2024-2025 学年湖南省永州日升高级中学高一下学期 3 月份月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若 > 0，则下列说法正确的是( )
A. + 1 1 的最小值为 2 B. + +1的最小值为 1
C. 2 + 1 12 的最小值为 2 D. lg + lg 的最小值为 2
2.已知命题 ： 2 + 2 > 0，命题 ： 1 > 0，则 是 的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.若函数 ( ) = log 23( + 2 –1)有最大值 1，则实数 的值等于( )
A. 1 B. 1 C. 12 4 4 D. 4
4.若不等式( 1) 2 + + 2 ≥ 0 对 ∈ 恒成立，则 的取值范围为( )
A. 98 , + ∞ B. [1, + ∞) C. [2, + ∞) D.
5
4 , + ∞
5.先将函数 ( ) = 2sin 2 6 的周期变为原来的 2
倍，再将所得的图像向右平移6个单位，则所得图像的
函数解析式为( )．
A. = 2sin B. = 2sin 3
C. = 2sin4 D. = 2sin 4 6
6.定义域为 的函数 ( )满足：对任意的 1, 2 ∈ ，有( 1 2) ( ( 1) ( 2)) > 0，则有( )
A. ( 2) < (1) < (3) B. (1) < ( 2) < (3)
C. (3) < ( 2) < (1) D. (3) < (1) < ( 2)
7.已知 = 是定义在 上的偶函数，当 ≥ 0 时， = 图象如图所示，则下列关系正确的是( )
A. 1 > 2 > 3 B. 3 > 1 > 2
C. 1 > 3 > 2 D. 2 > 1 > 3
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8.在 中， = 60 + + ， = 1，其面积为 3，则sin +sin +sin 等于( )
A. 3 3 B. 26 3 C. 2 39 293 3 D. 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数 ( ) = | || |，则下列说法正确的是( )
A. ( ) 的图象关于直线 = 2对称 B. ( )的周期为2
C. ( ，0)是 ( ) 的一个对称中心 D. ( )在区间 4 , 2 上单调递增
10.已知 > 0, > 0，且 + = 1，则( )
A. 2 + 2 ≥ 1 B. 2 12 > 2
C. 2 + 2 ≥ 2 D. + ≤ 2
11 1.下列关于函数 ( ) = + 1 的叙述正确的是( )
A. ( )的定义域为 ≠ 0 ，值域为 ≥ 1
B.函数 ( )为偶函数
C.当 ∈ 1,0 时， ( )有最小值 2，但没有最大值
D.函数 ( ) = ( ) 2 + 1 有 1 个零点
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 1.已知函数 = sin 2 ( > 0)在(0, )上是增函数，则 的取值范围是 ．
13.若 ∈ 1,1, 12 , 3 ，则使函数 =
的定义域为 且图象关于原点成中心对称的所有 的值为 ．
14.函数 ( ) = 2 3 + 2的单调递增区间是 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
= 2已知集合 2 +3 ≤ 0 ，集合 = 1 ≤ ≤ 2 + 1 ，若 ，求 的取值范围．
16.(本小题 15 分)
已知向量 = (2,1), = ( ( ), 2 )
3 (1)若 = 4，求证： ⊥ ;
(2)若向量 , 共线，求 ．
17.(本小题 15 分)
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如图，四棱锥 ，底面 为矩形， ⊥面 ， 、 分别为 、 的中点．
(1)求证： //面 ；
(2)若 = 2， = = 1，求三棱锥 的体积．
18.(本小题 17 分)
在四边形 中， // ， = 3，∠ = 120°， = 3．
(1)求 的长；
(2)若∠ = 105°，求四边形 的面积．
19.(本小题 17 分)
水葫芦原产于巴西，1901 年作为观赏植物引入中国.现在南方一些水域水葫芦已泛滥成灾严重影响航道安全
和水生动物生长.某科研团队在某水域放入一定量水葫芦进行研究，发现其蔓延速度越来越快，经过 2 个月
其覆盖面积为 18 2，经过 3 个月其覆盖面积为 27 2.现水葫芦覆盖面积 (单位 2)与经过时间 ( ∈ )个
1
月的关系有两个函数模型 = ( > 0, > 1)与 = 2 + ( > 0)可供选择．
(参考数据： 2 ≈ 1.414, 3 ≈ 1.732, lg2 ≈ 0.3010, lg3 ≈ 0.4771)
(Ⅰ)试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；
(Ⅱ)求原先投放的水葫芦的面积并求约经过几个月该水域中水葫芦面积是当初投放的 1000 倍.
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.(0,1]
13.1，3
14. 2, + ∞ / 2, + ∞
15. 2 3【详解】解不等式2 +3 ≤ 0 得 2 < ≤ 2，
所以 = 32 < ≤ 2 ，
由 ， = 1 ≤ ≤ 2 + 1 ，可得
当集合 = 时， 1 > 2 + 1，解得 < 2；
1 ≤ 2 + 1
3 1
当集合 ≠ 时， 1 > 2 ，解得 2 < ≤
1
2．
2 + 1 ≤ 2
1 1
综上： ∈ ∞, 2 ∪ 2 , 2 ．
3 16.解：(1)当 = 4时， = ( ( ), 2 ) = ( , 2 ) = (
2
2 , 2)
又 = (2,1), = 2 × 22 + 1 × ( 2) = 0 ∴ ⊥
(2)因为向量 , 共线，∴ 2 × 2cos = 1 × sin = sin 即 sin = 4cos
当 cos = 0，则 sin = 0 与 2 + 2 = 1 矛盾，故舍去；
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cos ≠ 0 sin = 4cos tan = sin 当 时，由 得： cos = 4
2 2 2
又| | = 2( ) + 4 2 = 2 + 4 2 = +4 = +4 2 + 2 2 +1 =
20 = 2 8517 17
sin = 4cos
2 = 16
另解：由 得 17
2
2 + 2 + 1 1 所以| | = + 4
2 = 20 = 2 85
2 = 17 1717
17.【详解】(1)如下图所示，取 的中点 ，连接 、 ，
因为四边形 为矩形，则 // 且 = ，
∵ 、 分别为 、 的中点，则 // 1且 = 2 ，
∵ 为 的中点，所以， // 且 = ，所以，四边形 为平行四边形，
所以， // ，
∵ 平面 ， 平面 ，∴ //平面 ；
(2)如下图所示，连接 ，取 的中点 ，连接 ，
∵ 为 的中点，所以，点 、 到平面 的距离相等，
所以， = = ，
∵ 1 1、 分别为 、 的中点，则 // 且 = 2 = 2，
∵ ⊥平面 ，∴ ⊥平面 ，
1 1的面积为 △ = 2 = 2 × 2 ×
1 1
2 = 2，
因此， =
1 1 1
= = 3 △ = 3 × 2 ×
1 1
2 = 12．
18.【详解】(1) ∵在△ 中， = 3，∠ = 120°， = 3，
∴ cos 120° = 3+
2 9
由余弦定理得 2× 3 ，解得 = 3( = 2 3舍去)，
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∴ 的长为 3．
(2) ∵ // ，∠ = 120°， = 3， = = 3，∠ = 105°，
∴ ∠ = 30°，∠ = 45°，
∴ 3由正弦定理得 = = ，
sin45 sin30 sin105
= 3 3 3 = 3 6 3 2解得 ， 2 ．
如图
过点 作 ⊥ ，交 于点 ，过点 作 ⊥ ，交 于点 ，
1 3
则 = 2 = 2 ， =
1 = 3 3 32 2 ，
∴四边形 的面积
= △ + △ =
1
2 ·( + ) =
1
2 × 3 × (
3 3 3 3 12 3 9
2 + 2 ) = 4 ．
1
19.【详解】(Ⅰ) ∵ = ( > 0, > 1)的增长速度越来越快， = 2 + ( > 0)的增长速度越来越
慢．∴ 依题意应选函数 = ( > 0, > 1)
2 = 3 3
则有 = 183 ， 解得 2 ∴ = 8 ∈ , = 27 = 8 2
(Ⅱ)当 = 0 时， = 8
该经过 个月该水域中水葫芦面积是当初投放的 1000 倍.有
8 32 = 8 × 1000
∴ = 1000 = lg10003 3 =
3
2 lg lg3 lg2
≈ 17.03
2
答：原先投放的水葫芦的面积为 8 2，约经过 17 个月该水域中水葫芦面积是当初投放的 1000 倍.
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