2024-2025 学年湖南省部分校高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.一个几何体由 5 个面围成，则该几何体可能是
A.三棱锥 B.四棱柱 C.三棱台 D.五棱锥
2 3.已知 ， ， 分别为△ 三个内角 ， ， 的对边，且 = 3， = 5，sin = 4，则 sin =( )
A. 5 B. 5 C. 2 5 D. 4 54 3 9 9
3.若 ， 均是单位向量，且 = 1，则|2 33
| =( )
A. 6 B. 3 C. 6 D. 9
4 = 7 .已知复数 3 4 ，则 在复平面内对应的点位于
A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限
5 1 .把函数 ( ) = cos( 2 + 8 )的图象向右平移 个单位长度后得到偶函数 ( )的图象，则 的最小正值为( )
A. 8 B. 16 C. 2 D. 4
6.在正四棱台 1 1 1 1的 12 条棱所在的直线及直线 ， 1 1， 1 1中，与直线 是异面直线的
直线共有( )
A. 6 条 B. 7 条 C. 8 条 D. 9 条
7.已知函数 ( ) = 2sin( + )( > 0, | | < 2 )
在[0, 3 ]上单调递增，在[ 3 ,
7
12 ]上单调递减，且 (0) +
( 6 ) = 0，则 =( )
A. 6 B.
6 C. 3 D.
3
8.在平行四边形 中， = 3， = 2，∠ = 60 ， 为线段 上靠近 的三等分点，线段 与
相交于点 ，则 cos∠ =( )
A. 19 B. 19 C. 19 D. 1938 38 19 19
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A.质量是向量
B.相等向量的起点不一定相同
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C.物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量
D.若某质点受到 1， 2， 3的作用且处于平衡状态，则 1 + 2+ 3 = 0
10.△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若满足 = 4， = 8 的△ 有两解，则 的值可能为
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
11.如图，正方体 1 1 1 1的棱长为 6， 是 的中点， 是正方体 1 1 1 1的表面及其
内部一动点，则下列说法正确的是
A.正方体 1 1 1 1内切球的表面积为 36
B.若 = 3，则动点 的轨迹与该正方体围成的较小部分的体积为 9
C.若点 是△ 1 1的外心，则 1 = 36
D.若动点 满足 = + 1( + = 1)，则 + 1的最小值为 3 7 + 2 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
tan175 tan55 12.1+tan175 tan55 的值为 ．
13.如图，这是用斜二测画法画出的水平放置的梯形 的直观图，其中 ′ ′// ′ ′， ′ ′ =
2 ′ ′ = 8，梯形 ′ ′ ′ ′的面积为 30，则梯形 的高为 ．
14.某日中午 12: 00 甲船以 24 / 的速度沿北偏东60 的方向驶离码头 ，下午 1: 00 乙船沿东偏南49 的方
向匀速驶离码头 ，下午 5: 00 甲船到达 地，乙船到达 地，且 在 的西偏南67 的方向上，则乙船的航行
速度是 / . ( 3 9取 sin37 = 5，sin64
= 10 )
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知复数 = 2 2 + ( 2 7 + 10) ， ∈ .
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(1)若 为实数，求 ;
(2)若 为虚数，求 的取值范围;
(3)若 为纯虚数，求 ．
16.(本小题 15 分)
如图，在平行四边形 中， = 3 ， = 4 ， = ．
(1)用 ， 表示 ， ；
|(2) |若 =
3
4，判断△ 的形状，并用向量的方法证明你的结论．| |
17.(本小题 15 分)
已知△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 2 sin cos = 0．
(1)求 cos ;
(2)若 = 11， = 6，求△ 的面积．
18.(本小题 17 分)
如图，长方体 1 1 1 1的长、宽、高分别为 ， ，2，且 ≥ ， + = 2．
(1)当底面 为正方形时，求长方体 1 1 1 1的表面积和体积;
(2)求三棱锥 1 1 体积的最大值;
(3) 记三棱锥 1 1 外接球的表面积为 1，底面 的面积为 ，求 12 的取值范围．2
19.(本小题 17 分)
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设 为非空数集，实数 满足以下两个条件：(ⅰ) ∈ ， ≤ ；(ⅱ)对任意给定的 > 0，总存在 0 ∈ ，
使得 0 + > .这时，称 为集合 的上确界．
(1)直接写出集合 1 = = 3tan2 ,
8 ≤ ≤ 8 的上确界．
(2)在函数 ( ) = sin( + )与 ( ) = 3cos( + )( > 0, > 0)的图象的交点中，距离最短的两个交
点的距离为 2 3．
①求 ；
②求集合 2 = = 3 ( ) +
3 , 7 3 2 2 < <
13 3
2 的上确界，并证明你的结论．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 3
13.10 2
14.20
15.解：(1)由题意得 2 7 + 10 = ( 2)( 5) = 0，
得 = 2 或 5．
(2)由题意得 2 7 + 10 ≠ 0，
得 ≠ 2 且 ≠ 5.
2(3) 2 = 0,由题意得
2 7 + 10 ≠ 0,
= 0 或 2,
得 故 = 0．
≠ 2 且 ≠ 5,
16.解：(1)由题意得 = ， = ，
则 = + = + 12
= 12
，
= + + = 1 4
+ + 1 2
= 1 4 +
+ 1 2 =
+ 14
．
(2) △ 是直角三角形．
证明如下：由题意得 = = 1 4
1 3 ， =
+ = 2 + 1 3 2 ，
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则 = ( 1 1
2 2
) ( 2 + 1 ) = 1 2 = 1 | 4 3 3 2 8 9 8
|2 2 × 9 29 16 | | = 0，
所以 ⊥ ，故△ 是直角三角形．
17.解：(1)由 2 sin cos = 0，可得 2sin sin sin cos = 0．
因为 sin ≠ 0，所以 2sin cos = 0．
又sin2 + cos2 = 1，且 sin > 0，
6
所以 cos = 3 ．
2 2 2
(2)由余弦定理可知 cos = + 2
6 6 2 5
因为 = 11， = 6，cos = 3 ，所以 3 = 2 6 ，
整理得 2 4 5 = 0，解得 = 5 或 = 1(舍去)．
由 cos = 6 33 ，可得 sin = 3 ，
1
则△ 的面积 = 2 sin =
5 2
2 ．
18.解：(1)因为底面 为正方形，所以 = = 1，
则长方体 1 1 1 1的表面积为 2 × 1 × 1 + 4 × 1 × 2 = 10，
体积为 1 × 1 × 2 = 2．
(2)由图可知 1 1 = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
= 2 1 × 1 × 2 × 4 = 2 ≤ 2 ( + 2 23 2 3 3 2 ) = 3，
当且仅当 = = 1 2时，等号成立，故三棱锥 1 1 体积的最大值为3．
(3)由题可知，三棱锥 1 1 的外接球即长方体 1 1 1 1的外接球，
设该外接球的半径为 ，则 2 = 2 + 2 + 4，
所以 = 4 2 = ( 2 + 21 + 4)， 2 = ，
1 ( 2= +
2+4) = [
2+ 2+( + )2] 2 2
则 2
= ( + + 2)．
令 = ，则 ≥ 1，
1
= 2 ( +
1
+ 1)．2
1
因为 + ≥ 2，当且仅当 = 1，即 = = 1 时，等号成立，
所以 1 的取值范围为[6 , + ∞).2
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19.解：(1) 1的上确界为 3．
(2) ①由 sin( + ) = 3cos( + ) ，得 tan( + ) = 3，则 + = 3 + ( ∈ )．
不妨假设距离最短的这两个交点为 ( 1, ( 1))， ( 2, ( 2))，
+ = 1 3 + ,
则 ( ∈ )，
2 + =
4
3 +
两式相减得 | 2 1| = ，即| 2 1| =
．
由 ( 1) = sin ( 1 + ) = sin (
3 + ), ( 2) = sin ( 2 + ) = sin (
4
3 + )，
得| ( 1) ( )| = |sin(
2 3 + ) sin(
4
3 + )| = 3( ∈ )．
由| | = ( 1 22) + [ ( 1) ( 2)]2 = (
2
) + 3 = 2 3，得 =
3．
②由题意得 = 3sin( 3 + ) + 3cos[
3 (
3
2 ) + ] = 3sin(
3 + ) + 3cos(
3 2 + )
= 2 3sin( 3 + ).
7 3 13 3 由2 < < 2 ，得3 + ∈ (
7 , 13 6 6 )，
所以 = 2 3sin( 3 + ) ∈ [ 2 3, 3)，即 2 = [ 2 3, 3).
( ) ∈ 2， ≤ 3;
( ) 对任意给定的 > 0，若 0 < < 3，则可取 0 = 3 2 ∈ 2，使得 0 + = 3 + 2 > 3，
若 ≥ 3，则可取 0 = 1 ∈ 2，使得 0 + = 1 + > 3．
故 2的上确界为 3．
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