2024-2025 学年天津市南仓中学高一下学期 3 月月考数学试卷
一、单选题：本题共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设 ∈ ，向量 = ( , 1)， = (1, 2)，且 ⊥ ，则 + =( )
A. 5 B. 10 C. 2 5 D. 10
2.已知非零向量 ， 满足 = 2 2 3
，若 + ⊥ 3 2 ，则 与 的夹角为( )
A. 3 4 B. 2 C. 4 D.
3.△ 的内角 ， ， 1 的对边分别为 ， ， ，已知 sin sin = 4 sin ，cos = 4，则 =( )
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
4 .一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形 ，如图所示，∠ = 45 , = = 1, ⊥
，则原平面图形的面积为( )
A. 2 + 22 B. 1 +
2
2 C.
3 2
2 D. 2 2
1 5 .如图，在 中， = 3 =
2
，
3 ，若 = + ，则 =( )
A. 3 B. 22 3 C. 3 D.
1
3
6.已知 , 为不共线向量， = + 5 , = 2 + 8 , = 3 ，则( )
A. , , 三点共线 B. , , 三点共线 C. , , 三点共线 D. , , 三点共线
7.在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， .向量 = + , ， = , .若 // ，则角
的大小为( )
A. 6 B.
3 C.
2 D.
2
3
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8.如图为 2022 年北京冬奥会首钢滑雪大跳台示意图，为测量大跳台最高点 距地面的距离，小明同学在场
馆内的 点测得 的仰角为 30 ，∠ = 120 ，∠ = 30 ， = 60(单位： )，(点 , , 在同一水平
地面上)，则大跳台最高高度 =( )
A. 45 B. 45 2 C. 60 D. 60 3
9.如图所示， 为线段 0 2025外一点，若 0, 1, 2, 3, , 2025中任意相邻两点间的距离相等， 0 =
, 2025 = ，则用 , 表示 0 + 1 + 2+ + 2025，其结果为( )
A. 2025( + ) B. 2026( + ) C. 1012( + ) D. 1013( + )
二、填空题：本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
10.已知向量 = 1,3 ， = 1,1 ，则 在 方向上的投影向量为 ．
11.在 中，| | = 4, | | = 2, = 2 3，则 = ．
12.若 ， 是夹角为 60°的两个单位向量， + 与 3 + 2 垂直，则 = ．
13.设 3, 2 ， , 2 ，则 与 的夹角为钝角时， 的取值范围为 ．
14.已知 中， ， ， 分别是角 ， ， 的对边，且满足 cos = + cos ，则该三角形的形状是 ．
15.在平行四边形 中， = 2, = 3,2 = , = 1，则∠ = ；点 是线段 上
的一个动点，当 最小时， = ．
三、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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16.(本小题 12 分)
已知向量 与 ， = 1,0 ， = 2,1 ．
(1)求 2 ；
(2)设 ， 的夹角为 ，求 cos 的值；
(3)若向量 + 与 + 互相平行，求 的值．
17.(本小题 12 分)
在 ，角 , , 所对的边分别为 , , ，已知 sin : sin : sin = 2: 1: 2， = 2．
( )求 的值；
( )求 cos 的值；
( ) sin 2 求 6 的值．
18.(本小题 12 分)
cos 2cos 2
在 中，内角 , , 所对的边分别为 , , ，已知 cos = ．
(1) sin 求sin 的值；
(2) 1若 cos = 4 , = 2．
( )求 的面积；
( )求 sin 2 + 6 的值．
19.(本小题 12 分)
如图，在四边形 中，∠ = 60 ， = 3， = 6，
(1)求 的值；
(2)若 = , = 32 ,求实数 的值；
(3)在(2)的条件下，若 ， 是线段 上的动点，且 = 1,求 的最小值．
20.(本小题 12 分)
已知 内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 2 cos = cos + cos ．
(1)求角 ；
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(2)若 的外接圆半径 = 7， = 4，求 的面积；
(3)若 = 7， = 3，∠ 的平分线交边 于点 ，求 的长．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10. 2,2
11.±4
12.14/0.25
13.( 43 , 3) ∪ (3, + ∞)
14.直角三角形
15.2 /120° /23 ； 3 ； ； ；
1
； 2/0.5
16.【详解】(1)因为 = 1,0 ， = 2,1 ，
所以 2 = 4, 1 ；
(2)cos = = 2+0 = 2 5
1× 5 5
，
(3) + = 2,1 ， + = 1 2 , ，
由题意可得， 2 + 2 1 = 0，
整理可得， 2 1 = 0，
解可得， =± 1．
17.【详解】( )因为 sin : sin : sin = 2: 1: 2，由正弦定理可得 : : = 2: 1: 2，
∵ = 2，∴ = 2 2, = 2；
2 2 2
( )由余弦定理可得 cos = + 8+2 4 32 = 2×2 2× 2 = 4；
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( ) ∵ cos = 34，∴ sin = 1
2 = 74 ，
∴ sin2 = 2sin cos = 2 × 7 × 34 4 =
3 7 2 9
8 ，cos2 = 2 1 = 2 × 16 1 =
1
8，
sin 2 = sin2 cos cos2 sin = 3 7 × 3 1 1所以 6 6 6 8 2 8 × 2 =
3 21 1
16 ．
18.【详解】(1) 由正弦定理sin = sin =
sin
cos 2cos
cos =
2
=
2sin sin
sin ，
即 sin cos 2sin cos = 2sin cos sin cos ，
∴ sin + = 2sin + sin = 2sin ，
sin
所以sin = 2．
(2)( ) (1) sin 由 知 = sin = 2，即 = 2 ，又 = 2，
2+ 2 2
由余弦定理，得 cos = 2 ，
解得 = 1, = 2，
∈ 0, sin > 0，则 sin = 1 2 = 154 ，
∴ =
1 15
2 sin = 4 ．
( )sin2 = 2sin cos = 15 28 , cos2 = 2 1 =
7
8，
sin 2 + = sin2 cos + cos2 sin = 3 5 76 6 6 16 ．
19. (1) = cos120 = 3 × 6 × 1【详解】 2 = 9．
(2)因为 = ，
所以 // ，所以∠ = 120 ，
所以 = cos∠ = 3 32 = 2，
所以 = 1，又 = 6，
所以 = 16
，即 = 16．
(3)以 为 轴正方向，过 作 垂线为 轴，建立坐标系，如图所示，
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因为∠ = 60 , = 3，
3 , 3 3 5 3 3所以 2 2 ，则 2 , 2 ，
设 ( , 0)，则 ( + 1,0)，
因为 , 是线段 上的两个动点，
0 ≤ ≤ 6
所以 0 ≤ + 1 ≤ 6，解得 0 ≤ ≤ 5，
所以 = 5 3 32 , 2 ,
= 3 3 32 , 2 ，
所以 = 5 3 + 272 2 4 = ( 2)
2 + 132，
所以当 = 2 时， 13有最小值 2．
20.【详解】(1)由正弦定理及 2 cos = cos + cos ，
得 2sin cos = sin cos + sin cos = sin + = sin = sin ，
∵ ∈ 0, ，∴ sin ≠ 0，∴ cos = 12，
∵ ∈ 0, ，∴ = 3；
(2) = 2 sin = 2 7 × 3由正弦定理得： 2 = 21，
由余弦定理有： 2 = 2 + 2 2 cos ，
即 21 = 16 + 2 4 ，即 2 4 5 = 0，解得： = 5，
∴ = 12 sin =
1
2 × 4 × 5 ×
3
2 = 5 3，
∴ 的面积为 5 3；
(3) ∵ = cos = cos = × 12 = 3，∴ = 6，
由余弦定理： 2 = 2 + 2 2 cos = 2 + 2 = + 2 3 ，
即 7 = + 2 18，∴ + = 5，
∵ ∠ 的平分线交边 于点 ，
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∴ + = ，
∴ 1 1 12 × × × sin 6 + 2 × × × sin 6 = 2 sin ，
即 = 3 6 3 + = 5 ．
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