；
④根据正方形四个角都相等可知正方形是三等角四边形．
故答案为：③④；
（3）如图，过点D作DE//BC，交BA延长线于E，作DF//AB，交BC延长线于F，作DG⊥BE于G，DH⊥BF于H，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴DE=BF，DF=BE，∠B+∠E=180°，∠B+∠F=180°，∠E=∠F，
∵∠DAB=∠B=∠BCD，∠DAE+∠DAB=180°，∠DCB+∠DCF=180°，
∴∠DAE=∠E=∠DCF=∠F，
∴AD=DE=BF=，CD=DF=7，
∴AE=BE-AB=CD-AB=2，
∵DG⊥BE，DH⊥BF，
∴AG=EG=AE=1，CH=HF=CF，
∴DG=，
∴S平行四边形DEBF=BE·DG=BF·DH，即7×5=DH，
解得：DH=，
∴CH==，
∴CF=2CH=，
∴BC=BF-CF=．
故答案为：
【分析】
（1）利用平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质结合三等角四边形的定义判断即可求解；
（2）由平行四边形的性质可得∠E=∠F，且∠E+∠EBF=180°，根据折叠的性质可得∠E=∠DAE，∠F=∠DCF，再根据等角的补角相等，判断出∠DAB=∠DCB=∠ABC，根据三等角四边形的定义即可得结论；
（3）如图，过点D作DE//BC，交BA延长线于E，作DF//AB，交BC延长线于F，作DG⊥BE于G，DH⊥BF于H，可得四边形DEBF是平行四边形，根据及平行四边形的性质可得AD=DE=BF=，CD=DF=7，可求出AE的长，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得AG=EG=AE=1，CH=HF=CF，利用勾股定理可得DG的长，利用平行四边形的面积可求出DH的长，利用勾股定理可求出CH的长，进而求出CF的长，即可求出BC的长．
25．（2024八下·广州期中）如图，在正方形中，是边上一动点（不与点，重合），连接，点关于直线的对称点为，连接并延长交直线于点，是中点，连接．
（1）求的度数；
（2）连接，请用等式表示，，三条线段之间的数量关系，并证明；
（3）若正方形的边长为，请直接写出的面积最大值．
【答案】（1）解：由对称得：，，
在正方形中，，，
，
是的中点，
，，
.
（2）结论：，
证明：如图，作交的延长线于，
，
在正方形中，，，
，
由（1）可知：，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
.
（3）
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；四边形的综合
【解析】【解答】（3）解：．
理由如下：如图，过作于，则，
中，，
，即为定值，
当最大时，的面积最大，
连接，交于，当在上时，最大，此时与重合，
，，
，
．
【分析】（1）先证出，再结合F是的中点，利用“三线合一”的性质可得，，再求出即可；
（2）作交的延长线于，先利用“SAS”证出，利用全等三角形的性质可得，最后利用线段的和差及等量代换可得；
（3）过作于，则，先证出当最大时，的面积最大，连接，交于，当在上时，最大，此时与重合，再求出，最后利用三角形的面积公式求出即可．
广东省广州市铁一中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题
1．（2024八下·广州期中）下列二次根式中的最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024八下·广州期中）下列函数中，是的正比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024八下·广州期中）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ）
A．5，7，8 B．1，2，3 C．，，2 D．，，2
4．（2024八下·广州期中）下列说法正确的是（ ）
A．四条边相等的四边形是矩形
B．有一个角是的平行四边形是正方形
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
5．（2024八下·广州期中）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024八下·广州期中）在平面直角坐标系中，将直线y＝kx+3沿y轴向下平移2个单位长度后与x轴交于(﹣2，0)，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024八下·广州期中）如图，在直角三角形中，，分别以，，为边向外侧作正方形，面积分别记作，，，若，且满足，则（ ）
A． B．2 C． D．3
8．（2024八下·广州期中）在平面直角坐标系中，已知一次函数，是常数，，随的增大而减小，且，则它的图象经过的象限正确的是
A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限
C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限
9．（2024八下·广州期中）如图，将矩形沿对角线折叠，点落在点处，与交于点．若，则重叠部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．（2024八下·广州期中）在平面直角坐标系中，点A、B分别在x，y轴的正半轴上，始终保持，以为边向右上方作正方形，交于点P，连接，（1）直线的函数表达式为；（2）的取值范围是；（3）若，则B点的坐标为；（4）连接，则的最大值为；（5）四边形面积的最大值为18．其中结论正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．（2024八下·广州期中）使代数式 有意义的x的取值范围是 ．
12．（2024八下·广州期中）已知点、在直线上，则与大小关系是 ．
13．（2024八下·广州期中）如图，在中，是的平分线，，，则 ．
14．（2024八下·广州期中）如图，在中，，，，以斜边为底作等腰直角三角形，则该等腰直角三角形的面积为 ．
15．（2024八下·广州期中）如图，在菱形中，对角线相交于点O，E是的中点，连接，若，菱形的面积是24，则的长为 ．
16．（2024八下·广州期中）如图，矩形边上有一动点E，连接，以为边作矩形，使边过点D．若，，当为等腰三角形时，的长是 ．
17．（2024八下·广州期中）计算：
（1）；
（2）．
18．（2024八下·广州期中）如图，在中，，垂足为D．．求证：．
19．（2024八下·广州期中）如图，平行四边形，E、F两点在对角线上，且，连接．求证：四边形是平行四边形．
20．（2024八下·广州期中）滑梯的示意图如图所示，左边是楼梯，右边是滑道，立柱，垂直于地面，滑道的长度与点到点的距离相等，滑梯高，且，求滑道的长度．
21．（2024八下·广州期中）已知与成正比例，当时，．
（1）求出y与x的函数关系式，并在平面直角坐标系中画出该函数图象；
（2）设点在这个函数的图象上，求a的值．
（3）试判断点是否在此函数图象上，并说明理由．
22．（2024八下·广州期中）图1、图2是由边长为1的小正方形构成的网格，图3是由边长为2的小正方形构成的网格，点A、B均在格点上．
（1）在图1中画出以为边的菱形，且点C和点D均在格点上；在图2中画出以为对角线的矩形，且点E和点F均在格点上（画出一个即可）．
（2）在图3中画出平行四边形，点C、D均在小正方形的格点上，且此四边形的面积最大；以为腰画等腰三角形，点E在小正方形的格点上（不与B、C重合），且三角形的面积为16．
23．（2024八下·广州期中）如图．直线与x轴、y轴分别交于点E、F，x轴上有一点A的坐标为．
（1）求的长；
（2）若点是该直线上的一个动点，且在第二象限内运动，试写出的面积S与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．
（3）若点P是该直线上的一个动点，则当点P运动到什么位置时，，请说明理由．
24．（2024八下·广州期中）【理解概念】
定义：有三个角相等的四边形叫做三等角四边形．
（1）下列四边形是三等角四边形的是_________．（填序号）
①平行四边形；②菱形；③矩形；④正方形．
【巩固新知】
（2）如图 ，折叠平行四边形 DEBF，使得顶点 E、F 分别落在边 BE、BF上的点 A、C 处，折痕为DG、DH．
求证：四边形 ABCD 为三等角四边形．
【拓展提高】
（3）如图 ，在三等角四边形 ABCD 中，∠A＝∠B＝∠C，若 AB＝5，，DC＝7，则BC的长度为_________．
25．（2024八下·广州期中）如图，在正方形中，是边上一动点（不与点，重合），连接，点关于直线的对称点为，连接并延长交直线于点，是中点，连接．
（1）求的度数；
（2）连接，请用等式表示，，三条线段之间的数量关系，并证明；
（3）若正方形的边长为，请直接写出的面积最大值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A：，不是最简二次根式，不符合题意；
B：，不是最简二次根式，不符合题意；
C：，不是最简二次根式，不符合题意；
D：是最简二次根式，符合题意；
故答案为：D
【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案.
2．【答案】D
【知识点】正比例函数的概念
【解析】【解答】解：A、是一次函数，故本选项不符合题意；
B、不是正比例函数，故本选项不符合题意；
C、是二次函数，故本选项不符合题意；
D、是正比例函数且k=3，故本选项符合题意；
故选：D.
【分析】
根据正比例函数的定义（一般地，形如y=kx（k是常数，）的函数，叫做正比例函数）逐项判断即可得．
3．【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、，不能构成直角三角形；
B、1+2=3，不能构成三角形；
C、，不能构成直角三角形；；
D、，能构成直角三角形.
故答案为：D.
【分析】根据勾股定理的逆定理，两条边长的平方和等于第三条边的平方，可判断三角形是否为直角三角形.
4．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A．四条边相等的四边形是菱形，不一定是矩形，故选项错误，不符合题意；
B．有一个角是的平行四边形是矩形， 不一定是正方形 ，故选项错误，不符合题意；
C． 根据菱形的判定，对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故选项正确，符合题意；
D．一组对边平行且相等的四边形 可能是等腰梯形，不一定是平行四边形 ，故选项错误，不符合题意．
故选：C．
【分析】
根据菱形、矩形、正方形、平行四边形的判定方法逐项判断即可求解．
5．【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、 不能合并，故A不符合题意；
B、 ，故B不符合题意；
C、 ，故C符合题意；
D、 ，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】只有同类二次根式才能合并，可对A、D作出判断；利用二次根式的乘法法则进行计算，可对B作出判断；利用二次根式的除法法则，可对C作出判断.
6．【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将直线沿轴向下平移2个单位长度后得到，即，
∵平移后的直线与轴交于，
，
解得：，
故答案为：．
【分析】利用函数图象（解析式）平移的特征：左加右减，上加下减分析可得，再将点（-2，0）代入计算即可.
7．【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：根据勾股定理得：，
，，，
，
，
，
，
．
故答案为：B．
【分析】利用正方形的面积公式可得，，，再结合，求出，最后求出BC=2即可.
8．【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数 (k， b是常数， y随x的增大而减小，
∴一次函数 (k， b是常数， 的图象经过第二、三、 四象限.
故答案为： D.
【分析】先根据一次函数 (k， b是常数， y随x的增大而减小可知 再由 可知 ，据此可得出结论.
9．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
10．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图：作轴，轴，则四边形是矩形，
，，
四边形是正方形，，
与互相垂直且平分，，则，
，
，
，
，（当时同理）
由题意可知，点在第一象限，设，直线的函数解析式为：，
代入可得：，可得，即直线的函数表达式为，故①正确；
，轴，轴，
四边形是正方形，则，
当时，，则，则，（当时同理可得：
当时，点的坐标为或，故③错误；
取的中点，连接，，，，则，
，，
，
由三角形三边关系可得：，当、、在同一直线上时取等，
，，
，（当时同理可得：则，故②错误；
由三角形三边关系可得：，当、、在同一直线上时取等，
的最大值为，故④正确；
，
四边形面积等于正方形的面积，
，，
的最大值为，
四边形面积的最大值为，即⑤正确，
综上：正确的有①④⑤，共3个．
故答案为：C．
【分析】 作轴，轴，再证可得，进而可求得直线的函数解析式为；当时，，则，则，当时，点的坐标为或；取的中点，连接，，，，则，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得，由三角形三边关系可得：，当、、在同一直线上时取等，由，，可得，（当时同理可得：，即可得，即②错误；由三角形三边关系可得：，当、、在同一直线上时取等，即可求得的最大值．先说明四边形面积等于正方形的面积，再求得的最大值，然后求出正方形的面积的最大值即可判定⑤，从而得解.
11．【答案】x≥3
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵代数式 有意义，
∴2x﹣6≥0，
解得：x≥3．
故答案为：x≥3．
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数求解即可．本题考查了二次根式有意义的条件，解答本题的关键是掌握被开方数为非负数．
12．【答案】
【知识点】比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：点、在直线上，
，，
，
故答案为：．
【分析】利用一次函数的性质与系数的关系（①当k>0时，一次函数的图象呈上升趋势，此时函数值y随x的增大而增大；②当k<0时，一次函数的图象呈下降趋势，此时函数值y随x的增大而减小）分析求解即可.
13．【答案】2
【知识点】平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：．
【分析】先利用平行四边形的性质可得，，再证出，利用角平分线定义及等量代换可得，利用等角对等边的性质可得，最后利用线段的和差求出EC的长即可.
14．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵在中，，，，
∴
∵以斜边为底作等腰直角三角形，如图所示，
∴
∴，
则，
∴该等腰直角三角形的面积为，
故答案为：．
【分析】先利用勾股定理求出BC的长，再求出BC的长，最后利用三角形的面积公式列出算式求解即可.
15．【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：四边形是菱形，
，
根据菱形的面积是24，可得，
，
，
，
根据勾股定理可得，
E是的中点，
，
故答案为：．
【分析】先利用菱形的面积等于对角线乘积的一半求出BD的长，再利用勾股定理求出AB的长，最后利用直角三角形斜边上中线的性质可得.
16．【答案】2或或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：四边形是矩形，，，
，，，
如图，当时，
由勾股定理可得：；
如图，当时，
由勾股定理可得：，
；
如图，当时，
，
过点作交于，
，
四边形是矩形，
，
，，
，
，
综上所述，当为等腰三角形时，的长是：2或或，
故答案为：2或或．
【分析】分类讨论：①当时，②当时，③当时，再分别画出图形并利用矩形的性质和勾股定理分别求解即可.
17．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）利用二次根式的加减法计算方法及步骤（①先利用二次根式的性质化简；②利用合并同类项的计算方法计算）分析求解即可；
（2）利用二次根式的混合运算的计算方法及步骤（①有括号先算括号内；②再算二次根式的乘除；③最后计算二次根式的加减法）分析求解即可.
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
18．【答案】证明：，
，
由勾股定理得：，，
，，
，
，
，
是直角三角形，
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】根据垂直定义得出，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求出和，求出，再根据如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么该三角形是直角三角形，最长边所对的角为直角即可证明.
19．【答案】证明：如图所示，连接与交于O，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】连接与交于O，利用平行四边形的性质可得，利用线段的和差及等量代换可得，从而可证出四边形是平行四边形．
20．【答案】解：设AC=x m，则AE=AC=x m，AB=AE-BE=（x-0.5）m，
由题意得：∠ABC=90°，
在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，即（x-0.5）2+1.52=x2，
解得：x=2.5，
∴AC=2.5m．
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【分析】设AC=x m，则AE=AC=x m，AB=AE-BE=（x-0.5）m，利用勾股定理列出方程AB2+BC2=AC2，即（x-0.5）2+1.52=x2，再求出x的值即可.
21．【答案】（1）解：设，
当时，，
，
解得，
，
与的函数关系式为；
函数图象过，，画出图象如下：
（2）解：把代入，
得：，
解得：；
的值为.
（3）解：在中，令得，
点不在函数的图象上．
【知识点】一次函数的概念；一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；正比例函数的概念
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式，再利用列表、描点作出函数图象即可；
（2）将点（a，-2）代入解析式求出a的值即可；
（3）将x=-2代入解析式求出y的值，再判断即可.
22．【答案】（1）解：如图，菱形即为所求；
如图，矩形即为所求；
（2）解：如图，平行四边形，等腰三角形即为所求；
【知识点】等腰三角形的判定；菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【分析】（1）利用菱形和矩形的判定方法和作图步骤并结合网格作出图形即可；
（2）利用三角形的面积公式及三角形的作图方法作出图形即可.
23．【答案】（1）解：当时，，
∴点F的坐标为，
∴；
当时，，
解得：，
∴点E的坐标为，
∴．
在中，.
（2）解：∵点A的坐标为，
∴．
∵点是直线上的一个动点，且在第二象限内运动，
∴，
∴的面积，
即.
（3）解：当点P运动到或，，
理由如下：
∵点P是该直线上的一个动点，
∴点P的坐标为．
∵，
∴，
∴，
∴或，
∴当点P运动到或，.
【知识点】三角形的面积；勾股定理；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）先求出点E、F的坐标，再利用勾股定理求出EF的长即可；
（2）先求出，再利用三角形的面积公式求出的面积即可；
（3）先求出点P的坐标为，结合，可得，求出x的值，从而可得点P的坐标.
（1）解：当时，，
∴点F的坐标为，
∴；
当时，，
解得：，
∴点E的坐标为，
∴．
在中，；
（2）解：∵点A的坐标为，
∴．
∵点是直线上的一个动点，且在第二象限内运动，
∴，
∴的面积，
即；
（3）解：当点P运动到或，，理由如下：
∵点P是该直线上的一个动点，
∴点P的坐标为．
∵，
∴，
∴，
∴或，
∴当点P运动到或，．
24．【答案】（1）③④；
（2）∵四边形为平行四边形，
∴，，
∵折叠平行四边形，使得顶点分别落在边上的点处，
∴DE=DA，DF=DC，
∴，
∵，，，
∴，
∴四边形是三等角四边形；
（3）．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】（1）解：①根据平行四边形的对角相等可得平行四边形不是三等角四边形；
②根据菱形四边相等、对角相等可知菱形不是三等角四边形；
③根据矩形四个角都相等可知矩形是三等角四边形；
④根据正方形四个角都相等可知正方形是三等角四边形．
故答案为：③④；
（3）如图，过点D作DE//BC，交BA延长线于E，作DF//AB，交BC延长线于F，作DG⊥BE于G，DH⊥BF于H，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴DE=BF，DF=BE，∠B+∠E=180°，∠B+∠F=180°，∠E=∠F，
∵∠DAB=∠B=∠BCD，∠DAE+∠DAB=180°，∠DCB+∠DCF=180°，
∴∠DAE=∠E=∠DCF=∠F，
∴AD=DE=BF=，CD=DF=7，
∴AE=BE-AB=CD-AB=2，
∵DG⊥BE，DH⊥BF，
∴AG=EG=AE=1，CH=HF=CF，
∴DG=，
∴S平行四边形DEBF=BE·DG=BF·DH，即7×5=DH，
解得：DH=，
∴CH==，
∴CF=2CH=，
∴BC=BF-CF=．
故答案为：
【分析】
（1）利用平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质结合三等角四边形的定义判断即可求解；
（2）由平行四边形的性质可得∠E=∠F，且∠E+∠EBF=180°，根据折叠的性质可得∠E=∠DAE，∠F=∠DCF，再根据等角的补角相等，判断出∠DAB=∠DCB=∠ABC，根据三等角四边形的定义即可得结论；
（3）如图，过点D作DE//BC，交BA延长线于E，作DF//AB，交BC延长线于F，作DG⊥BE于G，DH⊥BF于H，可得四边形DEBF是平行四边形，根据及平行四边形的性质可得AD=DE=BF=，CD=DF=7，可求出AE的长，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得AG=EG=AE=1，CH=HF=CF，利用勾股定理可得DG的长，利用平行四边形的面积可求出DH的长，利用勾股定理可求出CH的长，进而求出CF的长，即可求出BC的长．
25．【答案】（1）解：由对称得：，，
在正方形中，，，
，
是的中点，
，，
.
（2）结论：，
证明：如图，作交的延长线于，
，
在正方形中，，，
，
由（1）可知：，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
.
（3）
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；四边形的综合
【解析】【解答】（3）解：．
理由如下：如图，过作于，则，
中，，
，即为定值，
当最大时，的面积最大，
连接，交于，当在上时，最大，此时与重合，
，，
，
．
【分析】（1）先证出，再结合F是的中点，利用“三线合一”的性质可得，，再求出即可；
（2）作交的延长线于，先利用“SAS”证出，利用全等三角形的性质可得，最后利用线段的和差及等量代换可得；
（3）过作于，则，先证出当最大时，的面积最大，连接，交于，当在上时，最大，此时与重合，再求出，最后利用三角形的面积公式求出即可．
