2024-2025 学年四川省成都实验外国语学校高一（下）第一次段考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 4.3 是( )
A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角
2.正方形 的边长为 1，则| + |为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 2 2
3.“ = “是“ = ”成立的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
4.向量 + + + 化简后等于( )
A. B. C. D.
5 .已知扇形的半径为 2，圆心角为3，则该扇形的面积为( )
A. 2 4 5 3 B. 3 C. 3 D. 3
6.在梯形 中，设 = ， = ，若 = 2 ，则 =( )
A. 1 + 2 B.
1
2 +
C. + 1 2 D.
1
2
7 sin( ) = 3.已知 是第一象限角，且 7 5，则 cos( +
5
14 ) =( )
A. 4 B. 45 5 C.
3
5 D.
3
5
8.已知函数 ( ) = 的图象的一部分如图 1 所示，则图 2 中的函数图象对应的函数解析式为( )
A. = (2 + 1) B. = (2 + 1 2 ) C. = ( 2 + 1) D. = (
1
2 + 2 )
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.下列说法正确的是( )
A.零向量是没有方向的向量 B.零向量的长度为 0
C.相等向量的方向相同 D.同向的两个向量可以比较大小
10.已知函数 ( ) = cos4 sin4 ，则下列结论正确的是( )
A. ( )的最小正周期为
B. ( ) 的对称中心为( + 2 , 0), ( ∈ )
C. ( ) 的对称轴为直线 = 2 , ( ∈ )
D. ( ) 的单调递增区间为[ 2 , ], ( ∈ )
11.如图所示，已知角 ， (0 < < < 2 )的始边为 轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为 ， ，
+
为线段 的中点，点 (cos + 坐标为 , sin + )，记 ( , ) = | | + cos( ) 2 2 cos ，则( )2
A. + =
B.若| + | = 3，则∠ = 3
C.点 的坐标为(cos + 2 cos
2 , sin
+
2 cos
2 )
D.若 ( , ) = 0 ，则 + = 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知 = 2，则 =______．
13.密位广泛用于航海和军事，我国采取的“密位制”是 6000 密位制，即将一个圆周分成 6000 等份，每
一等份是一个密位，那么 60 密位等于______ ．
14.在四边形 中， = 2 ，点 是四边形 所在平面上一点，满足 + 2 + 7 + + 8 =
| 0
|
，点 为线段 的中点，则 = ______．| |
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知向量 , 不共线，且 = 2 , = 3 + , = + ．
(1)若 // ，求 的值；
(2)若 = 3，求证： ， ， 三点共线．
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16.(本小题 15 分)
已知 ∈ (0, )，且 + = 15．
(1)求 的值；
(2) 1+ 2 2 求 1+tan 的值．
17.(本小题 15 分)
一艘船从码头 出发，计划向正北方向直线航行到对岸的 点， 距离为 100 公里.船在静水中的航速为 50
公里/小时，但河流以 25 公里/小时的速度持续向东流动．
(1)若船头始终指向正北方向，求船到达对岸时实际停靠点与 点的偏离距离；
(2)若船需要准确到达正北方向的 点，求船头应调整的方向(即船头方向与正北方向的夹角 )，以及到达
点所需时间．
18.(本小题 17 分)
( ) = ( + )( > 0, > 0,0 < < 已知函数 2 )的部分图象如图， 是图象的最高点， 为图象与
1
轴的交点， 为原点，且 点坐标为( 2 , 1)，|
| = 2．
(1)求函数 = ( )的解析式；
(2)将函数 = ( )图象向右平移 1 个单位后得到函数 = ( )的图象，当 ∈ [0,2]时，求函数 ( ) = ( )
( )的最大值．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = sin(2 + 3 )( > 0)，若 ( )的最小正周期为 ．
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(1)求 ( )的解析式；
(2) 若函数 ( ) = 2( ) ( ) + 4在[ 6 , 4 ]上有三个不同零点 1， 2， 3，且 1 < 2 < 3．
①求实数 的取值范围；
②求 2 1 + 2 > 4，求实数 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.25
13. 50
14.59
15.解：向量 , 不共线，且 = 2 , = 3 + , = + ．
(1)若 // ，则 = ，即 2 = ( + )，
2 =
可得 1 = ，解得 = 2， =
1
2，
1
所以 = 2．
(2)若 = 3，则 = 3 ，
所以 = = ( 3 ) (2 ) = 2 ， = = ( 3 ) (3 + ) = 2 4 ，
所以 = 2 ，则 ， ， 三点共线．
16.解：(1)由 + = 1 245，两边平方并化简得 2 = 25 < 0，
又∵ ∈ (0, )，
∴ sin > 0，cos < 0，
∴ > 0，
∴ = ( )2 = 1 + 2425 =
7
5；
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(2) 1+ 2 2 = 2 +2
2 = 2 ( + )1+tan sin sin +cos = 2 =
24
1+ 25
．
cos
17.解：(1)若船头始终指向正北方向，则船的实际速度是静水速度与水流速度的矢量和，
100
过河时间为 50 = 2 小时，
由于河流以 25 公里/小时的速度持续向东流动，
所以船到达对岸时实际停靠点与 点的偏离距离为 25 × 2 = 50 公里．
(2) 1若船头方向与正北方向的夹角为 ，则 50 = 25，即 = 2，
∈ [0, ] = 而 2 ，所以 6，即船头方向与正北方向的夹角为6，
3
此时 50 = 50 × 2 = 25 3，即船的实际速度是 25 3公里/小时，
100 4 3所以到达 点所需时间为25 3 = 3 小时．
18.解：(1) ∵ 1点坐标为( 2 , 1)，| | = 2，
∴ = 1 2 1， = = 4(2 2 ) = 6，
则 = 3，则 ( ) = sin( 3 + )，
1
由 ( 2 ) = sin( 6 + ) = 1，
由 0 < < 2得6 + = 2，
得 = 3，
得 ( ) = sin( 3 + 3 ).
(2)将函数 = ( ) 图象向右平移 1 个单位后得到函数 = ( )的图象，则 ( ) = sin 3 ，
则 ( ) = ( ) ( ) = sin( 3 +
3 )sin
= 1 sin2 3 2 3 +
3 sin 2 3 3
1 cos2
= 3
3 2 1
4 + 4 sin 3 = 2 sin(
2 1
3 6 ) + 4
∈ [0,2] 2 时， 3 6 ∈ [
6 ,
7
6 ]，
∴ 2 当 3
6 =
3
2，即 = 1 时，函数取得最大值此时 ( )的最大值为4．
19. 3解：(1) ( ) = 2 2 +
1
2 2 = sin(2 +
3 )，
因为 ( ) 2 的最小正周期为 ，所以2 = ，即 = 1，
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所以 ( ) = sin(2 + 3 )．
(2)①由(1)知 ( ) = sin2(2 + 3 ) (2 + 3 ) +
4，
由 6 ≤ ≤
5
4，可得 0 ≤ 2 + 3 ≤ 6，
令 = sin(2 + 3 )，则 ( ) =
2 + 4，0 ≤ ≤ 1，
若函数 ( ) = sin2(2 + 3 ) (2 + 3 ) + 4在[
, 6 4 ]有三个零点，
sin2(2 + ) (2 + ) + 即 3 3 4 = 0 [
在 6 , 4 ]有三个不相等的实数根，
1 1
也就是关于 的方程 2 + 4 = 0 在区间[0, 2 )有一个实根，另一个实根在[ 2 , 1)上，
1 1 1
或一个实根是 1，另一个实根在[ 2 , 1)，当一个根在(0, 2 )，另一个实根在( 2 , 1)，
(0) > 0 4 > 0
( 1 ) < 0 1 + 4所以 2 ，即 4 2 4 < 0，解得：1 < < 3，
(1) > 0 1 + 4 > 0
当一个根为 0 时，即4 = 0，所以 = 0，此时方程为
2 = 0，所以 = 0，不合题意；
1 1 1
当一个根是2，即4 2 + 4 = 0，解得 = 1，
此时方程为 2 + 14 = 0，所以 =
1
2，不合题意；
1
当一个根是 1，另一个实根在( 2 , 1)，
1 + = 0 4 4 1由 4 得 = 3，此时方程为
2 3 + 3 = 0，解得 = 1
1
或 = 3，
( 1 4这两个根都不属于 2 , 1)，不合题意，综上 的取值范围是(1, 3 )．
1 + 2 =
②设 1， 2为方程 2 + 4 = 0 的两个不相等的实数根，则 1 2 =
，
4
由①知， 1 < 2， 1 = sin(2 +
) ∈ (0, 1 1 3 2 )，所以 2 1 + 3 ∈ (0, 6 )，
∈ ( , ) = sin(2 + 即 1 6 12 ， 2 2 3 ) ∈ (
1
2 , 1)，
所以 2 + 2 3 ∈ (
6 ,
2 )，即 2 ∈ (
12 , 12 )，
由 2 + > 1 2 4得 2 1 > 4 2，所以 2 1 + 3 > 4 2 + 3 = 12 2，
因为 2 + 1 3 ∈ (0,
) 6 ，12
2 ∈ (0, 6 )，
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所以 sin(2 1 + 3 ) > sin(
12 2)，
sin2(2 + ) > sin2(
1 cos( 2 2) 1 sin(2 + )
所以 1 3 12 2) =
6
2 =
2 3
2 ，
所以 2 21 > 1 2，
2
1 + 2 = 1 =
又 = ，且 1 < 2，所以
2 ，
1 2 4 2 2 =
+
2
2(
2
所以 )2
2
> 1 + ，整理得( 1)(8 22 2 5 4) > 0，
因为 1 > 0，所以 8 2 5 4 > 0，
< 5 153解得 16 或 >
5+ 153
16 ，
4 5+ 153 4
又 1 < < 3，所以 ∈ ( 16 , 3 )．
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