中牟县 2024—2025 学年第一次质量监测试题
九年级 数学试卷
一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）
1.如图，实数 a,b,c,d 在数轴上表示如下，则最小的实数为
A. a B. b C. c D. d
2.下列方程是一元二次方程的是
A. x 1 5 B. x2 5 4 C. 2x2 8x 1 D. x 1 x 2 x 2
x x 1
3.已知 y与 x成反比例，且当 x 2时， y 3，则该函数的表达式是
A. y 6x B. y 1 C. y 6 D. y x
6x x 6
4.榫卯是我国传统建筑及家具的基本构件．燕尾榫是“万榫之母”，为了防止受拉力时脱
开，榫头成梯台形，形似燕尾，如图是燕尾榫正面的带头部分，它的主视图是
A B C D
（第 4 题图）
5.eO的半径为5，圆心O的坐标为 0,0 ,点 P的坐标为 3,4 ，
则点 P与eO的位置关系是
A.点 P在eO内 B.点P在eO上 C.点 P在eO外 D.点 P在eO上或eO外
6.若方程 ax2 bx c 0 2的两个根是 3和1，那么二次函数 y ax bx c的图象的对
称轴是直线
A. x 3 B. x 2 C. x 1 D. x 1
7.已知，在ΔEOF 中， O 78 ，OE 4，OF 6，下列阴影部分的
三角形与ΔEOF 不相似的是
8.“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”
这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由示意图获
得，设井深为 x尺，所列方程正确的是
A. 5 0.4 B. 5 0.4 C. x 5 D. 5 5 0.4
5 x 5 x 5 x 5 0.4 x 0.4
九年级数学试卷 第 1页 共 6 页
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9.综合实践课上，李海画出ΔABD ,利用尺规作图找一点C，使得四边形 ABCD为平行
四边形.图①～图③是他的作图过程.
李海的作法中，可直接判定四边形 ABCD是平行四边形的条件是
A.两组对边分别平行 B.两组对边分别相等
C.对角线互相平分 D.一组对边平行且相等
2
10.如图，一段抛物线 y x 5x 0 x 5 的图象记为C1，它与 x轴交于点O和 A1，
将C1绕点 A1旋转180 得C2，交 x轴于点 A2 ；将C2绕点 A2 旋转180 得C3 ，交 x轴
于点 A3……如此进行下去，得到一“波浪线”，若点 P 2024,m 在此“波浪线”上，
则m的值是
A. 4 B. 4 C. 6 D. 6
二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）
2
11.如果抛物线 y a 1 x 的开口向上，那么 a的取值范围是 .
12.下表是某种子实验室，记录的某种绿豆在相同条件下发芽实验的结果：
这种绿豆发芽的概率的估计值为 （精确到0.01）.
13.太阳发出的光经过三棱镜折射后，可以形成红、橙、黄、绿、蓝、靛、紫等色光组成
的光带，这是光的色散现象，说明太阳发出的白光是由不同色光组成的.自然界大部分
彩色的光都可以通过红、绿、蓝三种颜色按照不同比例混合而成，所以这三种色光又被
称为光的“三原色”.在一次数学课上，老师利用了光的三原色设计了一个“配紫色”
游戏.如图所示，是一个可以自由转动的转盘，转盘被分成面积相等的三个扇形，分别
对应红、绿、蓝三种颜色，转动转盘两次（如指针指向扇形分界线，则需要重新转动），
恰好可以配成紫色的概率是 .
九年级数学试卷 第 2页 共 6 页
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14.如图，将一张矩形纸片对折，然后沿着图中的虚线剪下，得到①，②两部分，将①展
开后得到的平面图形是 .
15.如图，四边形 ABCD中，AC a,BD b，且 AC⊥ BD，顺次连接四边形 ABCD各
边的中点，得到四边形 A1B1C1D1，再顺次连接四边形 A1B1C1D1各边的中点，得到四边
形 A2B2C2D2 ……如此进行下去，得到四边形 AnBnCnDn ，四边形 A5B5C5D5的周长
是 ，四边形 AnBnCnDn的面积是 .
三、解答题（本大题共 8 个小题，共 75 分）
0
1
16.（10 分）（1）计算： 9 sin 30 ；
2025
2
（2）解方程： 2x 7x 3 0 .
2
17.（9 分）已知关于 x的方程mx m 2 x 2 0 m 0 .
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若方程的一个根是 x 2，求方程的另一个根.
18.（9 分）如图①，一个平行四边形活动框架，如果拉动一对不相邻的顶点，平行四边形
的形状会发生变化,随着 的变化，两条对角线的长度也发生变化.如图②，当对角线
的长度相等时，平行四边形是 （直接写四边形的形状）.
（1）由上面操作过程，你能得到一个怎样的猜想？
（2）证明你的猜想（先画出几何图形，再写出“已知”“求证”，最后写出证明过程）.
九年级数学试卷 第 3页 共 6 页
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19.（9 分）如图①，“土圭”是古人用来测量太阳影子的工具，“土圭之法”是中国古代判
别四季的方法之一：夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于夏
至和冬至日影长度的平均数.某校学生运用“土圭之法”进行实践探索，在如图②中，
产生日影的杆子 AC 垂直于地面， AC高3.35m .在夏至时，太阳光线 AB与地平面的
夹角是73.4 ，杆子 AC 产生的日影为CB；在冬至时，太阳光线 AD与地平面的夹角
是 26.6 ,杆子 AC产生的日影为CD .（参考数据 sin 26.6 0.45，cos 26.6 0.89，
tan 26.6 0.50， sin 73.4 0.96， cos73.4 0.29， tan 73.4 3.35）
（1） ABC ， ADC ；
（2）分别求出夏至和冬至时日影的长度；
（3）春分时日影的长度是 .
20.（9 分）某药品研究所开发一种抗菌新药，经过多年动物实验，首次用于临床人体实验,
测得成人服药后血液中药物浓度 y ug / mL 与服药时间 x h 之间的函数关系如图
所示（当 4 x 10时， y与 x成反比例）.
（1）根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段 y与 x之间的函数表达式；
（2）若该药品血液中药物浓度不低于5ug / mL，药效最好，求血液中药物浓度不低
于5ug / mL的持续时间为多少小时？
九年级数学试卷 第 4页 共 6 页
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21.（9 分）在《圆的对称性》一节，我们学习了“圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或
等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各
组量都分别相等”.
定义：从圆心到弦的距离叫做弦心距，弦心距也可以说成圆心到弦的垂线段的长度.如
图①,在eO中OC AB垂足为C，OC1 A1B1垂足为C1，OC和OC1都是弦心距.
实际上我们还可以得到“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”如下：在同圆或等圆中，
如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的
其余各组量都分别相等.
请直接运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解答下列问题：
如图②, O 是 BPD 的平分线上一点，以点 O 为圆心的圆与角的两边分别交于
A,B,C,D.
（1）求证： AB CD；
（2）若角的顶点 P在圆上或圆内，上述结论是否成立？若不成立，请说明理由；若成
立，请加以证明.
（一本 P51 素养练）
22.（10 分）如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成.长方形的长为16m，宽为6m，抛
物线的最高点 P离路面 BC的距离为8m.
（1）请在图中建立适当的平面直角坐标系；
（2）求该抛物线的函数表达式；
（3）如果该隧道内设双向行车道，一大型货运汽车装载某大型设备后，高为7m，宽
为 4m，那么这辆货车能否安全通过？为什么？
九年级数学试卷 第 5页 共 6 页
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23.（10 分）综合与实践
问题情景：如图①，一个扁平形状的池塘，该池塘南北走向的最大宽度 AB远大于东西
走向的最大宽度.
活动任务：测量池塘的最大宽度 AB .
工具准备：如图②，一把皮尺和一台测角仪.皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点
间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）；测角仪的功能是测量角的大小，
即在任意一点O处，对其视线可及的 E,F两点，可测得 EOF 的大小，如图③.
李老师带领数学社团的学生利用皮尺测量，求出了池塘的最大宽度 AB .
测量过程：
（ⅰ）在池塘外选点 P，如图④，测得 PA a m， PB b m；
a b
（ⅱ）分别在 PA，PB上测得 PC m， PD m；测得CD c m .
3 3
阅读材料内容，解答下列问题：
（1）请你帮他们求出池塘的最大宽度；
（2）你在求得 AB的过程中用到的几何知识是 ；
（3）李老师带领社团的学生仅利用皮尺，通过5次测量，求出 AB .小华认为，若利用
三角函数的知识，同时使用皮尺和测角仪，测量次数不超过 4次，就能求出 AB ,
请你帮助小华设计测量方案并画出图形.
要求：测量得到的长度用字母 a,b,cL表示，角度用 ， ， L表示.
九年级数学试卷 第 6页 共 6 页
{#{QQABDYYs4gi4gBQACI7qV0XkCggQsIITJaouhVCUuAYDQRFABAA=}#}中牟县2024—2025学年第一次质量监测试题
九年级数学 参考答案和评分细则
一、选择题（每小题3分，共30分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C C D B D B A C B
二、填空题（每小题3分，共15分）
题号 11 12 13 14 15
答案 菱形 ，
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16.解：（1）原式---------------------------------------（3分）
------------------------------------------（5分）
（2）∵
∴----------------------------（7分）
∴，--------------------------------------（9分）
∴-----------------------------------------------（10分）
17.（1）证明：∵，所以该方程是一元二次方程.
又 ----------------------------------（1分）
.-----------------------------（2分）
∵，--------------------------------------------（3分）
∴该方程总有两个实数根.-------------------------------------（4分）
（2）方程的一个根是，
∴，-----------------------------------（5分）
解得---------------------------------------------（6分）
方程即为
解得---------------------------------------------（8分）
方程的另一个根是---------------------------------------（9分）
18.解：矩形. -------------------------------------------------（2分）
（1）对角线相等的平行四边形是矩形.--------------------------（4分）
（2）已知，如图③, 在 中，是它的两条对角线，
求证： 是矩形.--------------------------------------（5分）
证明：∵四边形是平行四边形，
∴∥.
又∵，
∴≌.-------------------------------------------（6分）
∴ ------------------------------------------（7分）
∵∥,
∴
∴------------------------------（8分）
∴ 是矩形（矩形的定义）.-----------------------------（9分）
19.解：（1），；------------------------（2分）（2）在中，, ----------------（3分）
∴-----------------------（5分）
在中，,
∴----------------------（7分）
所以，夏至时日影的长度约是，冬至时日影的长度约是------（8分）
（3）-----------------------------------------------------（9分）
20.解：（1）当时，设函数的表达式为，
将代入得 解得.-----------------------------（1分）
∴直线的表达式为--------------------------------------（2分）
当时，设反比例函数的表达式为，
将代入得 解得-----------------------------（4分）
∴反比例函数的表达式是-------------------------------（5分）
因此，血液中药物浓度上升阶段的函数表达式为，下降阶段的函数表达式为--------------------------------（6分）
（2）当时，由得---------------------------------(7分 )
当时，由得-----------------------------------（8分）
因此, 血液中药物浓度不低于的持续时间为.-----------（9分）
21.（1）证明：如图②过点作于点，于点，---（1分）
又∵平分,
∴-------------------------------------------------（3分）
∴--------------------------------------------------（4分）
（2）结论仍然成立.--------------------------------------------（5分）
理由如下：如图③,当点在上时，由（1）知.-------（6分）
∴-----------------------------------------------（7分）
如图④,当点在内时，由（1）知.-----------------（8分）
∴-----------------------------------------------（9分）
22.解：（1）如图；-------------------------------（2分）
（2）设函数表达式为
根据题意，得点的坐标为，--（3分）
代入，得解得--------------（5分）
∴抛物线的函数表达式为-------------------------（6分）
（3）大货车可以安全通过. （没有结论后面解答完整得不扣分） （7分）
隧道内设双向行车道，所以汽车只能走一个车道，---------------（8分）
∴当时，---------------------（9分）
所以，这辆大货车能安全通过这个隧道.------------------------（10分）
解法2：（1）如图；--------------------------（2分）
（2）设函数表达式为，
根据题意，得点的坐标为，----（3分）
代入，得，
∴--------------------------------------------（5分）
∴二次函数表达式为-------------------------（6分）
（3）大货车可以安全通过. （没有结论后面解答完整得不扣分） （7分）
隧道内设双向行车道，所以汽车只能走一个车道，---------------（8分）
∴当时，
当时，
所以，这辆大货车能安全通过这个隧道.------------------------（10分）
23.解：（1）由测量知：，，，
∴---------------------------------------------（1分）
又∵
∴∽.-------------------------------------------（3分）
∴，-------------------------------（4分）
所以，池塘的最大宽度为.---------------------------------(5分)
（2）用到的几何知识是相似三角形的判定定理与性质定理.----------(7分)
（3）测量过程：（答案不唯一）
（ⅰ）如图⑤，在池塘外选点，用测角仪在点处测得，在点处测得；---------------------------------------（8分）
（ⅱ）用皮尺测得 .----------------------------------（9分）
图形完整，语言叙述规范得满分 (10分)中牟县2024—2025学年第一次质量监测试题
九年级 数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.如图，实数在数轴上表示如下，则最小的实数为
2.下列方程是一元二次方程的是
3.已知与成反比例，且当时，，则该函数的表达式是
4.榫卯是我国传统建筑及家具的基本构件．燕尾榫是“万榫之母”，为了防止受拉力时脱开，榫头成梯台形，形似燕尾，如图是燕尾榫正面的带头部分，它的主视图是
(
（第4题图）
)
5.的半径为，圆心的坐标为,点的坐标为，
则点与的位置关系是
点在内 点在上 点在外 点在上或外
6.若方程的两个根是和，那么二次函数的图象的对称轴是直线
7.已知，在中，，，，下列阴影部分的
三角形与不相似的是
8.“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由示意图获得，设井深为尺，所列方程正确的是
9.综合实践课上，李海画出,利用尺规作图找一点，使得四边形为平行四边形.图①～图③是他的作图过程.
李海的作法中，可直接判定四边形是平行四边形的条件是
两组对边分别平行 两组对边分别相等
对角线互相平分 一组对边平行且相等
10.如图，一段抛物线的图象记为，它与轴交于点和，将绕点旋转得，交轴于点；将绕点旋转得，交轴于点……如此进行下去，得到一“波浪线”，若点在此“波浪线”上，则的值是
二、填空题（每小题3分，共15分）
11.如果抛物线的开口向上，那么的取值范围是 .
12.下表是某种子实验室，记录的某种绿豆在相同条件下发芽实验的结果：
这种绿豆发芽的概率的估计值为 （精确到）.
13.太阳发出的光经过三棱镜折射后，可以形成红、橙、黄、绿、蓝、靛、紫等色光组成的光带，这是光的色散现象，说明太阳发出的白光是由不同色光组成的.自然界大部分彩色的光都可以通过红、绿、蓝三种颜色按照不同比例混合而成，所以这三种色光又被称为光的“三原色”.在一次数学课上，老师利用了光的三原色设计了一个“配紫色”游戏.如图所示，是一个可以自由转动的转盘，转盘被分成面积相等的三个扇形，分别对应红、绿、蓝三种颜色，转动转盘两次（如指针指向扇形分界线，则需要重新转动），恰好可以配成紫色的概率是 .
14.如图，将一张矩形纸片对折，然后沿着图中的虚线剪下，得到①，②两部分，将①展开后得到的平面图形是 .
15.如图，四边形中，，且⊥，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形，再顺次连接四边形各边的中点，得到四边形……如此进行下去，得到四边形，四边形的周长是 ，四边形的面积是 .
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16.（10分）（1）计算：；
（2）解方程：.
17.（9分）已知关于的方程.
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若方程的一个根是，求方程的另一个根.
18.（9分）如图①，一个平行四边形活动框架，如果拉动一对不相邻的顶点，平行四边形的形状会发生变化,随着的变化，两条对角线的长度也发生变化.如图②，当对角线的长度相等时，平行四边形是 （直接写四边形的形状）.
（1）由上面操作过程，你能得到一个怎样的猜想？
（2）证明你的猜想（先画出几何图形，再写出“已知”“求证”，最后写出证明过程）.
19.（9分）如图①，“土圭”是古人用来测量太阳影子的工具，“土圭之法”是中国古代判别四季的方法之一：夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数.某校学生运用“土圭之法”进行实践探索，在如图②中，产生日影的杆子垂直于地面，高.在夏至时，太阳光线与地平面的夹角是，杆子产生的日影为；在冬至时，太阳光线与地平面的夹角是,杆子产生的日影为.（参考数据，，，，，）
（1） ， ；
（2）分别求出夏至和冬至时日影的长度；
（3）春分时日影的长度是 .
20.（9分）某药品研究所开发一种抗菌新药，经过多年动物实验，首次用于临床人体实验,
测得成人服药后血液中药物浓度与服药时间之间的函数关系如图所示（当时，与成反比例）.
（1）根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段与之间的函数表达式；
（2）若该药品血液中药物浓度不低于，药效最好，求血液中药物浓度不低于的持续时间为多少小时？
21.（9分）在《圆的对称性》一节，我们学习了“圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或
等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等”.
定义：从圆心到弦的距离叫做弦心距，弦心距也可以说成圆心到弦的垂线段的长度.如图①,在中垂足为，垂足为，和都是弦心距.
实际上我们还可以得到“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”如下：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
请直接运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解答下列问题：
如图②,是的平分线上一点，以点为圆心的圆与角的两边分别交于
（1）求证：；
（2）若角的顶点在圆上或圆内，上述结论是否成立？若不成立，请说明理由；若成立，请加以证明.
（一本P51素养练）
22.（10分）如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成.长方形的长为，宽为，抛物线的最高点离路面的距离为
（1）请在图中建立适当的平面直角坐标系；
（2）求该抛物线的函数表达式；
（3）如果该隧道内设双向行车道，一大型货运汽车装载某大型设备后，高为，宽为，那么这辆货车能否安全通过？为什么？
23.（10分）综合与实践
问题情景：如图①，一个扁平形状的池塘，该池塘南北走向的最大宽度远大于东西走向的最大宽度.
活动任务：测量池塘的最大宽度.
工具准备：如图②，一把皮尺和一台测角仪.皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）；测角仪的功能是测量角的大小，即在任意一点处，对其视线可及的两点，可测得的大小，如图③.
李老师带领数学社团的学生利用皮尺测量，求出了池塘的最大宽度.
测量过程：
（ⅰ）在池塘外选点，如图④，测得，；
（ⅱ）分别在，上测得，；测得.
阅读材料内容，解答下列问题：
（1）请你帮他们求出池塘的最大宽度；
（2）你在求得的过程中用到的几何知识是 ；
（3）李老师带领社团的学生仅利用皮尺，通过次测量，求出.小华认为，若利用三角函数的知识，同时使用皮尺和测角仪，测量次数不超过次，就能求出,请你帮助小华设计测量方案并画出图形.
要求：测量得到的长度用字母表示，角度用表示.
