2025年甘肃省武威第二十中学九年级数学人教版中考模拟试卷2
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）如图，将ΔABC绕点顺时针方向旋转得ΔA’BC’，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．（本题3分）在平面直角坐标系中点，点M关于原点的对称点记作N，连接，则线段的长是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
3．（本题3分）如图，二次函数的图象与轴的一个交点的横坐标为，则关于的一元二次方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．（本题3分）在平面直角坐标系中，二次函数(为常数) 的图象经过点，且，则的值是（ ）
A．1 或 3 B．或 3 C．3 D．
5．（本题3分）在同一平面直角坐标系中，若，则函数与的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
6．（本题3分）已知式子成立，则k的值是（ ）
A．-1 B．2 C．-1或2 D．无法确定
7．（本题3分）如图，将正方形纸片沿折叠，使点的对称点落在边上，点的对称点为点，交于点，连接交于点，连接．下列四个结论中：①；②；③平分；④，正确的是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（本题3分）2月15日，泌阳县某地民俗文化盛会一活动现场设有一个幸运箱，里面放有代表王店大装、盘古神话、泌阳烙画三种非遗文化特色小礼品的道具，每位参与者从中随机抽取一次，放回打乱后，再从中随机抽取一次，两次都抽中同一特色小礼品道具的可领取对应礼品，则参与者能够领取礼品的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．（本题3分）已知抛物线与直线的交点横坐标分别是和1，抛物线与轴的其中一个交点的横坐标满足，那么的取值可能是（ ）
A． B．1 C．2 D．
10．（本题3分）高铁沙坪坝站双子塔为国内首例在高铁站上实施商业开发的综合体．如图，小南在与塔底同一高度的地面处测得塔顶的仰角为．接下来，他沿一条坡比为1:2.4的斜坡行进了156米后，在处测得塔顶的仰角为，点在同一平面内，则小南测得的双子塔的高度约为（ ）米．（参考数据：，，）
A．193 B．196 C．201 D．206
二、填空题（共24分）
11．（本题3分）如图，在等腰中，，，点E以每秒1个单位从点A移到点B，点F以每秒1个单位从点D移到点A，则四边形面积的最小值为 ．
12．（本题3分）如图，在ΔABC中，分别交、于点、，交于点，，，则的长为 ．
13．（本题3分）如图，ΔABC内接于，，直线与相切，点为切点，为半径，若，则等于 ．
14．（本题3分）如图，过点且平行于轴的直线与二次函数图象的交点坐标为，，则不等式的解集为 ．
15．（本题3分）如图，O为坐标原点，点在y轴的正半轴上，点在函数位于第一象限的图象上，若，，，…，都是等边三角形，则线段的长是 ．
16．（本题3分）如图，已知点、分别在反比例函数与图象上，且，若，则ΔAOB的面积为 ．
17．（本题3分）如图，在轴上方，直线与和的图象分别交于、两点，交轴于点，且，连接、，若ΔAOB的面积为5，则 ．
18．（本题3分）晋剧，作为山西的传统戏曲形式，承载着丰富的历史与文化底蕴．如图所示的两张图片正面印有晋剧经典剧目人物，它们除正面外完全相同，现将两张图片从中间剪断，再把得到的四张形状相同的小图片混合在一起，随机抽取两张小图片，则恰好合成一张完整图片的概率是 ．
三、解答题（共66分）
19．（本题8分）（1）计算：
（2）计算：
20．（本题6分）如图，A、P、B、C是⊙O上的四点，，与交于Q点．
(1)判断ΔABC的形状，并证明你的结论；
(2)求证：；
(3)若，ΔABC的面积为，求的长．
21．（本题6分）已知、是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点．
(1)求此反比例函数和一次函数的解析式；
(2)连接，，求ΔAOB的面积．
22．（本题6分）如图，在矩形ABCD中，点F在BC边上，且AF＝AD，过点D作DE⊥AF，垂足为点E.
(1)求证：DE＝AB；
(2)以A为圆心，AB长为半径作弧交AF于点G，若AD＝，tan∠ADE＝，求阴影部分的面积．(结果保留π)
23．（本题6分）如图，在一座山的前方有一栋住宅，已知山高m，楼高m，某天上午9时太阳光线从山顶点处照射到住宅的点外．在点处测得点的俯角，上午10时太阳光线从山顶点处照射到住宅点处，在点处测得点的俯角，已知每层楼的高度为3m，m，问：以当天测量数据为依据，不考虑季节天气变化，至少要买该住宅的第几层楼，才能使上午10时太阳光线照射到该层楼的外墙？（）
24．（本题8分）某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000平方米，施工队绿化了22000平方米后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程．
(1)该项绿化工程原计划每天完成多少平方米？
(2)该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），求人行通道的宽度是多少米？
25．（本题8分）如图，已知抛物线经过点，，三点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点M是线段上的点（不与B，C重合），过M作轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示的长；
(3)在（2）的条件下，连接，，是否存在点M，使的面积最大？若存在，求出最大值及点M的坐标；若不存在，说明理由．
26．（本题8分）问题探究
（1）如图①，在四边形中，，，点E是的中点，连接，过点E作交于点，求证：；
问题解决
（2）为提高市民生活质量，某市拟建一个如图②所示的四边形湿地公园，计划在点O处建一座全透明的玻璃观景塔（大小忽略不计），点O是四边形内一点，连接，区域建成观赏型林地，区域建成鸟类栖息地，其余区域建成游客休息区．过点O作于点M，延长交于点N，沿修一座浮桥，沿修建一条现发小径．根据规划已知ΔAOB与的面积之和为，请你求出观赏小径的长．
27．（本题10分）综合与实践
问题情境：
如图1，物理活动课上，同学们做了一个小球弹射实验．小球从斜坡点O处以一定的方向弹出，小球的飞行路线近似地看作是抛物线的一部分，小球刚好落到斜坡上的点A处．
建模分析：
如图2，以过点O的水平直线为x轴，过点O的铅垂直线为y轴，建立平面直角坐标系．分析图象得出，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的竖直高度y（米）的几组对应值如下表，且点A的坐标为．
x（米） 0 1 2 3
y（米） 0 2
问题解决：
(1)求小球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）的函数表达式；
(2)如图2，求小球在飞行过程中距坡面的最大铅垂高度；
(3)如图3，设小球在飞行过程中的动点为P（P不与O，A重合），连接，直接写出面积的最大值．
试卷第1页，共3页
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《2025年甘肃省武威第二十中学九年级数学人教版中考模拟试卷2》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C D C A C C B D B
11．
12．4
13．
14．或
15．
16．
17．
18．
19．解：（1）原式
；
（2）原式
．
20．（1）解：ΔABC是等边三角形．
证明：∵，，
∴，
∴ΔABC是等边三角形；
（2）证明：如图，过B作交于D，则，
又∵，
∴，
，
∵，
∴，
；
（3）解：设正ΔABC的高为h，则．
∵，
即，
解得，
连接，，，作于E，
由ΔABC是正三角形知，从而得，
∴；
由得，
于是，
∴，
如图，作等腰直角，在直角边上取点G，使，则
，
作，垂足为H．
设，则．
在中，
，，
∴，，
∴．
在图中，作于F，
∴．
解法二、连接，过点P作，交的延长线于点H，
同上可求，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴．
21．（1）解：把代入得，则，
则反比例函数的解析式是
把代入，
得
则的坐标是．
根据题意得：
解得
则一次函数的解析式是
（2）解：设与轴的交点是，则的坐标是．
则，
∵、
则，，
则；
22．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AFB，
∵DE⊥AF，
∴∠AED＝90°＝∠FBA，
在△ABF和△DEA中
，
∴△ABF≌△DEA（AAS），
∴DE＝AB；
（2）解：∵tan∠ADE＝，
∴∠ADE＝60°，
∵AD＝4，∠AED＝90°，
∴AE＝AD sin∠ADE＝4×＝6，DE＝2，
由（1）知，△ABF≌△DEA，
∴AB＝DE＝2，BF＝EA＝6，∠BAF＝∠EDA＝60°，
∴阴影部分的面积＝△ABF的面积﹣扇形ABG的面积
＝×2×6﹣
＝6﹣2π．
23．解：设FD=x，则ME=AB-EF-FD=120-40-x=80-x，
∵∠EAM=45°，MA⊥CM，
∴△EAM为等腰直角三角形，其三边之比为，
∴AM=ME=80-x，
∵∠FAM=60°，MA⊥MF，
∴△AMF为30°，60°，90°直角三角形，
∴，
又，
∴，
解得米，
∵每层楼的高度为3米，
∴，
答：至少要买该住宅的第9层楼，才能使上午10时太阳光线照射到该层楼的外墙．
24．（1）设该项绿化工程原计划每天完成x平方米，根据题意得：
，
解得：x=2000，
经检验，x=2000是原方程的解，
答：该绿化项目原计划每天完成2000平方米；
（2）设人行道的宽度为a米，根据题意得：
（20-3a）(8 2a)=56，
解得：a=2或a=（不合题意，舍去）．
答：人行道的宽为2米．
25．（1）解：∵抛物线经过点三点，
∴设抛物线的解析式为，
把代入得：，
∴，
∴抛物线的解析式：；
（2）解：设直线的解析式为：，
把代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
∴，
又∵轴，
∴，
∴；
（3）解：存在，
点
．
则
∵，
当时，最大，最大值为．
在中，
当时，
．
综上所述，存在点M，当，最大值为．
26．（1）证明：点E是的中点，
．
，
．
，即，
，
，
，
，即，
，即，
，
．
（2）解：延长到点G，使，连接，过点A作于点E，过点B作于点F，如图，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
同理可得，，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
观赏小径的长为．
27．（1）解：∵当和当时的函数值相同，
∴抛物线对称轴为直线，
∴抛物线的顶点坐标为，
设抛物线解析式为，
把代入中得，解得，
∴小球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）的函数表达式为；
（2）解：设直线解析式为，
把代入中得，解得，
∴直线解析式为，
设，则，
∴，
∵，
∴当，即时，有最大值，最大值为；
∴小球在飞行过程中距坡面的最大铅垂高度为米；
（3）解：如图所示，过点P作轴交于Q，
∴
，
∴当最大时，的面积最大，
由（2）可得的最大值为，
∴平方米．
答案第1页，共2页
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