2024-2025学年四川省达州市万源中学高二（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.数列，，，的一个通项公式是( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足，其中为虚数单位，则的实部是( )
A. B. C. D.
3.在等比数列中，若，则( )
A. B. C. D.
4.若是函数的导数，且，则( )
A. B. C. D.
5.若椭圆的动弦斜率为，则弦中点坐标可能是( )
A. B. C. D.
6.设是等比数列的前项和，若，，则( )
A. B. C. D.
7.函数的大致图象是( )
A. B.
C. D.
8.已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，若，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知圆锥曲线：，若三个数，，成等差数列，则的离心率为( )
A. B. C. D.
10.设函数，则( )
A. 当时，在上单调递增
B. 当时，在上单调递增
C. 当时，直线不是的切线
D. 对，点是的对称中心
11.已知动点在直线：上，动点在圆：上，过点作圆的两条切线，切点分别为、，则下列描述正确的有( )
A. 直线与圆相交 B. 的最小值为
C. 存在点，使得 D. 直线过定点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数在处有极大值，则 ．
13.若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是______．
14.若，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设函数．
当时，求的单调区间；
若在上的最大值为，求的值．
16.本小题分
已知等差数列的前项和为，公差，且，，，成等比数列．
Ⅰ求数列的通项公式；
Ⅱ设是首项为，公比为的等比数列，求数列的前项和．
17.本小题分
已知抛物线：的焦点是双曲线的一个焦点，且双曲线过点．
求双曲线的方程；
过点的直线与双曲线仅有个交点，求直线的斜率．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面底面，是边长为的正三角形，，分别是线段和上的点，．
试确定点的位置，使得平面，并证明；
若直线与平面所成角的正切值为，求平面与平面夹角的余弦值．
19.本小题分
设数列的前项和为，且，数列满足，数列满足，其中．
证明：为等差数列，求数列的通项公式；
求数列的前项和；
表示不超过实数的最大整数，求．
参考答案
1.
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10.
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14.
15.解：对函数求导得：，定义域为，
当时，，
当，即时，为增函数；当，时，为减函数．
所以的单调增区间为，单调减区间为．
函数．
因为，，所以，所以函数为单调增函数，为单调递增区间．
最大值在右端点取到．
则
所以．
16.解：Ⅰ依题意得
解得，
，
即．
Ⅱ，
．
17.解：：的焦点坐标为，
设双曲线：，
那么的焦点坐标为，，
那么，那么，
而，因此，
因此双曲线的方程为．
显然的斜率存在，否则与无交点；
设直线为，
联立那么，
因此，
若，解得，此时与仅有个交点；
若，那么根的判别式，解得．
综上所述，直线的斜率为或．
18.解：证明：取为三等分点，且，过作，
则，所以为平行四边形，所以，
又平面，平面，
所以平面；
由题意平面底面，平面底面，，
所以面，
所以直线与平面所成角的平面角为，
在中，由
设中点为，设中点为，分别以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
设平面的一个法向量为，
由，
取，可得，
易求平面的法向量，
设平面与平面夹角为，
则，
故平面与平面夹角的余弦值为．
19.解：证明：因为数列的前项和为，且，
当时，由，可得，
上述两个等式作差可得，所以，
可得，
当时，，则，
所以数列是以为首项，公差为的等差数列，
由等差数列的通项公式可得，
所以．
数列满足，由可得，，
因为，
所以，．
因为，
因为，
所以，
，
，
所以，
由表示不超过实数的最大整数，
可得．
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