2024-2025学年第二学期浙江省杭州市八年级数学期末模拟试卷
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的．
1．（3分）下列几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．（笛卡尔爱心曲线） B．（蝴蝶曲线）
C．（费马螺线曲线） D．（科赫曲线）
2．（3分）将方程配方后，原方程变形为（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）对于反比例函数图象的叙述正确的是（ ）
A．关于原点成中心对称 B．关于x轴对称
C．y随x的增大而减大 D．y随x的增大而减小
4．（3分）关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+3x+k2﹣4＝0的常数项为0，则k的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C．2或﹣2 D．4或﹣2
5．（3分）小明为了解本班同学一周课外书的阅读量，随机抽取班上20名同学进行调查，调查结果如下表，那么这20名同学该周课外书阅读量的平均数是（ ）
阅读量（本/周） 0 1 2 3 4
人数 2 5 4 5 4
A．2本 B．2.2本 C．3本 D．3.2本
6．（3分）“古越龙山”酿酒公司由于注重对市场调研和新产品的研发，新研制的某款瓶装酒获得市场的认可，今年四月份销售了50万瓶，按市场供需趋势预计今年二季度可销售182万瓶．设该款酒的销售量今年五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A．50（1+x）2＝182 B．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182
C．50（1+2x）＝182 D．50+50（1+x）+50（1+2x）2＝182
7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形三个顶点坐标分别为，，，则顶点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
（3分）已知一元二次方程的一个正根和方程的一个正根相等，
若的另一个根为4，则的两个根分别为（ ）
A．，4 B．，1 C．，4 D．，1
（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴的负半轴上，
反比例函数的图象经过顶点，分别与对角线，边交于点，
连接，若点为的中点，的面积为，则值为（ ）
A． B． C． D．
（3分）如图，已知四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD交于点O，延长BC至点E，使得BE＝DE，
连结OE交CD于点F．当∠CED＝45°时，有以下两个结论：
①若CF＝1，则，②若BD＝2，则．
则下列判断正确的是（ ）
A．①②均错误 B．①②均正确
C．①错误②正确 D．①正确②错误
二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分．
11．（3分）要使二次根式有意义，则x的取值范围是 ．
12．（3分）已知是一元二次方程的一个解，则m的值是 ．
13．（3分）如表记录了甲、乙、丙、丁四位选手各10次射击成绩的数据信息．
选手 甲 乙 丙 丁
平均数（环） 9.6 9.8 9.8 9.7
方差（环2） 0.46 0.38 0.15 0.27
若要从上述四人中推荐一位选手参加比赛，则最合适的人选是 ．
（3分）杭州纸伞馆有制作精美的纸伞，如图，四条长度相等的伞骨围成菱形ABCD，
伞骨连接点A固定在伞柄AP顶端，伞圈C能沿着伞柄AP滑动．小聪通过测量发现：
当伞完全张开时，伞柄AP的中点O到伞骨连接点B，D的距离都等于AP的一半，
若夹角∠BAD＝2∠BOD，则∠BCD的度数是 ．
（3分）如图，直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与原点O重合，点E为x轴上一点，
连结AE，F为AE的中点，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过A，F两点，
若AD平分∠CAE，△ADE的面积为6，则k的值为 ．
（3分）如图1，在菱形中，对角线，相交于点E，动点P由点A出发，
沿A→B→C运动，设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数关系图象如图2，
则的长为 ．
三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（6分）计算：
(1)
(2)
18．（6分）．解方程：
(1)
(2)
（8分）6月5日是世界环境日，某校组织了一次环保知识竞赛，每班选25名同学参加比赛，
成绩分别为A、、、四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分，
学校将某年级的八（1）班和八（2）班的成绩整理并绘制成统计图：根据提供的信息解答下列问题：
班级 平均分 中位数 众数 方差
八（1）班 8.76 9 1.06
八（2）班 8.76 8 1.38
(1)把八（1）班竞赛成绩统计图补充完整；
(2)写出表中，的值；
(3)依据数据分析表，有同学认为八（2）班的成绩比八（1）班好，但也有同学认为八（1）班的成绩更好，请你写出一条支持八（1）班成绩更好的理由．
（8分）已知：如图，将矩形纸片的两个角分别沿，向内折起，
恰好使点A和点C落在对角线BD上同一点O处．
(1)判断四边形的形状，并说明理由；
(2)若，求四边形的面积．
21．（10分）如图，，是一次函数的图像和反比例函数的图像的两个交点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)根据图像直接写出不等式时的解集．
22．（10分）如图1，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BD＝2AB，点E，F，G分别为AO，DO，BC的中点，连结BE，EF，FG，EG，EG交BD于点M．
（1）求证：BE⊥AO．
（2）求证：四边形BEFG为平行四边形．
（3）如图2，当 ABCD为矩形时，若AB＝4，求四边形BEFG的面积．
23．（12分）综合与实践：
用硬纸板制作无盖纸盒
背景 在一次劳动课中，老师准备了一些长为，宽为的长方形硬纸板，准备利用每张纸板制作两个大小完全相等的无盖长方体纸盒（接头处忽略不计）．
素材 配方法是求解二次多项式最值的常用方法，比如：求的最大值，过程如下：∴当时，有最大值5．
方案1 甲活动小组将纸板均分为左右两块，每一块都在四个直角处裁掉四个边长为的正方形，再沿虚线折起来，其中一个纸盒的底面是正方形．
方案2 乙活动小组将纸板在四个直角处裁掉四个边长为的正方形，再在中间裁掉一块正方形，分别沿着虚线折起来，其中一个纸盒的底面是矩形．
任务1 在方案1中，制作的每个无盖纸盒的底面积为 （用含x的代数式表示），并判断底面积能否达到．
任务2 在方案2中，求制作无盖纸盒的底面边的长．
任务3 若利用两个方案制作的两种无盖纸盒高度相等，请比较两种纸盒体积的大小．
任务4 求方案2中制作的单个无盖纸盒体积的最大值．
（12分）问题情境：数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动
（每个小组的矩形纸片规格相同），已知矩形纸片宽．
动手实践：
如图1，A小组将矩形纸片折叠，点D落在边上的点E处，折痕为，
连接，然后将纸片展平，得到四边形． 试判断四边形的形状，并加以证明．
如图2，B小组将矩形纸片对折使与重合，展平后得到折痕，
再次过点A折叠使点D落在折痕上的点N处，得到折痕，连结，
展平后得到四边形，请求出四边形的面积．
深度探究：
如图 3，C小组将图1中的四边形剪去，然后在边上取点G，H，
将四边形沿折叠，使A点的对应点始终落在边上（点不与点D，F重合），
点E落在点处，与交于点T．
探究① 当在上运动时，的周长是否会变化？
如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值．
探究② 直接写出四边形面积的最小值．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2024-2025学年第二学期浙江省杭州市八年级数学期末模拟试卷解答
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的．
1．（3分）下列几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．（笛卡尔爱心曲线） B．（蝴蝶曲线）
C．（费马螺线曲线） D．（科赫曲线）
【答案】D
【分析】根据轴对称图形的概念（平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形）和中心对称图形的概念（在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形）求解．
【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，此选项不符合题意；
C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，此选项不符合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，此选项符合题意．
故选：D．
2．（3分）将方程配方后，原方程变形为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据配方法的步骤即可得出答案．
【详解】
．
故选：A．
3．（3分）对于反比例函数图象的叙述正确的是（ ）
A．关于原点成中心对称 B．关于x轴对称
C．y随x的增大而减大 D．y随x的增大而减小
【答案】A
【分析】根据反比例函数图象的性质判断即可．
【详解】解：反比例函数的图象关于原点中心对称，故选项A符合题意；
∵，∴它的图象在第一、三象限，
∴不关于x轴对称，故选项B不符合题意；
∵，
∴函数图象在每一象限内，y的值随x值的增大而减小，此选项C、D都不符合题意；
故选：A．
4．（3分）关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+3x+k2﹣4＝0的常数项为0，则k的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C．2或﹣2 D．4或﹣2
【分析】由一元二次方程的定义可得k﹣2±0，由题意又知k2﹣4＝0，联立不等式组，求解可得答案．
【解答】解：根据题意可得：
，
解得k＝﹣2．
故选：A．
5．（3分）小明为了解本班同学一周课外书的阅读量，随机抽取班上20名同学进行调查，调查结果如下表，那么这20名同学该周课外书阅读量的平均数是（ ）
阅读量（本/周） 0 1 2 3 4
人数 2 5 4 5 4
A．2本 B．2.2本 C．3本 D．3.2本
【答案】B
【分析】根据表格及平均数可直接进行求解．
【详解】解：由题意得：
这20名同学该周课外书阅读量的平均数为（本）；
故选：B．
6．（3分）“古越龙山”酿酒公司由于注重对市场调研和新产品的研发，新研制的某款瓶装酒获得市场的认可，今年四月份销售了50万瓶，按市场供需趋势预计今年二季度可销售182万瓶．设该款酒的销售量今年五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A．50（1+x）2＝182 B．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182
C．50（1+2x）＝182 D．50+50（1+x）+50（1+2x）2＝182
【答案】B
【分析】主要考查增长率问题，一般增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么可以用x分别表示五、六月份的销量，然后根据题意可得出方程．
【详解】解：依题意得五、六月份的销量产量为50（1+x）、50（1+x）2，
∴50+50（1+x）+50（1+x）2＝182．
故选：B．
7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形三个顶点坐标分别为，，，则顶点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质，掌握平行四边形的性质是本题的关键．
设点，由平行四边形的性质可得，，即可求解．
【详解】解：设点，
四边形是平行四边形，点，点，点，
，，
，，
点，
故选：C．
（3分）已知一元二次方程的一个正根和方程的一个正根相等，
若的另一个根为4，则的两个根分别为（ ）
A．，4 B．，1 C．，4 D．，1
【答案】D
【分析】此题考查了一元二次方程根的定义和根与系数关系，一元二次方程的一个正根和方程的一个正根相等，求出正根为1，的另一个根为4，利用根与系数关系得到，方程有一个正根为1，设另一个根为m，利用根与系数关系得到，即可求出另一个根为．
【详解】解：∵一元二次方程的一个正根和方程的一个正根相等，
∴，
解得，
∴正根为1，
∵的另一个根为4，
∴，
∴，
∵方程有一个正根为1，设另一个根为m，
∴则，
∴，
∴另一个根为，
∴的两个根分别为1，，
故选：D．
（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴的负半轴上，
反比例函数的图象经过顶点，分别与对角线，边交于点，
连接，若点为的中点，的面积为，则值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，矩形的性质，首先设，表示出，再根据都在双曲线上，依次表示出坐标，再由，转化为，列出等式即可求解，根据中点坐标公式表示出各点坐标是解题的关键．
【详解】解：设，
∵矩形，
∴，
∵为的中点，
∴也为的中点，
∵点在轴上，
∴的纵坐标为，
∴，
∵为的中点，
∴点，
∴点，
∵的面积为，，
∴，
∴，
解得，
故选：．
（3分）如图，已知四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD交于点O，延长BC至点E，使得BE＝DE，
连结OE交CD于点F．当∠CED＝45°时，有以下两个结论：
①若CF＝1，则，②若BD＝2，则．
则下列判断正确的是（ ）
A．①②均错误 B．①②均正确
C．①错误②正确 D．①正确②错误
【分析】根据已知可得△DCE为等腰直角三角形，OE⊥BD，①若CF＝1，设DF＝x，则CD＝CE＝x+1，，，证明△DCB≌△ECF得到BC＝CF＝1，解方程可求得 ，故结论①正确；②若BD＝2，则 OD＝OB＝1．设OE＝a，则 ，，，在Rt△BCD 中，利用勾股定理得BC2+CD2＝BD2，然后解方程可得 ，故结论②正确．
【解答】解：①∵四边形ABCD是矩形，
∴OB＝OD，∠BCD＝90°∠DCE＝180°﹣∠BCD＝90°，
∵∠CED＝45°，
∴△DCE为等腰直角三角形，CD＝CE，
∵BE＝DE，OB＝OD，根据等腰三角形三线合一，
∴OE⊥BD，若CF＝1，设DF＝x，则CD＝CF+DF＝x+1，
∴CE＝CD＝x+1，
∴，
∴，
∵∠DBC+∠FEC＝90°，∠EFC+∠FEC＝90°，
∴∠DBC＝∠EFC，
∴，
∴△DCB≌△ECF，
∴BC＝CF＝1，
∴，
解得，即，
故结论①正确；
若BD＝2，则OD＝OB＝1．
设OE＝a，则 ，
∴，
，
在Rt△BCD中，BC2+CD2＝BD2，
∴
解得，
∴，
故结论②正确；
综上所述，结论①②正确．
故选：B．
二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分．
11．（3分）要使二次根式有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】x≥2．
【分析】根据被开方数大于等于0列不等式求解即可．
【详解】解：由题意得，x﹣2≥0，
解得x≥2．
故答案为：x≥2．
12．（3分）已知是一元二次方程的一个解，则m的值是 ．
【答案】2
【分析】本题考查了一元二次方程的解，解决本题的关键是将的值准确代入方程进行计算．
根据一元二次方程的解即可求出的值．
【详解】解：因为是一元二次方程的一个解，
所以，
解得：．
故答案为：2．
13．（3分）如表记录了甲、乙、丙、丁四位选手各10次射击成绩的数据信息．
选手 甲 乙 丙 丁
平均数（环） 9.6 9.8 9.8 9.7
方差（环2） 0.46 0.38 0.15 0.27
若要从上述四人中推荐一位选手参加比赛，则最合适的人选是 ．
【分析】先比较平均数得到乙和丙成绩较好，然后比较方差得到丙的状态稳定，于是可决定选丙去参赛．
【解答】解：∵乙、丙的平均数比甲、丁大，
∴应从乙和丙中选，
∵丙的方差比乙的小，
∴丙的成绩较好且状态稳定，应选的是丙．
故答案为：丙．
（3分）杭州纸伞馆有制作精美的纸伞，如图，四条长度相等的伞骨围成菱形ABCD，
伞骨连接点A固定在伞柄AP顶端，伞圈C能沿着伞柄AP滑动．小聪通过测量发现：
当伞完全张开时，伞柄AP的中点O到伞骨连接点B，D的距离都等于AP的一半，
若夹角∠BAD＝2∠BOD，则∠BCD的度数是 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BCA＝∠DCA＝∠BCD，∠BAO＝∠DAO＝∠BAD，
∴∠BAD＝2∠BAO，∠BCD＝∠BAD，
∵∠BAD＝2∠BOD，
∴∠BAO＝∠BOD，
由题意知OA＝OB＝OC＝AP，
∴∠OAB＝∠OBA＝∠OAD＝∠ODA＝∠BOD，
∵∠OAB+∠OBA+∠OAD+∠ODA+∠BOD＝360°，
∴∠BAO＝72°，
∴∠BCD＝∠BAD＝2×72°＝144°．
故答案为：144°．
（3分）如图，直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与原点O重合，点E为x轴上一点，
连结AE，F为AE的中点，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过A，F两点，
若AD平分∠CAE，△ADE的面积为6，则k的值为 ．
【答案】4．
【分析】连接BD，OF，过点A作AN⊥OE于N，过点F作FM⊥OE于M．证明BD∥AE，推出S△ABE＝S△AOE＝6，推出S△EOF＝S△AOE＝3，可得S△FME＝S△EOF＝1，由此即可解决问题．
【详解】解：如图，连接BD，OF，过点A作AN⊥OE于N，过点F作FM⊥OE于M．
∵AN∥FM，AF＝FE，
∴MN＝ME，
∴FM＝AN，
∵A，F在反比例函数的图象上，
∴S△AON＝S△FOM＝k，
∴ ON AN＝ OM FM，
∴ON＝OM，
∴ON＝MN＝EM，
∴ME＝OE，
∴S△FME＝S△FOE，
∵AD平分∠OAE，
∴∠OAD＝∠EAD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA＝∠DAE，
∴AE∥BD，
∴S△ADE＝S△AOE，
∴S△AOE＝6，
∵AF＝EF，
∴S△EOF＝S△AOE＝3，
∴S△FME＝S△EOF＝1，
∴S△FOM＝S△FOE﹣S△FME＝3﹣1＝2＝k，
∴k＝4．
故答案为：4．
（3分）如图1，在菱形中，对角线，相交于点E，动点P由点A出发，
沿A→B→C运动，设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数关系图象如图2，
则的长为 ．
【答案】或4
【分析】分析图1与图2的对应关系可以得出，，，再由可求得；在直角三角形中，由面积关系式与勾股定理即可得出关于的二元二次方程组，可求解，即可得出．
【详解】因为菱形的各边相等且对角线互相垂直平分，
∴．
由图2知，点P由点A运动到点C时，，即，
∵，
∴．
由图2知，点P由点A运动到点B时，的面积最大，此时，
即：．
∴．即：．
在中，，
组成方程组，
解得：或．
当时，；当时，．
故的长为：或4．
三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（6分）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)2
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和乘法公式是解决问题的关键．
（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）先利用完全平方公式和平方差公式计算，然后合并即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
18．（6分）．解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)，
(2)，
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练地掌握各种解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）利用因式分解法求出方程的解即可；
（2）根据公式法解方程即可．
【详解】（1）解：
解得：，；
（2）
解：，
，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，．
（8分）6月5日是世界环境日，某校组织了一次环保知识竞赛，每班选25名同学参加比赛，
成绩分别为A、、、四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分，
学校将某年级的八（1）班和八（2）班的成绩整理并绘制成统计图：根据提供的信息解答下列问题：
班级 平均分 中位数 众数 方差
八（1）班 8.76 9 1.06
八（2）班 8.76 8 1.38
(1)把八（1）班竞赛成绩统计图补充完整；
(2)写出表中，的值；
(3)依据数据分析表，有同学认为八（2）班的成绩比八（1）班好，但也有同学认为八（1）班的成绩更好，请你写出一条支持八（1）班成绩更好的理由．
【答案】(1)见解析
(2)；
(3)见解析
【分析】（1）求出八（1）班C等级的人数，然后补全统计图即可；
（2）根据中位数的定义求出a，根据众数的定义求出b的值即可；
（3）根据表格中的中位数、众数、平均数和方差进行解答即可．
【详解】（1）解：八（1）班C等级的人数为：（人），补全条形统计图如图所示：
（2）解：将八（1）班25个同学的成绩从小到大进行排序，排在第13位的在B等级中，因此中位数；
八（2）班25个同学的成绩在A等级的人生最多，因此众数；
（3）解：根据表格中的数据可知，八（1）班25个同学的成绩的中位数比八（1）班25个同学的成绩的中位数大，且八（1）班25个同学的成绩的方差比八（1）班25个同学的成绩的方差要小，说明八（1）班25个同学的成绩较稳定，因此八（1）班成绩更好．
（8分）已知：如图，将矩形纸片的两个角分别沿，向内折起，
恰好使点A和点C落在对角线BD上同一点O处．
(1)判断四边形的形状，并说明理由；
(2)若，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）证明，得出，根据，证明四边形为平行四边形，证明，得出四边形为菱形；
（2）先证明，得出，根据直角三角形性质得出，根据勾股定理得出，求出，根据菱形性质得出，根据菱形面积求出．
【详解】（1）解：四边形为菱形；理由如下：
∵四边形为矩形，
∴，，，
根据折叠可知，，，，，
∴，，
∴B、O、D在同一直线上，E、O、F在同一直线上，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形为菱形；
（2）解：∵四边形为菱形，
∴，
根据折叠可知，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，负值舍去，
∵四边形为菱形，
∴，
∴．
21．（10分）如图，，是一次函数的图像和反比例函数的图像的两个交点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)根据图像直接写出不等式时的解集．
【答案】(1)
(2)6
(3)或
【分析】（1）先把代入求解反比例函数解析式，再求解A的坐标，再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可；
（2）先求解C的坐标，再利用，从而可得答案.
（3）由可得：一次函数的图象在反比例函数图象的下方，结合函数图象可得答案.
【详解】（1）解：把代入得：
所以反比例函数的解析式为：
把代入得
把代入得：
解得：
所以一次函数的解析式为：
（2）解：为
令 则 即
（3）解：由可得：
一次函数的图象在反比例函数图象的下方，
所以：或
22.（10分）如图1，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BD＝2AB，
点E，F，G分别为AO，DO，BC的中点，连结BE，EF，FG，EG，EG交BD于点M．
（1）求证：BE⊥AO．
（2）求证：四边形BEFG为平行四边形．
（3）如图2，当 ABCD为矩形时，若AB＝4，求四边形BEFG的面积．
【分析】（1）先证明BO＝AB，再根据点E为AO中点，得出BE⊥AO；
（2）证明EF∥BG，EF＝BG，即可得出四边形BEFG是平行四边形；
（3）求出EH＝3，BG＝，即可得出四边形BEFG的面积．
【解答】解：（1）∵ ABCD，
∴AC，BD互相平分，
∴BD＝2BO，
∵BD＝2AB，
∴BO＝AB，
∵点E为AO中点，
∴BE⊥AO；
（2）∵ ABCD，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵点E，F，G分别为AO，DO，BC的中点，
∴EF∥AD，EF＝，BG＝，
∴EF∥BG，EF＝BG，
∴四边形BEFG是平行四边形；
（3）过点E作EH⊥BC于点H，
∵矩形ABCD，
∴AB＝OA＝OB＝4，
∴BE＝，
∴EH＝3，
∵BD＝2AB＝，
∴EF＝BG＝，
∴四边形BEFG的面积＝BG×EH＝．
23．（12分）综合与实践：
用硬纸板制作无盖纸盒
背景 在一次劳动课中，老师准备了一些长为，宽为的长方形硬纸板，准备利用每张纸板制作两个大小完全相等的无盖长方体纸盒（接头处忽略不计）．
素材 配方法是求解二次多项式最值的常用方法，比如：求的最大值，过程如下：∴当时，有最大值5．
方案1 甲活动小组将纸板均分为左右两块，每一块都在四个直角处裁掉四个边长为的正方形，再沿虚线折起来，其中一个纸盒的底面是正方形．
方案2 乙活动小组将纸板在四个直角处裁掉四个边长为的正方形，再在中间裁掉一块正方形，分别沿着虚线折起来，其中一个纸盒的底面是矩形．
任务1 在方案1中，制作的每个无盖纸盒的底面积为 （用含x的代数式表示），并判断底面积能否达到．
任务2 在方案2中，求制作无盖纸盒的底面边的长．
任务3 若利用两个方案制作的两种无盖纸盒高度相等，请比较两种纸盒体积的大小．
任务4 求方案2中制作的单个无盖纸盒体积的最大值．
【答案】任务1：；能达到；
任务2：；
任务3：故当时，方案一的纸盒体积大；当时，方案一与方案二的纸盒体积一样大；当时，方案二的纸盒体积大；
任务4：
【分析】任务1：根据题意用含的代数式表示出，即可表示出底面的面积；
任务2：首先用的代数式表示出，根据中间的四边形为正方形可表示出；
任务3：因为两个方案制作的两种无盖纸盒高度相等，故底面积大的方案的纸盒的体积就大．因此比较两种方案种底盒的底面积即可，首先由任务1，2表示出两种方案纸盒的底面积，然后分三种情况进行比较即可得到答案；
任务4：首先表示出方案2中纸盒的体积为含的二次多项式，然后用配方法求二次多项式的最值即可．
【详解】解：任务1：根据题意得：
在方案1中，制作的每个无盖纸盒的底面积为，
故答案为：；
令，
解得：(不符合题意，舍去)，
则此时底面积能达到；
任务2：根据题意得：；
任务3：因为两个方案制作的两种无盖纸盒高度相等，故底面积大的方案的纸盒的体积就大；
由任务1可知：方案1的底面积为：；
由任务2可知：方案2的底面积为：；
根据题意知：，解得，
当时，解得，
当时，解得，
当时，解得；
故当时，方案一的纸盒体积大；
当时，方案一与方案二的纸盒体积一样大；
当时，方案二的纸盒体积大．
任务4：方案二中纸盒的体积为：；
当时，纸盒体积有最大值为．
（12分）问题情境：数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动
（每个小组的矩形纸片规格相同），已知矩形纸片宽．
动手实践：
如图1，A小组将矩形纸片折叠，点D落在边上的点E处，折痕为，
连接，然后将纸片展平，得到四边形． 试判断四边形的形状，并加以证明．
如图2，B小组将矩形纸片对折使与重合，展平后得到折痕，
再次过点A折叠使点D落在折痕上的点N处，得到折痕，连结，
展平后得到四边形，请求出四边形的面积．
深度探究：
如图 3，C小组将图1中的四边形剪去，然后在边上取点G，H，
将四边形沿折叠，使A点的对应点始终落在边上（点不与点D，F重合），
点E落在点处，与交于点T．
探究① 当在上运动时，的周长是否会变化？
如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值．
探究② 直接写出四边形面积的最小值．
【答案】（1）正方形，证明见解析；（2）；（3）①不变，定值是12；②
【分析】（1）证，得四边形是菱形，再由，即可得出结论；
（2）连接，由折叠的性质可得是等边三角形，，求出，由三角形面积公式可求出；
（3）①连接，，过点B作于点M，证明，由全等三角形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出答案；②过点H作，连接，设，，由勾股定理求出，由四边形面积公式可得出，由配方法可求出答案．
【详解】解：（1）四边形是正方形，理由如下：
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
由第一步折叠可知：，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
又∵，
∴四边形是正方形；
（2）连接，
由折叠得，
∴
∴
∴是等边三角形，
∴
∴
设则，
由勾股定理得，
∴
解得，（负值舍去）
∴
由折叠得，,
∴；
（3）①的周长不变，为定值12．理由如下：
如图，连接，，过点A作于点M，
由折叠可知，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵的周长，
∴的周长为12．
②过点H作，连接，设，，
在中，，
解得，
由折叠可知，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，四边形是正方形，
∴,
∴，
∴当时，S有最小值为．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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