2025年河北省初中学业水平模拟考试数学试卷
一、单选题
1．下列各数中,绝对值最大的是( )
A. B. C. D.3
2．中原熟,天下足.处于中原的河南一直是我国重要的粮食大省,最近几年粮食总产量更是连续突破1300亿斤,为保证国家粮食安全做出了突出贡献.数据“1300亿”用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
3．化简的结果是( )
A. B.0 C. D.
4．下列算式中，结果等于的是( )
A. B. C. D.
5．如图所示的两台天平保持平衡，已知每块巧克力的重量相等，且每个果冻的重量也相等，则每块巧克力和每个果冻的重量分别为( )
A.10g，40g B.15g，35g C.20g，30g D.30g，20g
6．在平面直角坐标系中，若直线不经过第一象限，则关于x的方程的实根的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.1或2
7．如图,是一款吸管杯的截面示意图,已知,吸管看作一条直线,若,则的度数为( )
A. B. C. D.
8．如图,平行于主光轴的光线和经过凸透镜的折射后,折射光线,交于主光轴EF上一点P.若,,则的度数是( )
A. B. C. D.
9．如图1,在中,,直线l经过点A且垂直于.现将直线l以的速度向右匀速平移,直至到达点B时停止运动,直线l与边交于点M,与边(或)交于点N.设直线l移动的时间是,的面积为.,若y关于x的函数图象如图2所示,则的周长为( )
A.7cm B.8cm C.9cm D.10cm
10．为了解“睡眠管理”落实情况,某初中学校随机调查50名学生每天平均睡眠时间(时间均保留整数),将样本数据绘制成统计图(如图),其中有两个数据被遮盖关于睡眠时间的统计量中,与被遮盖的数据无关的是( )
A.平均数 B.中位数 C.众数 D.方差
11．某小区的圆形花园中间有两条互相垂直的小路，园丁在花园中栽种了8棵桂花树，A，B两处桂花树的位置关于小路对称.在如图所示的平面直角坐标系内，若点A的坐标为，则点B的坐标为( )
A. B. C. D.
12．如图.抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C.下列说法：
①；
②抛物线的对称轴为直线；
③当时，；
④当时，y随x的增大而增大；
⑤（m为任意实数）.
其中正确的个数是( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题
13．2024年4月21日,安阳马拉松赛燃情开跑.为防止选手个人信息泄露,马拉松参赛选手随身穿戴的计时芯片会把选手参赛号码利用公式加密后上传.某选手参赛号码为1626,如果加密公式为选手参赛号码乘以n再加6,则利用公式加密后上传数据为______.
14．如图,点D,C,E在直线l上,点A,B在l的同侧,,若,,则的长为______.
15．如图,在平面直角坐标系中,点B在函数的图象上,点A在函数图象上,若,,则k的值为______.
16．如图,水池中心点O处竖直安装一水管,水管喷头喷出抛物线形水柱,喷头上下移动时,抛物线形水柱随之竖直上下平移,水柱落点与点O在同一水平面.安装师傅调试发现,喷头高时,水柱落点距O点；喷头高时,水柱落点距O点.那么喷头高_______________m时,水柱落点距O点.
三、解答题
17．已知算式“”.
(1)嘉嘉将数字“5”抄错了,所得结果为,则嘉嘉把“5”错写成了________；
(2)淇淇不小心把运算符号“×”错看成了“+”,求淇淇的计算结果比原题的正确结果大多少？
18．甲、乙两个长方形的边长如图所示(m为正整数),其面积分别为,.
(1)填空：______(用含m的代数式表示)；
(2)若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和,设该正方形的面积为,
①求；(用含m的代数式表示)
②试探究：与的差是否是常数？若是常数,求出这个常数,若不是常数,请说明理由.
19．一场家庭教育沙龙,主办方邀请9位家长参加活动,在场地安排了9把椅子(每个方格代表一把椅子,横为排,竖为列)按图示方式摆放,其中圆点表示已经有家长入座的椅子.
(1)如图1,已经有两位家长入座,又有一位家长随机入座,则这三把椅子刚好在同一直线上的概率为________；
(2)如图2,已经有四位家长入座四个位置,又有甲、乙两位家长随机入座,已知甲坐第一排,乙坐第二排,用列举法求甲、乙两人刚好坐在同一列上的概率；
(3)如图3,已经有四位家长入座四个位置,又有两名家长丙和丁随机入座,直接写出仅有三位家长坐在同一直线上的概率.
20．一棵高的大树倒在了高的墙上,大树的顶端正好落在墙的最高处,如果随着大树的顶端沿着墙面向下滑动,请回答下列各题.
(1)如果大树的顶端沿着墙面向下滑动了,那么大树的另一端点是否也左滑动了？说明理由.
(2)如果大树的顶端沿着墙面向下滑动了,那么大树的另一端点是否也左滑动了？说明理由.
21．河南是中华文明和黄河文化的发源地之一,其地域广阔,景色奇特.为了充分挖掘旅游资源,某景区准备购进一批印有当地风土人情的太阳帽和旅行包.已知购进4个太阳帽和3个旅行包需要61元,购进7个太阳帽和5个旅行包需要103元.
(1)求每个太阳帽、旅行包的进价；
(2)该景区太阳帽售价为6元,旅行包售价为20元.景区计划购进太阳帽和旅行包共700个,且购进太阳帽的数量不少于旅行包数量的1.5倍,景区该如何设计进货方案,可使销售所获利润最大？最大利润为多少？
22．如图1，在矩形中，点O在对角线上，以的长为半径的圆O与，分别交于点E，F，且.
(1)求证：；
(2)判断直线与的位置关系，并证明你的结论；
(3)如图2，若点E落在线段的垂直平分线上，，求的半径.
23．【建立模型】（1）如图1，点B是线段上的一点，，，，垂足分别为C，B，D，.求证：；
【类比迁移】（2）如图2，一次函数的图象与y轴交于点A、与x轴交于点B，将线段绕点B逆时针旋转得到、直线交x轴于点D.
①点C的坐标为______；
②求直线的解析式；
【拓展延伸】（3）如图3，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，已知点，连接，抛物线上是否存在点M，使得，若存在，直接写出点M的横坐标.
24．在矩形中,已知,连接,,点O是边上的一动点,的半径为定值r.
(1)如下图,当经过点C时,恰好与相切,求的半径r；
(2)如下图,点M是上的一动点,求三角形面积的最大值：
(3)若从B出发,沿BC方向以每秒一个单位长度向C点运动,同时,动点E,F分别从点A,点C出发,其中点E沿着AD方向向点D运动,速度为每秒1个单位长度,点F沿着射线方向运动,速度为每秒2个单位长度,连接,如下图所示,当平移至点C(圆心O与点C重合)时停止运动,点E,F也随之停止运动.设运动时间为t(秒).在运动过程中,是否存在某一时间t,使与相切,若存在,请求出此时t的值；若不存在,请说明理由.
参考答案
1．答案：C
解析：∵,
∴绝对值最大的数是.
故选：C.
2．答案：A
解析：1300亿.
故选：A
3．答案：D
解析：,
故选：D.
4．答案：C
解析：A、，不符合题意；
B、，不符合题意；
C、，符合题意；
D、，不符合题意；
故选：C.
5．答案：C
解析：设每块巧克力的重xg，每个果冻的重yg，
由题意得：，
解得：.
故选C.
6．答案：D
解析：直线不经过第一象限，
，
，
当，方程为一元一次方程，为，解得：；
方程有一个实数根，
当时，方程为一元二次方程，
，
方程有2个实数根.
故选D.
7．答案：D
解析：,,
,
,
故选：D.
8．答案：C
解析：∵,
∴,
∴,
∴.
故选：C.
9．答案：C
解析：过C作于D,如图,
由函数图像知,当直线l与重合时,y的值最大为6,
此时,,
∴,
∵,,
∴,
由勾股定理得：,
∴的周长为,
故选：C.
10．答案：B
解析：根据题意可得,计算平均数、方差需要全部数据,故A、D不符合题意；
∵,
∴无法确定众数分布在哪一组,故C不符合题意；
从统计图可得：前三组的数据共有,
共有50名学生,中位数为第25与26位的平均数,
∴已知的数据中中位数确定,且不受后面数据的影响,
故选：B.
11．答案：D
解析：A，B关于y轴对称，点A的坐标为，
点B的坐标为，
故选：D.
12．答案：C
解析：抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，
，，
抛物线与x轴交于点和点，
抛物线对称轴为直线，故②正确；
，
，
，故①错误；
由函数图象可知，当时，抛物线的函数图象在x轴上方，
当时，，故③正确；
抛物线对称轴为直线且开口向下，
当时，y随x的增大而减小，即当时，y随x的增大而减小，故④错误；
抛物线对称轴为直线且开口向下，
当时，抛物线有最大值，
，
，故⑤正确；
综上所述，正确的有②③⑤，
故选C.
13．答案：
解析：根据题意,利用公式加密后上传数据为,
故答案为：.
14．答案：8
解析：过点A作于点M,于点N,如图所示：
则,
∵,
∴,
∴,
∴,
∵,,
∴,
∴,,
∵,,
∴,
∴,
∴,
∵,,
∴,
∴,
故答案为：8.
15．答案：
解析：如图,分别过A、B引x轴的垂线,垂足分别为C,D,
点B在函数的图象上,
,
,
,
轴,轴,
,,
,
,
又,
,
,
点A在函数的图象上,
,
∵(函数图象经过第二象限),
∴,
故答案为：.
16．答案：8
解析：由题意可知,在调整喷头高度的过程中,水柱的形状不发生变化,
当喷头高2.5m时,可设,
将代入解析式得出①,
喷头高时,可设,
将代入解析式得②,
联立可求出,,
设喷头高为h时,水柱落点距O点,
∴此时的解析式为,
将(4,0)代入可得,
解得.
故答案为：8.
17．答案：(1)3
(2)比原题的正确结果大11
解析：(1)
所以把“5”错写成了“3”
(2)原题正确结果,
淇淇的结果：,
,所以结果比原题的正确结果大11.
18．答案：(1)
(2)；与的差是常数,常数是19,理由见解析
解析：(1)由题意知,,,
故答案为：.
(2)①由题意知,设正方形的边长为a,
则,
,
,
,
.
②与的差是常数,常数是19,理由如下,
由题意知,
.
故答案为：；与的差是常数,常数是19.
19．答案：(1)
(2)
(3)
解析：(1)如图1,共有7个空位置,只有当坐在第2排第2列的那个位置时,符合题意,则这三把椅子刚好在同一直线上的概率为；
故答案为：.
(2)如图所示,
已经有四位家长入座四个位置,又有甲、乙两位家长随机入座,已知甲坐第一排,乙坐第二排,所有可能如下：
,,,,,,其中有2种可能符合题意,
则甲、乙两人刚好坐在同一列上的概率；
(3 )如图所示,
已经有四位家长入座四个位置,又有两名家长丙和丁随机入座,列表如下,
A B C D E
A
B
C
D
E
共有20种等可能结果,其中符合题意的有：,,,,,,,共8种可能结果,
∴有三位家长坐在同一直线上的概率为.
20．答案：(1)是,理由见解析
(2)不一定,理由见解析
解析：(1)是,理由如下：由题意可知,是直角三角形,
∵,,
由勾股定理得：,
∵,
∴,
由勾股定理得：,
∴,
∴大树的另一端点也左滑动了.
(2)∵,
∴,
∴,
∴,
当时,,即,
解得：或(舍),
∴只有当时,大树的顶端沿着墙面向下滑动了,那么大树的另一端点也向左滑动了.
21．答案：(1)太阳帽进价4元/个,旅行包进价15元/个
(2)购进旅行包280个,购进太阳帽420个,可使销售所获利润最大,最大利润为2240元
解析：(1)设太阳帽进价x元/个,旅行包进价y元/个,
根据题意,得,
解得,
答：太阳帽进价4元/个,旅行包进价15元/个；
(2)设购进太阳帽m个,旅行包个,获得的利润为w元,
根据题意,得,
解得,
∵
,
∴w随m的增大而减小,
∴当时,w有最大值,最大值为,此时,
∴购进旅行包280个,购进太阳帽420个,可使销售所获利润最大,最大利润为2240元.
22．答案：(1)见解析
(2)直线与相切，理由见解析
(3)
解析：(1)证明：四边形为矩形.
∴，
∵，
∴.
(2)判断：直线与相切.
证明：连接，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴
∴，
∴，即，
∵为半径，
∴直线与相切；
(3)∵点E落在线段的垂直平分线上，
∴，
∴，
由(1)得，
∴.
在中，，
∴，
∴，，，
∴
∵，
∴，
∴，又，
∴，
∴，
∴，解得.
23．答案：（1）见解析
（2）①
②直线的解析式为
（3）或
解析：（1）证明：，，，
，
，，
，
又，
；
（2）如图所示，过点C作轴于点E，
将线段绕点B逆时针旋转得到，
，，
又，
，
，
，，
一次函数的图象与y轴交于点A、与x轴交于点B，
当时，，即，
当时，，即，
，，
，
，
故答案为：；
②，设直线的解析式为，
将代入得：，
解得：，
直线的解析式为；
（3）抛物线与x轴交于A，B两点点A在点B的左侧，
当时，，
解得：，，
，；
①当M点在x轴下方时，如图所示，连接，过点Q作于点H，过点H作轴于点D，过点B作，于点E，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，，
，，
，
解得：，
，
设直线的解析式为，
代入，得：，
解得：，
直线解析式为，
联立，
解得：（舍去），；
②当M点在x轴的上方时，如图所示，过点Q作于点G，过点G作轴，交y轴于点F，过点B作于点P，
同理可得，
，
设，则，
，
，，
，
，
解得：，
，
设直线的解析式为，
代入，得：，
解得：，
直线的解析式为，
联立，
解得：（舍去），，
综上所述，M的横坐标为或.
24．答案：(1)
(2)
解析：(1)连接,,如图：
四边形是矩形,
,
在中,,,
,,
与对角线相切于点P,
,
在和中,
,
,
,
,
的半径.
(2)过点O作并延长,交于H,交于N,如图：
由(1)得：,,
,
四边形是矩形,且,
,
当点M运动到点N位置时,此时三角形面积有最大值,
.
(3)在整个运动过程中,存在某一时刻,与相切,此时t的值为或,理由：
由(1)得,
①在的左侧时,设与相切于点G,
连接,,如图：
由题意得：,,
,
四边形为矩形,
,,
,
四边形为矩形,
,,
与相切于点G,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
或(不合题意舍去),
②在的右侧侧时,
设与相切于点G,连接,,如图：
由题意得：,,
,
四边形为矩形,
,,
,
四边形为矩形,
,,
与相切于点G,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
或(不合题意舍去),
综上所述,t的值为或.
