2025 年宁夏银川一中高考数学二模试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 6 分，共 48 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 = { | 8 ≤ 3 < 1}， = { | 2 2 3 ≤ 0}，则 ∩ =( )
A. { | 2 ≤ < 1} B. { | 1 ≤ < 1} C. { | 1 ≤ ≤ 3} D. { | 2 ≤ ≤ 3}
2 .若 1 = 1 ，则 =( )
A. 1 B. 1+ C. 1 D. 1 +
3.已知 = ( , 2)， = (3,4)，且( ) ⊥ ，则 的值为( )
A. 173 B.
1
3 C.
8
3 D. 11
3 , ≤ 0
4.设函数 ( ) = 1 , > 0，若 ( ) > 3，则实数 的取值范围是( )
2
A. ( ∞, 1) ∪ (0, 18 ) B. ( ∞, 1) ∪ (
1
8 , 1)
C. ( 1, 18 ) D. ( ∞,
1
8 )
5.在△ 2 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 2 2 = 5 ， = 3，则 =( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
6.已知函数 ( ) = 2 ( + 6 )( > 0)，若方程 ( ) = 1 在区间[0,2 ]上恰有 3 个实根，则 的取值范围
是( )
A. [1, 43 ) B. (1,
4
3 ] C. (
5 4 3
6 , 1] D. ( 3 , 2 ]
7.如图所示，一个正四棱台的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为 12 3，则
该正四棱台的体积为( )
A. 112
B. 2243
C. 224
D. 224 23
8.已知函数 ( ) = ln( 2 + 2) ，若 ( 1) > ( 2)，则( )
A.若 1 > 2，则 1 + 2 2 > 0 B.若 1 > 2，则 1 + 2 2 < 0
C.若 1 > 2，则 1 + 2 4 > 0 D.若 1 > 2，则 1 + 2 4 < 0
二、多选题：本题共 3 小题，共 24 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.下列说法正确的是( )
A.数据 8，6，4，11，3，7，9，10 的上四分位数为 9
B.若随机变量 (9, 23 )，则 (3 + 1) = 18
C.某物理量的测量结果服从正态分布 (10, 2)， 越大，该物理量在一次测量中在(9.8,10.2)的概率越大
D.已知某 4 个数据的平均数为 5，方差为 3，现又加入一个数据 5，此时这 5 个数据的方差为 2.4
10.已知 ( )是 上的奇函数， ( + 2)是 上的偶函数，且当 ∈ [0,2]时， ( ) = 2 + 2 ，则下列说法正确
的是( )
A. ( )最小正周期为 4 B. ( 3) = 3
C. (2024) = 0 D. (2025) = 3
11.如图，曲线 过坐标原点 ，且 上的动点 ( , )满足到两个定点 1( , 0)， 2( , 0)( > 0)的距离之积
为 9，则下列结论正确的是( )
A. = 3
B.若直线 = 与曲线 只有一个交点，则实数 的取值范围为[1, + ∞)
C. △ 1 2周长的最小值为 12
D. △ 91 2面积的最大值为2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。
12.抛物线 2 = 4 上一点 到其焦点的距离为 3，则点 到坐标原点的距离为______．
13.已知 1 4， 为正实数，直线 = 与曲线 = ln( + )相切，则 + 的最小值为______．
14.甲乙两人进行一场抽卡游戏，规则如下：有编号 1，2，3，4，5，6，7 的卡片各 1 张，两人轮流从中
不放回的随机抽取 1 张卡片，直到其中 1 人抽到的卡片编号之和等于 12 或者所有卡片被抽完时，游戏结
束.若甲先抽卡，求甲抽了 3 张卡片时，恰好游戏结束的概率是______．
四、解答题：本题共 4 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 2 + 2 3sin2 3．
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(Ⅰ)求函数 ( )的最小正周期及其单调递增区间，
(Ⅱ)若 为锐角△ 的内角，且 ( ) = 3, = 2 3，求△ 面积的取值范围．
16.(本小题 15 分)
2 2
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)过点 ( 2, 1)，且椭圆 的短轴长等于焦距．
(1)求椭圆 的方程；
(2)若直线 2的斜率为 2 ，且与椭圆 相交于 、 两点，求△ 面积取得最大值时直线 的方程．
17.(本小题 15 分)
如图，在三棱柱 1 1 1中，平面 1 1 ⊥平面 ， ⊥ ， = 2，∠ 1 = 120°， = 1 =
2 3， 为线段 1上一点，且 = 1(0 ≤ ≤ 1)．
(1)求证： 1 ⊥ 1；
(2) 21是否存在实数 ，使得平面 1与平面 的夹角余弦值为 7 ？若存在，求出实数 的值；若不存在，
请说明理由．
18.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = + 1 22 2 ( ∈ )， ( ) =
ln( + )．
(1) 3若 = 2，求 ( )的单调区间；
(2)当 ≤ 2 时，求证 ( ) > 0；
(3)若函数 ( )有两个极值点 1， 2( 1 < 2)且 ( 1) ≥ 2恒成立，求实数 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.2 3
13.9
14. 29210
15.解：(Ⅰ)函数 ( ) = 2 + 2 3sin2 3 = 2 3 2 = 2 (2 3 )，
函数 ( ) 2 的最小正周期为 = 2 = ；
由 2 2 ≤ 2
3 ≤ 2 + 2， ∈ ，可得
≤ ≤ + 5 12 12，
即有 ( )的单调递增区间为[ 12 , +
5
12 ]， ∈ ；
(Ⅱ)若 为锐角△ 的内角，且 ( ) = 3, = 2 3，
可得 sin(2 3 ) =
3
2 ，由 0 < <
2，可得 3 < 2
3 <
2
3，
2 = = + = 2 则 3 3，即 3， 3，
= 设 3 + ， =
3 ，由 0 < < 2，0 < < 2，
可得 6 < <
6，即有 ∈ (
1 , 12 2 ).
2 3
由正弦定理可得 = = = 3 = 4，
2
即有 = 4 ， = 4 ，
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则△ 1 3面积为 = 2 = 4 × 16
= 4 3sin( 3 + )sin( 3 ) = 4 3(sin
2
3 sin
2 ) = 4 3( 34 sin
2 ) ∈ (2 3, 3 3].
2 216. ： 4 + 2 = 1；
= 22 ± 2．
17.解：(1)证明：连接 1，因为 1/ / 1， 1 = 1 = ，
则四边形 1 1 为菱形，所以 1 ⊥ 1 ，
又平面 1 1 ⊥平面 ，平面 1 1 ∩平面 = ， ⊥ ， 平面 ，
所以 ⊥平面 1 1 ，
因为 1 平面 1 1 ，所以 ⊥ 1 ，
因为 ∩ 1 = ， 、 1 平面 1，
所以 1 ⊥平面 1，
因为 1 平面 1，
所以 1 ⊥ 1．
(2)取线段 的中点 ，连接 1，
在菱形 1 1 中，∠ 1 = 120°，则∠ 1 = 60°，故△ 1为等边三角形，
因为 为 的中点，则 1 ⊥ ，且 ⊥平面 1 1 ，
以点 为坐标原点， 、 、 1的方向分别为 、 、 轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
则 1(0,0,3)、 (0, 3, 0)、 (0, 3, 0)、 (2, 3, 0)，
设 = 1 = 1 = (0, 3 , 3 )，则 1 = ( 2, 3, 3)，
= + = ( 2,0,0) + (0, 3 , 3 ) = ( 2, 3 , 3 )，
记平面 1的法向量 1 = ( , , )，
1 ⊥ 1 = 2 3 + 3 = 0则 ，则
1 ⊥ 1 1 1
，
= 2 + 3 + 3 = 0
取 = 3 ，则 1 = (3 , 3 3, 1 + )
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易知平面 的一个法向量为 2 = (0,0,1)，
由题意|cos < 1, 2 > | =
| 1 2| 1+ 21
| 1| | 2|
= = ，
13 2 4 +4 7
整理可得 32 2 26 + 5 = 0，即(2 1)(16 5) = 0，
因为 0 ≤ ≤ 1 5 1，解得 = 16或2．
18.
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