高三总复习考前冲刺提分模拟卷（一）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．（22-23高一上·重庆·期末）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·云南·一模）复数，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．（22-23高三上·河南安阳·阶段练习）函数的部分图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·辽宁抚顺·模拟预测）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线上任意一点，M是线段PF上的点，且，则直线OM的斜率的最大值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2014·北京昌平·二模）已知若函数只有一个零点，则的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
6．（19-20高三上·上海黄浦·阶段练习）对于数集，其中，，定义向量集，若对任意，存在，使得，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25高二上·甘肃金昌·期中）已知点是圆上的动点，则点到直线距离的最小值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
8．（22-23高二下·江西景德镇·期中）已知数列中，，，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（23-24高三上·湖北·期中）已知，，且，则（ ）
A． B． C． D．
10．（20-21高二上·海南·期末）已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为
B．是奇函数
C．当时，取得最大值
D．在上单调递增
11．（22-23高二上·山东青岛·阶段练习）“堑堵”“阳马”和“鳖臑”是我国古代对一些特殊几何体的称谓．《九章算术 商功》：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑”．一个长方体沿对角面斜解（图1），得到一模一样的两个堑堵（图2），再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜解（图2），得一个四棱锥称为阳马（图3），一个三棱锥称为鳖臑（图4）．
若长方体的体积为，由该长方体斜解所得到的堑堵、阳马和鳖臑的体积分别为，，，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．（24-25高三上·山西吕梁·阶段练习）在中，角，，所对的边分别是，，且，，面积为，则边的长为 ．
13．（24-25高二下·广东东莞·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线第一象限上一点，的角平分线为，过点作的平行线，分别与，交于，两点，若，则的面积为 .
14．（23-24高二下·辽宁·阶段练习）小王喜爱逛街和吃火锅．在周末，她下午去逛街的概率为．若她下午去逛街，则晚上一定去吃火锅；若下午不去逛街，则晚上去吃火锅的概率为．已知小王在某个周末晚间去吃火锅，则下午逛街的概率为 ．
四、解答题
15．（22-23高三上·河北唐山·阶段练习）已知正项等差数列，，且，，构成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，求证：.
16．（21-22高二下·湖北恩施·期中）如图，在直三棱柱中，，，D，E分别为棱BC，上的点，且.
(1)若，证明：平面.
(2)若二面角大小为，求实数t的值.
17．（2021·全国·模拟预测）焦虑症是一种常见的神经症，多发于中青年群体，某机构为调查焦虑症与年龄之间的关联，随机抽取10人进行焦虑值（满分100分）的测试，根据调查得到如下数据表：
人员 A B C D E F G H I J
年龄(岁) 26 34 25 24 20 20 19 19 18 17
焦虑值(分) 80 89 89 78 75 71 65 62 55 50
（1）我们约定：焦虑值关于年龄的线性相关系数的绝对值在0.75（含0.75）以上为线性相关性较强，否则视为线性相关性较弱，如果没有较强的线性相关性，那么不考虑用线性回归进行拟合．试根据调查数据判断能否用线性回归对焦虑值与年龄的相关关系进行拟合．若能，请求出焦虑值关于年龄的线性回归方程（回归方程的斜率和截距的估计值均精确到0.01）；若不能，请说明理由．
（2）现从所调查的10人中随机抽取5人，记年龄在20岁（含20岁）以上的人数为，求的数学期望．
参考数据：
，，，，．
对于一组数据，，…，，其回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为．
线性相关系数．
18．（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆C：过点，离心率．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设过点的直线交椭圆于点直线分别交直线于点．求证：线段的中点为定点．
19．（22-23高三上·天津滨海新·阶段练习）已知函数，，已知是函数的极值点．
(1)求曲线在处的切线方程，并判断函数的零点个数；
(2)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围；
(3)设函数．证明：．
《高三总复习考前冲刺提分模拟卷（一）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A B B D B C C ABC ACD
题号 11
答案 AC
1．B
【难度】0.85
【知识点】解不含参数的一元二次不等式、交集的概念及运算
【分析】根据一元二次不等式的解法，结合集合交集的定义进行求解即可.
【详解】由，而，
所以，
故选：B
2．A
【难度】0.85
【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算、求复数的模
【分析】先应用复数的除法及乘法运算化简，再计算模长即可.
【详解】复数，
则.
故选：A.
3．B
【难度】0.85
【知识点】指数函数图像应用、函数奇偶性的应用、函数图像的识别
【分析】判断函数的奇偶性，再确定时函数值的正负，利用排除法得正确结论．
【详解】定义域是，，函数为奇函数，排除A，
时，，，，所以，排除CD．
故选：B．
4．B
【难度】0.65
【知识点】抛物线的范围
【分析】设，，确定，根据向量之间的关系得到，得到，，利用均值不等式计算得到答案.
【详解】，设，显然当时，，当时，，
要想求解直线OM的斜率的最大值，此时．
设，，，则，即，
解得．
，故，即，
，故，
当且仅当，即时，等号成立，故直线OM的斜率的最大值为．
故选：B.
5．D
【难度】0.65
【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量、利用导数研究函数的零点、根据零点求函数解析式中的参数
【分析】首先根据函数解析式画出函数图像，然后利用导数分别求出两段图像在处的切线斜率，然后根据函数图像求出参数的取值范围.
【详解】∵函数只有一个零点，∴与只有一个交点，函数的图像如图所示，
当时，，，，故函数在点处的切线斜率为.
当时，，，，故函数在点处的切线斜率为.
又表示过定点的直线，根据图像可知：当时，与只有一个交点.
所以的取值范围是．
故选：D.
6．B
【难度】0.4
【分析】取,设,满足,根据向量数量积运算,结合,可得中必有一个另一个为,再通过反证法假设,推出矛盾,即可得到.
【详解】取,,设,满足,可得,即,
因为,所以,所以异号,
因为是数集中的唯一一个负数,所以中负数必为,另一个数为,
假设,其中,则,
再取,设,满足,可得,
所以异号,其中一个为,
①若,则,矛盾;
②若,则,矛盾;
说明假设不成立,由此可得当时,.
故选.
【点睛】本题考查了平面向量的数量积的坐标运算以及反证法,属于中档题.
7．C
【难度】0.85
【知识点】圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、求点到直线的距离、圆的一般方程与标准方程之间的互化
【分析】将圆的方程化为标准方程，得到圆心坐标和半径，根据圆心到直线的距离得到圆与直线的位置关系，进而求解.
【详解】因为圆可化为，
所以圆心坐标为，半径，
因为圆心到直线的距离，
所以直线与圆相离，
所以点到直线距离的最小值是.
故选：C.
8．C
【难度】0.65
【知识点】由定义判定等比数列、写出等比数列的通项公式、构造法求数列通项、由递推关系式求通项公式
【分析】根据给定的递推公式，构造等比数列并求出通项作答.
【详解】由，得，而，
因此数列是首项为，公比为4的等比数列，则，即，
所以.
故选：C
9．ABC
【难度】0.65
【知识点】比较对数式的大小、基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值、对数的运算性质的应用
【分析】利用基本不等式及对数的运算性质判断A，利用基本不等式及对数函数的性质判断B，利用乘“1”法及基本不等式判断C，利用基本不等式判断D.
【详解】因为，，且，且，
所以，
当且仅当时，等号成立，故A正确；
易知，即，所以，
所以，故，当且仅当时取等号，故B正确；
因为，又，所以，
所以，
因为，
所以，当且仅当，即时，等号成立，故C正确；
因为，，且，所以，
当且仅当时取等号，又，
所以，故D错误.
故选：ABC
10．ACD
【难度】0.65
【知识点】辅助角公式、求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的最小正周期、求sinx型三角函数的单调性
【分析】先根据辅助角公式化简，逐项判断最小正周期、奇偶性、取最大值时的值以及在指定区间上的单调性.
【详解】因为，所以，
A．因为，故正确；
B．因为，当时，，显然不是奇函数，故错误；
C．当取最大值时，，所以，故正确；
D．当时，，因为在上单调递增，所以在上单调递增，故正确；
故选：ACD.
【点睛】思路点睛：求解取最大值、最小值时的取值的一般步骤：
（1）令得到；
（2）根据（1）得到，由此求解出的值即可.
11．AC
【难度】0.65
【知识点】锥体体积的有关计算、柱体体积的有关计算
【分析】根据题意确定堑堵、阳马和鳖臑的体积与长方体的体积的数量关系，即可得答案.
【详解】解：由题意，堑堵的体积，阳马的体积，鳖臑的体积，
所以，，，即，
所以，
所以，AC选项正确，BD选项错误.
故选：AC
12．或
【难度】0.65
【知识点】余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用
【分析】由面积先确定，利用同角三角函数关系得到，结合余弦定理，即可求解．
【详解】因为，且的面积为，
可得，
解得，所以，
当时，可得，
所以，
当时，可得，所以，
综上，边的长为或．
故答案为：或．
13．
【难度】0.4
【知识点】求双曲线的焦距、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、双曲线定义的理解
【分析】由条件可得，由此得到，利用三角形相似可得，推出，结合角平分线定理得到，结合双曲线的定义求出，分析出为直角三角形可得结果.
【详解】如图，记与轴交于点，
由题意得，，，故，.
∵，为中点，
∴为的中位线，
∴，，
由得与相似，∴，
∴，，
∵的角平分线为，
∴由角平分线定理得，，
由双曲线的定义得，，
∴，
∴，故为直角三角形，
∴的面积为.
故答案为：.
14．/
【难度】0.85
【知识点】利用全概率公式求概率、计算条件概率
【分析】借助条件概率公式计算即可得.
【详解】设其周末晚间去吃火锅的概率为，下午去逛街的概率为，
则，，
则.
故答案为：.
15．(1)
(2)证明见解析
【难度】0.65
【知识点】等比中项的应用、裂项相消法求和、利用定义求等差数列通项公式
【分析】(1)由等差数列和等比数列的定义，即可求出通项公式；
(2)利用裂项相消法解求出数列的和，进而利用不等式放缩即可证明结果.
【详解】（1）设正项等差数列的公差为，因为，，构成等比数列，则，即，又因为，解得：或（舍去），所以，
则数列的通项公式.
（2）由（1）知：，
所以
，
故.
16．(1)证明见解析；
(2).
【难度】0.65
【知识点】由二面角大小求线段长度或距离、已知面面角求其他量、证明线面垂直、证明线面平行
【分析】（1）首先利用平行线的传递性，得到四边形是平行四边形，得到，再利用线面平行的判定定理证明即可；
（2）方法一：作出二面角的平面角，利用解三角形的知识求解 值；方法二：运用空间直角坐标系，求二面角所在的各个面的法向量，再根据法向量的夹角求其二面角的夹角，进而求出值.
【详解】（1）证明：当时，，即D，E分别为，的中点.
如图1，在直三棱柱中，，，
四边形为平行四边形，连接DE，
则，，所以，，
所以四边形是平行四边形，所以.
又因为平面，平面，
所以平面.
图1
（2）方法一:
如图2，在平面ABC内，过点C作AD的垂线，垂足为H，连接，
则为二面角的平面角，即.
在直角三角形中，，所以.
在直角三角形CHA中，，，所以，
又为锐角，所以，且，
所以点H在线段AD的延长线上.
在中，，，
所以.
图2
方法二：
平面，又，以为正交基底建立如图1所示的空间直角坐标系，
则点，，，，
从而，，，
所以.
设平面的法向量为，
由 有 取.
又平面ADC的一个法向量为，
二面角的大小为，所以，
即，得，
又因为，所以.
17．（1）可用线性回归对它们的相关关系进行拟合；线性回归方程为；（2）3．
【难度】0.65
【知识点】求回归直线方程、求离散型随机变量的均值、相关关系与函数关系的概念及辨析
【分析】（1）利用公式求出相关系数，并与比较大小；
（2）先求出的分布列，再用期望公式求期望即可.
【详解】（1）由题意，可借助计算相关系数判断焦虑值与年龄的线性相关程度，
从而判断是否能用线性回归方程进行拟合．
相关系数，
由题意，与有较强的线性相关性，故可用线性回归对它们的相关关系进行拟合．
设回归方程为，则，．
所以焦虑值关于年龄的线性回归方程为．
（2）由题意可知的所有可能取值为1，2，3，4，5．
故的分布列为
1 2 3 4 5
所以．
18．(1);
(2)证明见解析.
【难度】0.4
【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中的直线过定点问题、根据椭圆过的点求标准方程、根据韦达定理求参数
【分析】（1）根据已知条件列方程组，求得，从而求得椭圆的方程.
（2）设出直线的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数关系，求得点的坐标的关系式，进而证得线段的中点为定点.
【详解】（1）依题意可得
解得，，，
所以椭圆C的方程为．
（2）
依题意可知直线l的斜率存在，设直线的方程为，
设，，，，
由消去y并化简得，
则，．
依题意可知直线的斜率都存在，则直线的方程为，
令，得．
同理可求得．
所以，
所以线段的中点为定点．
19．(1)，在定义域上存在唯一零点
(2)
(3)证明见解析
【难度】0.15
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、零点存在性定理的应用、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数证明不等式
【分析】（1）首先求导数，再求，即可求得切线，然后求出函数单调区间,利用零点存在定理即可判断函数零点个数.
（2）首先参变分离，求函数的单调区间，设出零点，分析函数单调区间，求最小值，然后整体换元，即可求解.
（3）首先确定定义域，再令换元，然后对进行单调性分析，求出参数的值，从而求出的表达式，再对进行分析，即可求证.
【详解】（1），所以，又所以切线方程为：，即切线方程为：；根据，可知在上为正，因此在区间上为增函数，又， ，因此，即在区间上恰有一个零点，由题可知在上恒成立，即在上无零点，则在定义域上存在唯一零点．
（2）原不等式可化为，
令，则，由（1）可知在上单调递减，在，上单调递增，，
设的零点为，即，下面分析，设，则，可得，即
若，等式左负右正不相等，若，等式左正右负不相等，只能．
因此，
即．
（3）证明：由题意，的定义域为，
令，则，，
则，
因为是函数的极值点，则有，即，所以，
当时，，且，
因为，
则在上单调递减，
所以当时，，
当时，，
所以时，是函数的一个极大值点．
综上所述，；
所以，
要证，即需证明，
因为当时，，
当时，，
所以需证明，即，
令，
则，
所以，当时，，
当时，，
所以为的极小值点，
所以，即，
故，
所以．
【点睛】(1)切线方程的求法主要利用导数求解切线斜率，其次需要注意题目中的关键字眼“在”与“过”的不同.
(2)函数零点的个数的判断主要利用零点存在定理，利用函数在某区间端点值异号来判断.
(3)导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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