2024-2025学年山东省济南市商河弘德中学高一下学期第一次月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知为虚数单位，，其中，，则
A. B. C. D.
2.若在中，，且，，则的形状是( )
A. 正三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形
3.已知两个单位向量的夹角为，则下列说法正确的有( )在上的投影向量为
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
4.已知向量，且，则实数
A. B. C. D.
5.在中，，则这个三角形一定是( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形
6.在中，角的对边分别为，若，则等于( )
A. B. C. D.
7.如图，在山脚测得山顶的仰角为，沿坡角为的斜坡向上走到达处，在处测得山顶的仰角为，且，，，，在同一平面，则山的高度为参考数据：取( )
A. B. C. D.
8.设向量的夹角为，定义：若平面内不共线的两个非零向量满足：，与的夹角为，则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数其中是虚数单位，则下列命题中正确的为( )
A. B. 的虚部是
C. 是纯虚数 D. 在复平面上对应点在第四象限
10.在中，角所对的边分别为，以下结论中正确的有( )
A. 若，则；
B. 若，则一定为等腰三角形；
C. 若，则为直角三角形；
D. 若为锐角三角形，则．
11.已知梯形中，，，则下列结论正确的是( )
A.
B.
C. 若，则点在线段的反向延长线上
D. 若，则的面积是面积的倍
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知非零向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
13.的三边长分别为，，，则该三角形内切圆半径为
14.在中，内角，，的对边分别为，且，，，符合条件的三角形有两个，则实数的取值范围是
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
化简：
16.本小题分
在中，内角所对的边分别为，，，已知已知．
求角的大小；
若，，求的值；
若，判断的形状．
17.本小题分
已知的内角，，所对的边分别为，向量，，且，若，求的面积及边上的中线的长．
18.本小题分
半径为的圆内接，，为锐角．
求的大小；
若的平分线交于点，，，求的面积．
19.本小题分
平面几何中有如下结论：“三角形的角平分线分对边所成的两段之比等于角的两边之比，即”已知中，，，为角平分线．过点作直线交的延长线于不同两点，且满足，，
求的值，并说明理由；
若，求的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.【详解】原式
原式
16.【详解】在中，由及余弦定理得，而，
所以．
由，及，得，
所以．
由及，得，则，由知，
所以为正三角形．
17.【详解】因为，可得，
由正弦定理得，
又因为，可得，所以，即，
因为，所以．
由余弦定理得，即，
整理得，解得，
所以的面积，
又由，
18.【详解】由正弦定理，又角为锐角，所以．
为的平分线，，
设点到和的距离为，则，即，
，
又，
，则有，
或舍去，所以，
．
19.【详解】根据角平分线定理，所以，
因为，，
所以，
因为三点共线，所以，所以．
当且仅当时取等号，即，
所以的最小值为．
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