广东省2025年中考数学模拟试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．下列各数中，绝对值最大的是（ ）
A． B． C． D．
2．剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．剪纸艺术起源于人民的社会生活蕴含了丰富的文化历史信息，表达了广大民众的社会认识、生活理想和审美情趣．下列剪纸图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．【热点素材】2024年12月27日，国家统计局、国务院发布了第五次全国经济普查结果，对2023年初步核算数进行了修订，修订后，2023年为万亿元．数据万亿元用科学记数法表示为（ ）
A．元 B．元
C．元 D．元
4．将一把直尺与一块含有角的直角三角板按如图方式放置，若，则为（ ）
A． B． C． D．
5．下列计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．生活中的很多变化都是物理变化或化学变化．下面的五张卡片除图片内容不同外，其他没有区别，放置于暗箱中摇匀．从中随机抽取两张卡片，卡片内容均为化学变化的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．若点在第二象限，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，，，经过A，C两点，的延长线交于点D．若，，则的半径是（ ）
A． B． C． D．
9．定义：若x，y满足，（m为常数），则称为“和谐点”．下列说法正确的是（ ）
①是“和谐点”；②直线上有且只有一个“和谐点”；③当时，反比例函数的图象上最多只有两个“和谐点”；④若二次函数的图象上有3个“和谐点”，则或．
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
10．如图1，在菱形中，，是菱形内部一点，动点从顶点出发，沿线段运动到点，再沿线段运动到顶点，停止运动．设点运动的路程为，，表示与的函数关系的图象如图2所示，则菱形的边长是（ ）
A． B．8 C． D．4
二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 3分，共 15 分.
11．在函数中，自变量的取值范围是 ．
12．若一个多边形的内角和比外角和多，则这个多边形的边数为 ．
13．设一元二次方程的两个根为，，则 ．
14．如图，在中，，点分别是的中点，若点在线段上，且，则的度数为
15．如图，在扇形中，，点为的三等分点，为．上一动点，连接．当的值最小时，图中阴影部分的面积为 （结果保留）
解答题（一）：本大题共3小题，每小题 7分，共21分.
16．（本题7分）计算：．
17．（本题7分）马鞍山长江公铁大桥是巢马城际铁路控制性工程，主桥采用主跨三塔钢桁梁斜拉桥，总长3248米，为世界上首座双主跨超千米的三塔斜拉桥，图1是正在建设中的边塔．如图2，为了测量边塔上的点到的高度，数学测绘社团在与塔底同一平面上选取两个测量点，，使得点，，在同一条直线上，测得点的仰角，，用米尺测得，之间的距离为160米，求的高．（参考数据：，，．，，．）
18．（本题7分）如图，在四边形中，，点E是的中点，且
(1)尺规作图：作的平分线，交于点F，连接（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）所作的图中，若，且，请判断形状，并说明理由．
三、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分.
19．（本题9分）近来，由于的横空出世，大语言模型成为人工智能领域的热门话题．有关人员开展了、两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息：抽取的对款聊天机器人的评分数据中“满意”的数据为84，86，86，87，88，89；抽取的对款聊天机器人的评分数据为65，68，69，81，84，85，86，87，87，88，88，94，95，96，96，96，98，98，99，100．
抽取的对、款聊天机器人的评分统计表
机器人 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比
88 96
88 88
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中________，________，________．
(2)根据以上数据，你认为哪款聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）．
(3)在此次测验中，有180人对款聊天机器人进行评分，240人对款聊天机器人进行评分，请估计此次测验中对聊天机器人不满意的人数．
20．（本题9分）健康中国，营养先行．每年的5月第三周是全民营养周，某校食堂在全民营养周到来之际，推出系列营养套餐，其中营养套餐的菜品如图所示．
(1)该套餐中的蛋白质和脂肪这两类营养素主要来自清蒸鱼块和滑炒鸡丁，每100克清蒸鱼块和滑炒鸡丁中的蛋白质和脂肪含量如下表所示．按配餐要求，每份套餐中清蒸鱼块和滑炒鸡丁两道菜品提供的蛋白质、脂肪量应分别为31.75克和22.7克，求每份该种套餐中清蒸鱼块和滑炒鸡丁两道菜各有多少克；
清蒸鱼块（每100克） 滑炒鸡丁（每100克）
蛋白质（克） 16 15
脂肪（克） 8 14
(2)按配餐要求，每份素炒时蔬中芹菜与西兰花共250克，已知每100克芹菜与每100克西兰花分别含有1.5克、2.5克的膳食纤维，若要使每份素炒时蔬中所含的膳食纤维不少于5克，则每份素炒时蔬中西兰花至少有多少克？
21．（本题9分）综合与实践
活动主题 扇面制作
活动情景 如图1，扇面字画是一种传统的中国艺术形式，它将字和绘画结合在扇面上，形成一种独特的艺术风格．为了迎接我市2025年传统民俗文化活动的到来，某班组织同学们开展扇面制作展示活动．如图2所示，扇面形状为扇环，已知，，．
活动小组 甲组 乙组
制作工具 直尺、三角板、量角器、圆规、剪刀
制作材料
【任务一】确定弦的长度．
如图2，请你求出 所对弦的长度．
【任务二】设计甲组扇面．
如图3，已知甲组的圆形卡纸直径为请运用表格中所给工具在中设计与图2相同的扇面，并标出相应数据．
【任务三】确定卡纸大小．
如图4，乙组利用矩形卡纸，恰好设计出与图2相同的扇面，求矩形卡纸的最小规格（即矩形的边长）．
解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分.
22．（本题13分）综合与探究
【问题情境】
在中，，数学活动课上，同学们将绕点A顺时针旋转到，连接，过点作于点．
【特例分析】
（1）如图1，若点与点A重合，判断线段和的数量关系，并说明理由；
【探究发现】
（2）如图2，若点在线段的延长线上，且时，判断线段与线段的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，若点在线段上，且时，设，请用含的代数式表示线段．
23．（本题14分）综合与实践．
【问题提出】某兴趣小组开展综合实践活动：在中，，D为上一点，．动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作等边．设点P的运动时间为t秒，的面积为S，探究S与t的关系．
【初步感知】（1）如图1，在点P由点C运动到点B的过程中，
①当时，_______；
②S关于t的函数解析式为（并写出自变量的取值范围）．
（2）当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段的长．
【延伸探究】（3）若存在3个时刻，，对应的三角形的面积均相等，解决下列问题：
①_______；
②当时，求等边的面积．
参考答案
1-10.
【答案】A
【答案】C
【答案】B
【答案】B
【答案】C
【答案】C
【答案】A
【答案】A
【答案】B
【答案】C
11.【答案】
12.【答案】8/八
13.【答案】3
14.【答案】/64度
15.【答案】
16.【答案】3
17.【答案】的高为210米．
18.（1）解：以点为圆心，任意长为半径画弧交于两点，再分别以两点为圆心，大于两点之间距离的一半为半径画弧，两弧交于一点，连接与两弧的交点即为的平分线，如下图所示：
；
（2）解：判断：等边三角形，理由如下：
∵的平分线，，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形．
19.（1）解：由题意得，，即，
，
把款的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数是 88，89 ，
故中位数，
在款的评分数据中， 96出现的次数最多，故众数；
故答案为：；
（2）解：款聊天机器人更受用户喜爱，
理由如下：
因为两款的评分数据的平均数相同，但款评分数据的中位数比款高，所以款聊天机器人更受用户喜爱（答案不唯一）．
（3）解：（名），
答：估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有54人．
20.（1）解：设每份该种套餐中清蒸鱼块有x克，滑炒鸡丁有y克，
根据题意，得
解得
答：每份该种套筤中清蒸鱼块有100克，滑炒鸡丁有105克；
（2）解：设每份素炒时蔬中西兰花有m克，
根据题意，得
解得
所以，m的最小值为125．
答：每份素炒时蔬中西兰花至少有125克．
21.任务一：解：过点O作，交于点，
，，
，
，
，，
，
任务二：如图，是以直径为底边，底角为度，由任务一可知，，取，以O为圆心，分别以、为半径画弧，即可得到扇面．
任务三：分两种情况：
①如图所示：当与矩形两边相切时，过点作，则矩形为最小规格矩形，
∵，，，
∴，，，
∵当与矩形两边相切，
∴最小规格矩形的边长为、；
②如图，当矩形的边与相切于点M，且A、B两点分别在上，C、D在上；连接交于点N，连接；
由题意知，，，
∴，
∴；
由勾股定理得，
∴；
同理：，
∴，
此时最小规格边长分别为；
综上，最小规格矩形边长为、或．
22.解：（1），理由如下：
∵，点与点A重合，
∴，
由旋转可知：，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
（2），理由如下：
∵，，
∴，
∴，
由旋转的性质可知：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）过点A作，垂足为E，如图所示：
由旋转可知：，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
设，则有，
∴，
∴，
∴，
∵，且，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
整理得：，
解得：（负根舍去），
∴．
23.解：（1）∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，
∴当时，点P在上，且，
∵，，
∴，
如图，过作于，为等边三角形，
∴，，，
∴，
∴；
②∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在匀速运动，
∴，
∵，，
∴，
∴；
∵此时最大面积为：，
∴，
解得：（舍去），
∴；
（2）由图象可得：二次函数的顶点坐标为：，
设二次函数为：，代入，
∴，
解得：，
∴二次函数为：；即；
当时，，
解得：，（舍去），
∴；
（3）①如图，存在3个时刻，，对应的三角形的面积均相等，
∴，
∵，
∴；
②∵的对称轴为直线：；
∴，
∵，，
∴，
∴.
