广东省深圳市龙华区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题
1．（2024八下·龙华期中）下列2024年巴黎奥运会和残奥会运动项目的图标中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、B、C选项中的图形都能找到这样的一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
D选项中的图形不能找到这样的一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
故答案为：D．
【分析】利用中心对称图形的定义（把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形）逐项分析判断即可.
2．（2024八下·龙华期中）若，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、，不等式的两边都加1，得，
即，故本选项不符合题意；
B、，不等式的两边都乘2，得，故本选项符合题意；
C、，不等式两边都乘，得，
不等式的两边都加1，得，故本选项不符合题意；
D、，不等式两边都除以，得，故本选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据不等式的性质逐项进行判断即可求出答案.
3．（2024八下·龙华期中）以下从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、∵是乘法运算，不是因式分解，∴A不符合题意；
B、∵符合因式分解的定义，∴B符合题意；
C、∵中左右不相等，∴C不符合题意；
D、∵中等号右边不是整式积的形式，∴D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用因式分解的定义（因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式）逐个分析求解即可.
4．（2024八下·龙华期中）某双向六车道高速公路，分车道与分车型组合限速，其标牌版面如图所示，每个标牌上左侧数字代表该车道车型的最高通行车速（单位：），右侧数字代表该车道车型的最低通行车速（单位：）.王师傅驾驶一辆货车在该高速公路上依规行驶，车速为，则车速v的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】列一元一次不等式组
【解析】【解答】解：王师傅驾驶的车辆是货车，
王师傅应走右侧两车道，
车速的范围是．
故答案为：B．
【分析】由王师傅驾驶的车辆是货车，可得出王师傅应走右侧两车道，结合右侧车道标牌上速度，即可得出车速的范围．
5．（2024八下·龙华期中）用反证法证明命题“一个三角形中至少有一个内角是锐角”时，应先假设（ ）
A．三个内角都是锐角 B．三个内角都是钝角
C．三个内角都不是锐角 D．三个内角都不是钝角
【答案】C
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明“一个三角形中至少有一个内角是锐角”，应先假设三个内角都不是锐角．
故答案为：C．
【分析】利用反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确，再求解即可.
6．（2024八下·龙华期中）“迎五一·赞劳模”活动准备中，商场推出定价为每瓶3元的清凉茶饮料，若购买超过15瓶，则超出的部分按每瓶2元售卖，若顾客现有50元钱，那么他最多能买清凉茶饮料的瓶数为（ ）
A．16 B．17 C．18 D．19
【答案】B
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设该顾客可以购买x瓶清凉茶饮料，
根据题意得：，
解得：，
又x为整数，
x的最大值为17，
即该顾客最多能购买17瓶清凉茶饮料，
故答案为：B．
【分析】设该顾客可以购买x瓶清凉茶饮料，利用“总价=单价×数量”，结合总价不超过50元可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再取其中的最大整数值，即可求出答案.
7．（2024八下·龙华期中）下列命题是假命题的是（ ）
A．到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
B．三个角都相等的三角形是等边三角形
C．成中心对称的两个图形中，对应点连线段经过对称中心，且被对称中心平分
D．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；中心对称及中心对称图形；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、∵在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，∴A是假命题，符合题意；
B、∵三个角都相等的三角形是等边三角形，∴B是真命题，不符合题意；
C、∵成中心对称的两个图形中，对应点连线段经过对称中心，且被对称中心平分，∴C是真命题，不符合题意；
D、∵斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，∴D是真命题，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用角平分线的判定、等边三角形的判定、中心对称图形的定义及全等三角形的判定方法逐项分析判断即可.
8．（2024八下·龙华期中）如图，已知钝角，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．步骤1：以为圆心，为半径画弧①；步 骤 2：以为圆心，为半径画弧②，交弧①于点；步骤3：连接，交延长线于点．下列结论一定正确的是（ ）
A． B．点是中点
C．平分 D．
【答案】D
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【解答】解：由作法可得：垂直平分，
，，
，
故答案为：D．
【分析】利用垂直平分线的性质可得，，再利用三角形的面积公式列出算式求解即可.
9．（2024八下·龙华期中）如图，是等边三角形，点与点分别在边与上，将沿直线折叠，使得的对应点落到边上，当为直角三角形时，的度数为（ ）
A．45°或75° B．45°或30° C．30°或75° D．45°或60°
【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；翻折变换（折叠问题）；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：为等边三角形，
，
当为直角三角形时，有以下两种情况：
①当时，如图1所示：
则，
由折叠的性质得：，
②当为直角时，如图2所示：
则，
，
由折叠的性质得：，
综上所述：的度数为或．
故答案为：A．
【分析】分类讨论：①当时，②当为直角时，先分别画出图形，再利用角的运算求出，最后利用折叠的性质求出∠FEC的度数即可.
10．（2024八下·龙华期中）如图，在四边形中，，，，，是对角线的中点，连接并延长交边于点．则的长为（ ）
A．3 B． C．4 D．
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；三角形全等的判定-AAS；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，过点作交的延长线于点，过点作于点，
，
，，
，
，
，
，
，
，
点是斜边的中点，
是的斜边上的中线，
，
，
又∵，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
故答案为：B．
【分析】过点作交的延长线于点，过点作于点，先利用勾股定理求出，再利用直角三角形斜边上中线的性质可得，再利用“AAS”证出，可得，再利用含30°角的直角三角形的性质可得，最后利用线段的和差求出即可.
11．（2024八下·龙华期中）关于的不等式与的解集相同，则
【答案】2
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：解不等式得：，
关于的不等式与的解集相同，
，
故答案为：．
【分析】先分别求出两个不等式的解集，再结合“关于的不等式与的解集相同”可得a=2，从而得解.
12．（2024八下·龙华期中）如图，在直角三角形中，，平分，交于点D，若，，则的面积为
【答案】8
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图所示，过点D作于E，
∵，，平分，
∴，
∵，
∴，
故答案为：8．
【分析】过点D作于E，先利用角平分线的性质可得，再利用三角形的面积公式列出算式求出即可.
13．（2024八下·龙华期中）如图，一次函数和的图象相交于点，则关于的不等式的解集为
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：将代入得：，
解得：，
，
由图象可得：关于的不等式的解集为：，
故答案为：．
【分析】结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可.
14．（2024八下·龙华期中）如图，将绕点逆时针旋转得到，点恰好落在上，交于．若，则的大小为 ．
【答案】69
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：将绕点逆时针旋转得到，若，
，
，是等腰三角形，
，
在中，，
，
故答案为：69．
【分析】先利用旋转的性质证出是等腰三角形，再利用等腰三角形的性质及等量代换可得，再利用角的运算求出，即可得到.
15．（2024八下·龙华期中）如图，已知在等腰三角形中，，，是边上的中线，点是上的点．当时，线段的长度为
【答案】
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，延长交于，过点作于，
，
，是边上的中线，
，，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，，
为等腰直角三角形，
，
，，，
，
，
，
故答案为：．
【分析】延长交于，过点作于，先证出和△AEH为等腰直角三角形，可得，再求出，再结合，求出即可.
16．（2024八下·龙华期中）解不等式：
【答案】解：，
去分母，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化1，得．
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【分析】利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先去括号，再移项并合并同类项，最后系数化为“1”即可）分析求解即可.
17．（2024八下·龙华期中）解不等式组并在数轴上表示它的解集
【答案】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
原不等式组的解集为：，
该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】先利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为“1”即可）分析求出解集，再在数轴上表示出解集即可.
18．（2024八下·龙华期中）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．其中A（1，1）、B（4，4）、C（5，1）．
（1）将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2，A、B、C的对应点分别是A2、B2、C2；
（3）连CB2，直接写出点B2、C2的坐标B2： 、C2： ．
【答案】解：（1）的△A1B1C1如图所示．
（2）的△A2B2C2如图所示．
（3）（4，﹣2），（1，﹣3）．
【知识点】作图﹣平移；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：（3）B2（4，﹣2），C2（1，﹣3），
故答案为：（4，﹣2），（1，﹣3）．
【分析】（1）先利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）先利用点旋转的特征找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（3）根据平面直角坐标系直接求出点坐标即可.
19．（2024八下·龙华期中）如图，是的角平分线，交延长线于点D．
（1）求证：；
（2）过A作交于F，若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵于点A，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
由(1)知，
∴，
∴，
∴在中，，
代入，
∴．
【知识点】平行线的性质；勾股定理；角平分线的概念；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据角平分线定义可得，再根据直线平行性质可得，则，再根据等角对等边即可求出答案.
（2）根据垂直可得，再根据等边对等角可得，则，再根据角之间的关系可得，再根据勾股定理即可求出答案.
20．（2024八下·龙华期中）五一假期，两位老师计划带领若干学生去古镇参与社会实践，他们联系了报价均为每人200元的两家旅行社．经协商，甲旅行社的优惠条件是：两位老师全额收费，学生按六折收费；乙旅行社的优惠条件是：老师与学生都按照七折收费．
（1）设总人数为x人，选择甲旅行社时，所需费用为元，选择乙旅行社时，所需费用为元，请分别写出，与x之间的关系式．
（2）若学生人数不超过10人，为了减少花销，他们应该如何选择旅行社？
【答案】（1）解：根据题意可得：；
；
（2）解：①．
．
解得：；
②．
．
解得：；
③．
．
解得：，
学生人数不超过10人，老师有2人，
．
答：当总人数少于8人，选择乙旅行社花销较少；总人数为8人，两个旅行社花销相同；总人数超过8人不超过12人，甲旅行社花销较少．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）利用“ 甲旅行社所需费用两位老师的费用学生人数 ”和“ 乙旅行社所需费用总人数 ”直接列出代数式即可；
（2）分类讨论：①，②，③，再分别列出不等式和方程求解即可.
（1）解：；
；
（2）解：①．
．
解得：；
②．
．
解得：；
③．
．
解得：，
学生人数不超过10人，老师有2人，
．
答：当总人数少于8人，选择乙旅行社花销较少；总人数为8人，两个旅行社花销相同；总人数超过8人不超过12人，甲旅行社花销较少．
21．（2024八下·龙华期中）【项目式学习】
【项目主题】如何快速计算出平面直角坐标系中三个不共线的点围成的三角形的面积？
【项目背景】已知平面直角坐标系中任意三个不共线的点的坐标，如何快速计算出其围成的三角形的面积？八年级数学学习小组围绕这一问题，进行了项目式学习．
任务一：查阅资料
小组成员经过查阅相关资料，得到如下素材：
素材一：把一个几何图形按照某种法则或规律变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换． 因为几何图形是点的集合，所以几何变换都是通过点的变换实现的，几何变换中最基础的一类是全等变换、全等变换的基本形式有：平移、旋转、轴对称．全等变换前后的两个几何图形是全等形 ．
素材二：在平面直角坐标系中，若已知，则的面积可以表示为；
任务二：特例验证
（1）小组成员根据素材二中的公式，很快计算出点， 点与原点O 构成的三角形面积 ① ，并且利用割补法探究了素材二中公式的证明过程：如图，因为三角形的面积不因为坐标系的位置变化而改变，所以不妨假设都在第一象限，且，．过点A作x轴的平行线l，交y轴 于C点，过点B 作y轴的平行线m，交x轴于D点，I与m交于点E，则E点坐标为 ② 因为与与是直角三角形，四边形是矩形，所以整理得，由于位置可以互换，所以的面积可以统一表示为；
任务二：迁移推广
小组成员经过思考发现：当三角形的三个顶点都不是原点时，可以通过全等变换，使得某一 个顶点变换到原点，从而可以继续利用素材二中公式进行计算，根据素材一的知识，可知变换后的新三角形的面积与原三角形的面积相等，
例如：已知，可将进行平移变换，使得点C平移至原点，A的对应点为，B的对应点为，从而计算出的面积；也可以通过旋转变换的方法，将绕某一点旋转，使得点C 变换到原点O，A的对应点为，B的对应点为，从而也可以计算出的面积，
（2）经过画图分析，可知的坐标为 的坐标为 ，的面积
任务三：实践应用
（3）已知，C是直线上的动点，当的面积为3时，求C点坐标．
【答案】解：（1）5，，；
（2），，；
（3）解：设，
当平移到，
∴A的对应点为，B的对应点为，
∴，
整理得，，
解得，或，
∴C的坐标为或．
【知识点】坐标与图形性质；一次函数的概念；三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；中心对称的性质
【解析】【解答】（1）解：由题意知，，
∴E点坐标为；
∴，
故答案为：5，，；
（2）解：如图，
∵，
∴点C平移至原点，即向右平移2个单位，再向下平移2个单位，
∴A的对应点，B的对应点；
∵ 旋转变换到原点O，
∴旋转中点为的中点，
∴的中点也为，
∴，
∴，
故答案为：，，；
（3）解：设，
当平移到，
∴A的对应点为，B的对应点为，
∴，
整理得，，
解得：或，
∴C的坐标为或．
【分析】（1）利用三角形的面积公式可得，求出点E的坐标，再利用割补法求出即可；
（2）利用点坐标平移的特征可得和，再利用旋转的性质可得，再利用三角形的面积公式求出，最后求解即可；
（3）先求出 A的对应点为，B的对应点为， 再利用三角形的面积公式可得，再求解即可.
22．（2024八下·龙华期中）如图1，在中，，，，点是上一点，，点在上从点平移至点，过点作，交射线于点．将绕点顺时针旋转至，的对应点为，的对应点为，连接．
（1）的大小是 ，的大小是
（2）如图2，当，，三点共线时，求平移的距离；
（3）连接，当是等腰三角形时，求平移的距离．
【答案】（1），
（2）解：，，
，
绕点顺时针旋转到，
，，
，
当，，三点共线时，如图，过作于．
，，
设，
则，，
，
，
；
（3）解：如图，连接，当时，，
，
，
设，
则，
，
，
当时，由上可知，
，
当，显然不成立．
综上，或．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；旋转的性质；三角形的综合
【解析】【解答】（1）解：，，
；
将绕点顺时针旋转至，
，，
，
．
故答案为：，；
【分析】（1）利用旋转的性质及角的运算求解即可；
（2）当，，三点共线时，如图，过作于，设，则，，再结合，求出即可；
（3）分类讨论：①当时，②当时，再分别画出图形并利用线段的和差求解即可.
（1）解：，，
；
将绕点顺时针旋转至，
，，
，
．
故答案为：，；
（2）解：，，
，
绕点顺时针旋转到，
，，
，
当，，三点共线时，如图，过作于．
，，
设，
则，，
，
，
；
（3）解：如图，连接，当时，，
，
，
设，
则，
，
，
当时，由上可知，
，
当，显然不成立．
综上，或．
广东省深圳市龙华区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题
1．（2024八下·龙华期中）下列2024年巴黎奥运会和残奥会运动项目的图标中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024八下·龙华期中）若，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024八下·龙华期中）以下从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024八下·龙华期中）某双向六车道高速公路，分车道与分车型组合限速，其标牌版面如图所示，每个标牌上左侧数字代表该车道车型的最高通行车速（单位：），右侧数字代表该车道车型的最低通行车速（单位：）.王师傅驾驶一辆货车在该高速公路上依规行驶，车速为，则车速v的范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024八下·龙华期中）用反证法证明命题“一个三角形中至少有一个内角是锐角”时，应先假设（ ）
A．三个内角都是锐角 B．三个内角都是钝角
C．三个内角都不是锐角 D．三个内角都不是钝角
6．（2024八下·龙华期中）“迎五一·赞劳模”活动准备中，商场推出定价为每瓶3元的清凉茶饮料，若购买超过15瓶，则超出的部分按每瓶2元售卖，若顾客现有50元钱，那么他最多能买清凉茶饮料的瓶数为（ ）
A．16 B．17 C．18 D．19
7．（2024八下·龙华期中）下列命题是假命题的是（ ）
A．到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
B．三个角都相等的三角形是等边三角形
C．成中心对称的两个图形中，对应点连线段经过对称中心，且被对称中心平分
D．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
8．（2024八下·龙华期中）如图，已知钝角，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．步骤1：以为圆心，为半径画弧①；步 骤 2：以为圆心，为半径画弧②，交弧①于点；步骤3：连接，交延长线于点．下列结论一定正确的是（ ）
A． B．点是中点
C．平分 D．
9．（2024八下·龙华期中）如图，是等边三角形，点与点分别在边与上，将沿直线折叠，使得的对应点落到边上，当为直角三角形时，的度数为（ ）
A．45°或75° B．45°或30° C．30°或75° D．45°或60°
10．（2024八下·龙华期中）如图，在四边形中，，，，，是对角线的中点，连接并延长交边于点．则的长为（ ）
A．3 B． C．4 D．
11．（2024八下·龙华期中）关于的不等式与的解集相同，则
12．（2024八下·龙华期中）如图，在直角三角形中，，平分，交于点D，若，，则的面积为
13．（2024八下·龙华期中）如图，一次函数和的图象相交于点，则关于的不等式的解集为
14．（2024八下·龙华期中）如图，将绕点逆时针旋转得到，点恰好落在上，交于．若，则的大小为 ．
15．（2024八下·龙华期中）如图，已知在等腰三角形中，，，是边上的中线，点是上的点．当时，线段的长度为
16．（2024八下·龙华期中）解不等式：
17．（2024八下·龙华期中）解不等式组并在数轴上表示它的解集
18．（2024八下·龙华期中）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．其中A（1，1）、B（4，4）、C（5，1）．
（1）将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2，A、B、C的对应点分别是A2、B2、C2；
（3）连CB2，直接写出点B2、C2的坐标B2： 、C2： ．
19．（2024八下·龙华期中）如图，是的角平分线，交延长线于点D．
（1）求证：；
（2）过A作交于F，若，，求的长．
20．（2024八下·龙华期中）五一假期，两位老师计划带领若干学生去古镇参与社会实践，他们联系了报价均为每人200元的两家旅行社．经协商，甲旅行社的优惠条件是：两位老师全额收费，学生按六折收费；乙旅行社的优惠条件是：老师与学生都按照七折收费．
（1）设总人数为x人，选择甲旅行社时，所需费用为元，选择乙旅行社时，所需费用为元，请分别写出，与x之间的关系式．
（2）若学生人数不超过10人，为了减少花销，他们应该如何选择旅行社？
21．（2024八下·龙华期中）【项目式学习】
【项目主题】如何快速计算出平面直角坐标系中三个不共线的点围成的三角形的面积？
【项目背景】已知平面直角坐标系中任意三个不共线的点的坐标，如何快速计算出其围成的三角形的面积？八年级数学学习小组围绕这一问题，进行了项目式学习．
任务一：查阅资料
小组成员经过查阅相关资料，得到如下素材：
素材一：把一个几何图形按照某种法则或规律变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换． 因为几何图形是点的集合，所以几何变换都是通过点的变换实现的，几何变换中最基础的一类是全等变换、全等变换的基本形式有：平移、旋转、轴对称．全等变换前后的两个几何图形是全等形 ．
素材二：在平面直角坐标系中，若已知，则的面积可以表示为；
任务二：特例验证
（1）小组成员根据素材二中的公式，很快计算出点， 点与原点O 构成的三角形面积 ① ，并且利用割补法探究了素材二中公式的证明过程：如图，因为三角形的面积不因为坐标系的位置变化而改变，所以不妨假设都在第一象限，且，．过点A作x轴的平行线l，交y轴 于C点，过点B 作y轴的平行线m，交x轴于D点，I与m交于点E，则E点坐标为 ② 因为与与是直角三角形，四边形是矩形，所以整理得，由于位置可以互换，所以的面积可以统一表示为；
任务二：迁移推广
小组成员经过思考发现：当三角形的三个顶点都不是原点时，可以通过全等变换，使得某一 个顶点变换到原点，从而可以继续利用素材二中公式进行计算，根据素材一的知识，可知变换后的新三角形的面积与原三角形的面积相等，
例如：已知，可将进行平移变换，使得点C平移至原点，A的对应点为，B的对应点为，从而计算出的面积；也可以通过旋转变换的方法，将绕某一点旋转，使得点C 变换到原点O，A的对应点为，B的对应点为，从而也可以计算出的面积，
（2）经过画图分析，可知的坐标为 的坐标为 ，的面积
任务三：实践应用
（3）已知，C是直线上的动点，当的面积为3时，求C点坐标．
22．（2024八下·龙华期中）如图1，在中，，，，点是上一点，，点在上从点平移至点，过点作，交射线于点．将绕点顺时针旋转至，的对应点为，的对应点为，连接．
（1）的大小是 ，的大小是
（2）如图2，当，，三点共线时，求平移的距离；
（3）连接，当是等腰三角形时，求平移的距离．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、B、C选项中的图形都能找到这样的一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
D选项中的图形不能找到这样的一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
故答案为：D．
【分析】利用中心对称图形的定义（把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形）逐项分析判断即可.
2．【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、，不等式的两边都加1，得，
即，故本选项不符合题意；
B、，不等式的两边都乘2，得，故本选项符合题意；
C、，不等式两边都乘，得，
不等式的两边都加1，得，故本选项不符合题意；
D、，不等式两边都除以，得，故本选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据不等式的性质逐项进行判断即可求出答案.
3．【答案】B
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、∵是乘法运算，不是因式分解，∴A不符合题意；
B、∵符合因式分解的定义，∴B符合题意；
C、∵中左右不相等，∴C不符合题意；
D、∵中等号右边不是整式积的形式，∴D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用因式分解的定义（因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式）逐个分析求解即可.
4．【答案】B
【知识点】列一元一次不等式组
【解析】【解答】解：王师傅驾驶的车辆是货车，
王师傅应走右侧两车道，
车速的范围是．
故答案为：B．
【分析】由王师傅驾驶的车辆是货车，可得出王师傅应走右侧两车道，结合右侧车道标牌上速度，即可得出车速的范围．
5．【答案】C
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明“一个三角形中至少有一个内角是锐角”，应先假设三个内角都不是锐角．
故答案为：C．
【分析】利用反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确，再求解即可.
6．【答案】B
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设该顾客可以购买x瓶清凉茶饮料，
根据题意得：，
解得：，
又x为整数，
x的最大值为17，
即该顾客最多能购买17瓶清凉茶饮料，
故答案为：B．
【分析】设该顾客可以购买x瓶清凉茶饮料，利用“总价=单价×数量”，结合总价不超过50元可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再取其中的最大整数值，即可求出答案.
7．【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；中心对称及中心对称图形；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、∵在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，∴A是假命题，符合题意；
B、∵三个角都相等的三角形是等边三角形，∴B是真命题，不符合题意；
C、∵成中心对称的两个图形中，对应点连线段经过对称中心，且被对称中心平分，∴C是真命题，不符合题意；
D、∵斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，∴D是真命题，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用角平分线的判定、等边三角形的判定、中心对称图形的定义及全等三角形的判定方法逐项分析判断即可.
8．【答案】D
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【解答】解：由作法可得：垂直平分，
，，
，
故答案为：D．
【分析】利用垂直平分线的性质可得，，再利用三角形的面积公式列出算式求解即可.
9．【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；翻折变换（折叠问题）；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：为等边三角形，
，
当为直角三角形时，有以下两种情况：
①当时，如图1所示：
则，
由折叠的性质得：，
②当为直角时，如图2所示：
则，
，
由折叠的性质得：，
综上所述：的度数为或．
故答案为：A．
【分析】分类讨论：①当时，②当为直角时，先分别画出图形，再利用角的运算求出，最后利用折叠的性质求出∠FEC的度数即可.
10．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；三角形全等的判定-AAS；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，过点作交的延长线于点，过点作于点，
，
，，
，
，
，
，
，
，
点是斜边的中点，
是的斜边上的中线，
，
，
又∵，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
故答案为：B．
【分析】过点作交的延长线于点，过点作于点，先利用勾股定理求出，再利用直角三角形斜边上中线的性质可得，再利用“AAS”证出，可得，再利用含30°角的直角三角形的性质可得，最后利用线段的和差求出即可.
11．【答案】2
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：解不等式得：，
关于的不等式与的解集相同，
，
故答案为：．
【分析】先分别求出两个不等式的解集，再结合“关于的不等式与的解集相同”可得a=2，从而得解.
12．【答案】8
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图所示，过点D作于E，
∵，，平分，
∴，
∵，
∴，
故答案为：8．
【分析】过点D作于E，先利用角平分线的性质可得，再利用三角形的面积公式列出算式求出即可.
13．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：将代入得：，
解得：，
，
由图象可得：关于的不等式的解集为：，
故答案为：．
【分析】结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可.
14．【答案】69
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：将绕点逆时针旋转得到，若，
，
，是等腰三角形，
，
在中，，
，
故答案为：69．
【分析】先利用旋转的性质证出是等腰三角形，再利用等腰三角形的性质及等量代换可得，再利用角的运算求出，即可得到.
15．【答案】
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，延长交于，过点作于，
，
，是边上的中线，
，，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，，
为等腰直角三角形，
，
，，，
，
，
，
故答案为：．
【分析】延长交于，过点作于，先证出和△AEH为等腰直角三角形，可得，再求出，再结合，求出即可.
16．【答案】解：，
去分母，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化1，得．
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【分析】利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先去括号，再移项并合并同类项，最后系数化为“1”即可）分析求解即可.
17．【答案】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
原不等式组的解集为：，
该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】先利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为“1”即可）分析求出解集，再在数轴上表示出解集即可.
18．【答案】解：（1）的△A1B1C1如图所示．
（2）的△A2B2C2如图所示．
（3）（4，﹣2），（1，﹣3）．
【知识点】作图﹣平移；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：（3）B2（4，﹣2），C2（1，﹣3），
故答案为：（4，﹣2），（1，﹣3）．
【分析】（1）先利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）先利用点旋转的特征找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（3）根据平面直角坐标系直接求出点坐标即可.
19．【答案】（1）证明：∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵于点A，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
由(1)知，
∴，
∴，
∴在中，，
代入，
∴．
【知识点】平行线的性质；勾股定理；角平分线的概念；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据角平分线定义可得，再根据直线平行性质可得，则，再根据等角对等边即可求出答案.
（2）根据垂直可得，再根据等边对等角可得，则，再根据角之间的关系可得，再根据勾股定理即可求出答案.
20．【答案】（1）解：根据题意可得：；
；
（2）解：①．
．
解得：；
②．
．
解得：；
③．
．
解得：，
学生人数不超过10人，老师有2人，
．
答：当总人数少于8人，选择乙旅行社花销较少；总人数为8人，两个旅行社花销相同；总人数超过8人不超过12人，甲旅行社花销较少．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）利用“ 甲旅行社所需费用两位老师的费用学生人数 ”和“ 乙旅行社所需费用总人数 ”直接列出代数式即可；
（2）分类讨论：①，②，③，再分别列出不等式和方程求解即可.
（1）解：；
；
（2）解：①．
．
解得：；
②．
．
解得：；
③．
．
解得：，
学生人数不超过10人，老师有2人，
．
答：当总人数少于8人，选择乙旅行社花销较少；总人数为8人，两个旅行社花销相同；总人数超过8人不超过12人，甲旅行社花销较少．
21．【答案】解：（1）5，，；
（2），，；
（3）解：设，
当平移到，
∴A的对应点为，B的对应点为，
∴，
整理得，，
解得，或，
∴C的坐标为或．
【知识点】坐标与图形性质；一次函数的概念；三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；中心对称的性质
【解析】【解答】（1）解：由题意知，，
∴E点坐标为；
∴，
故答案为：5，，；
（2）解：如图，
∵，
∴点C平移至原点，即向右平移2个单位，再向下平移2个单位，
∴A的对应点，B的对应点；
∵ 旋转变换到原点O，
∴旋转中点为的中点，
∴的中点也为，
∴，
∴，
故答案为：，，；
（3）解：设，
当平移到，
∴A的对应点为，B的对应点为，
∴，
整理得，，
解得：或，
∴C的坐标为或．
【分析】（1）利用三角形的面积公式可得，求出点E的坐标，再利用割补法求出即可；
（2）利用点坐标平移的特征可得和，再利用旋转的性质可得，再利用三角形的面积公式求出，最后求解即可；
（3）先求出 A的对应点为，B的对应点为， 再利用三角形的面积公式可得，再求解即可.
22．【答案】（1），
（2）解：，，
，
绕点顺时针旋转到，
，，
，
当，，三点共线时，如图，过作于．
，，
设，
则，，
，
，
；
（3）解：如图，连接，当时，，
，
，
设，
则，
，
，
当时，由上可知，
，
当，显然不成立．
综上，或．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；旋转的性质；三角形的综合
【解析】【解答】（1）解：，，
；
将绕点顺时针旋转至，
，，
，
．
故答案为：，；
【分析】（1）利用旋转的性质及角的运算求解即可；
（2）当，，三点共线时，如图，过作于，设，则，，再结合，求出即可；
（3）分类讨论：①当时，②当时，再分别画出图形并利用线段的和差求解即可.
（1）解：，，
；
将绕点顺时针旋转至，
，，
，
．
故答案为：，；
（2）解：，，
，
绕点顺时针旋转到，
，，
，
当，，三点共线时，如图，过作于．
，，
设，
则，，
，
，
；
（3）解：如图，连接，当时，，
，
，
设，
则，
，
，
当时，由上可知，
，
当，显然不成立．
综上，或．
