NT20名校联合体4月高一年级期中考试
数学
考试说明：
1.本试卷共150分。考试时间120分钟。
2.请将各题答案填在答题卡上。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。
1.已知之(1+i)=4,则x的虚部为
A.2
B.2i
C.-2
D.-2i
2.已知平面向量a=(2,一1)，b=(x,3),且a⊥(a十b),则x=
A.-1
B.1
C.-2
D.2
3.已知水平放置的四边形ABCD的斜二测直观图为菱形A'B'CD',已知A'B'=3,
∠A'B'C=60°，则四边形ABCD的面积为
A.63
B.93
C.66
D.9√6
4.如图，在△ABC中，D为AB上靠近B的三等分点，E为CD的中点，设CA=a,
CB=b,则AE=
A+
B.-Tq-b
6a-
c-8a+
5→，
5·
D.
6a-3b
3
5.如图，在正三棱锥P一ABC中，PA=22,三条侧棱两两夹
角均为40°，M,V分别是PA,PB上的动点，则三角形CMV
的周长的最小值为
A.26
B.25
C.23
D.22
6.如图，为了测量某座山的高度，测量人员选取了与山底B在同一平面内的两个观
测点C与D,现测得∠CBD=75°，∠BCD=60°，BD=45
A
米，在点C处测得山顶A的仰角为60°，则该座山的高度为
()米
A.30√2
B.452
C.303
D.453
7.已知正方体ABCD一A,B,C,D,的棱长为1，则下列说法中正确的是
A.若M是C,D,的中点，AM与平面BB,D,D的交点为O,则A,,O,C三点
共线
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B以正方体的四个顶点为顶点组成的正四面体的体积为号
C.若P是B,D1上的动点，则D,P,B,C1四点共面
D.若Q是AD1上的动点，则A,Q十QB的最小值是√2+√3
8.在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=2,
6=2十2 acosC,则26+0的取值范围是
A.(22.23
3
3
B.23
3√24w3
c
D.22.53
3
3
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多
项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。
9.在复数范围内，关于x的方程x2十a.x+b=0(a,b∈R)的其中一个根为
之1=1+i,另一根为之2，则下列结论正确的是
A.a=2,b=2
B.x2=2+i
2025
C.21之2=2
D.()=i
义2
10.已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边，下列四个命题中正确
的是
A.a>b是sinA>sinB的充分不必要条件
B.若△ABC是锐角三角形，则点(sinA一cosB,cosC一sinB)在第四象限
C.若a=6,b=√15，A=45°，则符合条件的△ABC有两个
D.若△ABC是锐角三角形，且a=1,b=2,则c的取值范围是(3,5)
11.已知球O的半径为R,A,B,C为球面上三点，且AB=BC=√3，CA=3,
若球心O到平面ABC的距离等于2R,则下列结论正确的是
A.R=3
B.若圆柱的外接球为球O,则圆柱侧面积的最大值为8π
C.若正三棱柱的内切球为球O,则正三棱柱的体积为483
D.若正四面体的各棱与球O相切，则正四面体的表面积为32√3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a=(一1,3)，b=(,一1)，若a与b的夹角为钝角，则实数入的
取值范围是
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数学参考答案
1C【解析】设E4=40=4,2-21,则的虚部为-2故选：C
2.A【解析】由题意知a⊥(a+),所以2×(2+)-2×1=0，解得x=-1,故A正确.故选：A.
3D【解析】因为A"B'=3,∠A3C=60,则菱形BCD的面积为5×9×2=5
2
那么四边形ABCD的面积为5×4
2√2
=9.故选：D.
4.C【解析】因为D为AB上靠近B的三等分点，E为CD的中点，
所以证=西-a-D-a-非a+河a=ai+,又因为a,西-b.
所以A正=-二a+五.故选：c
6
3
5.A【解析】把正三棱锥沿PC剪开并展开，形成三个全等的等腰三角形：△PBC、△PAC、△PAB,
则∠CPA=∠BPC=∠APB=40°，∠CPC=120°，
连接CC,交PB于N,交A于M,
则线段CC就是△CMN的最小周长，又PC=PC'=22,
B
根据余弦定理，CC'-V3+8-2x22x25x(=26.故选：A
6.B【解析】在△CDB中，由题意可得∠CDB=45°，
由正弦定理
mZ8cDsm2C0g,可得BC-8D-sm∠CDB45x
BD
BC
2=156,
sin∠BCD
2
在Rt△ABC中，可得AB=BC.tan∠ACB=15V6×√3=45V2,
所以该座山的高度为45√5米.故选：B.
D
M
7.B【解析】选项A,在正方体ABCD-ABCD中，连接AD,BC,如图，
C,DI1CD/IAB,故ABC,D,共面，
连接BD,平面ABCD∩平面BB,DD=BD,
因为M为棱DC的中点，则M∈平面ABC,D,
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而A∈平面ABC,D,即AMC平面ABCD,,又O∈AM,则O∈平面ABC,D,,
因AM与平面BB,D,D的交点为O,则O∈平面BBD,D,
于是得OEBD,即D,O,B三点共线，由C,D /ICD /IAB,M为棱DC的中点，可得DM∥AB且
DM号DG=号AB,故△0MD∽△0AB于是得OD=OB,即OB=20D,
2
2
所以三点D,O,B共线，且OB=2OD.而AC与BD,交于BD的中点，所以三点A,O,C不共线，故A错误：
选项B,以正方体的四个顶点为顶点组成的正四面体，例如四面体B-DAC的体积为
11
='ac04a48e=】4后=方放B正确：
选项C,设直线DP与直线BB相交于点N,直线BC在平面BB,CC内，且不过点N,所以由线线位置关
系知，直线DP与BC,是异面直线，故C错误；
选项D,如图，将平面AAD和平面BAD展开到一个平面上，连接AB交AD于点
1359
2,此时A犯+OB最小在△4AB中，AA=ABl,∠4AB=折，由余弦定理可知
AB-+1-2x11k(号)V及故D错灵数选B
B
8.C【解析】△ABC中，因为a=2,由正弦定理得sinB=sinA+2 sinAcosC,
sin(A+C)=sin A+2sin AcosC.sin Acos C+cos Asin C=sin A+2sin AcosC,
那么cos AsinC-sinAcosC=sinA,即sin(C-A)=sinA,因为角A,C为锐角，所以C=2A,
20+a2sin B+sind2sin(d+c)+sin d2sin 34+simn4_8cosA-1-4cos
1
c
sinC
sin 2A
2sin AcosA
2cosA
2cosA'
0
4
2’2
A+C>I
2
令：=4则：款士又y=板士在（停马上学调道见，所以2的取值范园是9马
2x
22
故选：C.
9.CD【解析】A选项，=1+i是方程x2++b=0(a,beR)的根，则Q+i)2+a1+i)+b=0,
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