四川省成都市成华区某校 2025 届高三下学期 4 月三诊模拟
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { | 1 ≤ 1 < 2}，集合 = { | = 2 }，则 ∩ =( )
A. { |0 ≤ < 2} B. { |0 ≤ ≤ 2} C. { |1 < < 3} D. { |0 ≤ < 3}
2.某中学随机抽取了 60 名学生，统计了他们某天学习数学的时间，数据如下表，则该组数据的第 75 百分
位数是( )
学习时间/分钟60708090100110120
人数 9 1014128 5 2
A. 75 分钟 B. 90 分钟 C. 95 分钟 D. 100 分钟
3.已知平面向量 = (1, 2), = (6,8)，则 在 方向上的投影向量坐标为( )
A. (2, 4) B. ( 2,4) C. 3 , 4 3 45 5 D. 5 , 5
4 3 1.已知角 的顶点为坐标原点，始边为 轴非负半轴，若角 的终边过点 2 , 2 ，则 tan2 =( )
A. 3 B. 32 C.
3
3 D. 3
5.甲 乙等 5 名学生参加学校运动会志愿者服务，每个人从“检录组”“计分组”“宣传组”三个岗位中随
机选择一个岗位，每个岗位至少有一名志愿者，则甲 乙两人恰好选择同一岗位的选择方法有( )种．
A. 18 B. 27 C. 36 D. 72
6.已知抛物线 : 2 = 2 ( > 0)，点 (0,4)，直线 : 2 2 = 0，记 关于 的对称点为 ，且 在 上，
则 的准线方程为( )
A. = 4 B. = 1 C. = 3 D. = 2
7.已知函数 ( )的定义域为 ，且 ( + 2) 2 为奇函数， (3 + 1)为偶函数， (1) = 0，则2024 =1 ( ) = ( )
A. 4036 B. 4040 C. 4044 D. 4048
2 2
8.在平面直角坐标系 中，已知双曲线 : 2 2 = 1( > 0, > 0)的左焦点为 1，过 1的直线 交圆
2 +
2 = 2于点 , 1，交 的右支于点 ，若 1 = | | = 2 | |，则 的离心率为( )
A. 3 55 B.
4 5 73 4 10
5 C. 5 D. 5
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.若 8 7 的展开式的各二项式系数之和为 32，则( )
A. = 5 B.展开式中只有第三项的二项式系数最大
C.展开式中 4项的系数为 1960 D.展开式中系数为有理数的项共有 2 项
10.已知函数 ( ) = sin cos + 3cos2 ( > 0)，则下列结论正确的是( )
A. 函数 ( ) 3 3的值域为[ 1 + 2 , 1 + 2 ]
B. 若函数 ( )关于 = 12对称，则 的最小值为 1
C. 1若函数 ( )在[ 6 , 2 ]上单调，则 的取值范围是 0, 6
D. 若 = 1 13 ，当 ∈ [0,2 ]时，函数 ( )的所有零点的和为 3
11.法国天文学家乔凡尼 多美尼科 卡西尼在研究土星及其卫星的运动规律时，发现了平面内到两个定点的
距离之积为常数的点的轨迹，并称之为卡西尼卵形线( ).已知在平面直角坐标系 中， (
1,0)， (1,0)，动点 满足| | | | = ( > 0)，其轨迹为 .下列结论中，正确的是( )
A.曲线 关于 轴对称
B.原点始终在曲线 的内部
C.当 = 2 2时， 面积的最大值为 2
D. 在第一象限的点的纵坐标的最大值为2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.复数 满足 + 6i = (i 为虚数单位)，则 的虚部为 ．
13.在平行四边形 中， = 1, = 3， 与 2π交于点 ，∠ = 3，则该平行四边形 的面
积为 ．
14.在三棱锥 中， , , 两两垂直，且 = = = 2.若 为该三棱锥外接球上的一动点，
则 的最小值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
2023 年 5 月 15 日至 21 日是第二个全国家庭教育宣传周，为进一步促进家校共育，某校举行“家教伴成
长，协同育新人”主题活动，最终评出了 8 位“最美家长”，其中有 6 位妈妈，2 位爸爸，学校准备从这 8
位“最美家长”中每次随机选出一人做家庭教育经验分享．
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(1)若每位“最美家长”最多做一次家庭教育经验分享，记第一次抽到妈妈为事件 ，第二次抽到爸爸为事
件 ，求 ( )和 ( )；
(2)现需要每天从这 8 位“最美家长”中随机选 1 人，连续 4 天分别为低年级、中年级、高年级和全体教师
各做 1 场经验分享，1 天只做 1 场，且人选可以重复，记这 4 天中爸爸做经验分享的天数为 ，求 的分布
列和数学期望．
16.(本小题 15 分)
1
如图，在多面体 中，底面 是边长为 2 的正方形，△ 是等边三角形， // ， = 2 ，
且平面 ⊥平面 ．
(1)求证： ⊥ ；
(2)求直线 与平面 所成角的余弦值．
17.(本小题 15 分)
已知数列 满足 1 = 5， +1 2 = 3 ( ∈ )，记 = 3 ．
(1)求证： 是等比数列；
(2) = 2 +1 . ( 1) < + 设 ，数列 的前 项和为 若不等式
2 1对一切 ∈ 恒成立，求实数 的取
值范围．
18.(本小题 17 分)
1
已知椭圆 的中心为坐标原点，对称轴为 轴， 轴，且过 0, 1 , 3, 2 两点．
(1)求 的方程；
(2)过点 4,0 ，斜率不为 0 的直线 与椭圆交于 , 两点，点 1,1 ，直线 与 轴交于 ，与 轴交于 ，
直线 与 轴交于 ，与 轴交于 .若 3 = ，求直线 的斜率．
19.(本小题 17 分)
定义：若函数 ( )与 ( )在公共定义域内存在 使得 ( ) + ( ) = 0，则称 ( )与 ( )为“契合函数”．
(1)判断函数 ( ) = 2 2 2和 ( ) = +1是否为“契合函数”;
(2)若函数 ( ) = ln 1 和 ( ) = 2 + 1 不为“契合函数”，求 的取值范围;
(3) 1 sin 若函数 ( ) =
+ 1 和 ( ) = 1( < 0)在区间(0, )上为“契合函数”，求 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 3
13. 3
14.2 2 3
15.(1)根据题意可知， ( ) = 6 = 38 4，
( ) = ( ) + = ( ) ( | ) + | = 6 × 2 + 2 1 18 7 8 × 7 = 4．
(2) 1爸爸做经验分享的天数 的所有可能取值为 0，1，2，3，4，且 4, 4 ，
4 0 3 1 2 2
故 ( = 0) = C0 3 1 = 814 4 4 256， ( = 1) = C
1 3 1 = 274 4 4 64， ( = 2) = C
2 3 1 27
4 4 4 = 128， ( = 3) =
1 3 0 4
C3 3 14 4 4 =
3 3 1 1
64， ( = 4) = C
4
4 4 4 = 256，
故 的分布列为：
0 1 2 3 4
81 27 27 3 1
256 64 128 64 256
1
根据二项分布的期望公式可知， ( ) = 4 × 4 = 1．
16.解：(1)因为四边形 是正方形，则 ⊥ ，
而平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， 平面 ，
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则 ⊥平面 ，
又 平面 ，于是 ⊥ ，
又 // ，所以 ⊥ ．
(2)解法一：在平面 内过 作 ⊥ ，
由平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ，得 ⊥平面 ，
以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则 0,2,0 、 2,2,0 、 1,0, 3 、 1,1, 3 ，
= 2,0,0 ， = 1, 1, 3 ， = 1,0, 3 ，
设平面 = 2 = 0的法向量为 = , , ，则
,
= + 3 = 0
令 = 1，得 = 0, 3, 1 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
sin = cos , = 3 3 = 2×2 = 4 ，
cos = 1 2 = 13直线 与平面 所成角的余弦值为 4 ．
解法二：取 中点 ，连接 ，
因为 ⊥平面 ， 平面 ，则 ⊥ ，
因为 = 12 ， // ，则 = ， // ，则四边形 为矩形，
则 = = 2 且 ⊥ ， // ，则 = 2 + 2 = 5，
取 的中点 ， 的中点 ，连接 、 ．
因为 为等边三角形， 为 的中点，则 ⊥ ，则 = 2 2 = 4 1 = 3，
因为平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， 平面 ，
所以， ⊥平面 ，且 = 2 + 2 = 1 + 1 = 2，
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因为 平面 ，所以， ⊥ ，则 = 2 + 2 = 3 + 2 = 5，
直线 与平面 所成的角即为直线 与平面 所成的角．
因为 // ， 平面 ， 平面 ，则 //平面 ，
故点 到平面 的距离等于 = 3，设 点到平面 的距离为 ，
由 =
1
，则3 =
1
3 ，
因为 // ， // ，则 // ，
且 = 1 12 = 2 = ，所以，四边形 为平行四边形，则 = = 5，
1且 △ = 2 =
1
2 × 2 × 1 = 1，
在 中， = = 5， = 2，取 的中点 ，连接 ，则 ⊥ ，
所以， = 2 2 = 5 1 = 2 1 1，则则 = 2 = 2 × 2 × 2 = 2，
3
则 = 3 3 2 3 = ，则 sin = = 2 2
= 4 ，
13直线 与平面 所成角的余弦值为 cos = 1 2 = 4 ．
17.(1)由已知，∵ +1 2 = 3 ，
∴ +1 = 3 + 2 ，∴ = 3 ， = +1 +1 +1 3 = 3 + 2 3 × 3 = 2 2 × 3 = 2( 3 ) =
2 ，
又∵ 1 = 5，∴ 11 = 1 3 = 5 3 = 2，
∴ 数列 +1 中任意一项不为 0， = 2，
∴数列 是首项为 2，公比为 2 的等比数列， = 2 × 2 1 = 2 ．
(2)由第(1)问知， = 2 ，
= 2 +1则 2 ，设数列 的前 项和为 ，
3 5 7 2 +1
所以 = 2 + 22 + 23 + . . . + 2 ①，
1 = 3 + 5 + 72 22 23 24 + . . . +
2 +1
2 +1 ②，
所以① ②可得：
1 1
1 1
2 =
3
2+
2 2
22 + 23 + +
2 2 +1 3 2 2 1 2 +12 2 +1 = 2 + ，1 1 2 +12
所以 = 5 (2 + 5)
1
2 ．
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由( 1) < +
2 1，得( 1) < 5 (2 + 5)
1
2 + 2 1，
1
化简得( 1) < 5 1 2 ．
当 为奇数时，有 < 5 1 12 ，即 > 5 ×
1
2 5，
1 1
而 5 × 2 5 = 5 × 2 5 =
5 5
max 2
，所以 > 2；
当 1 1为偶数时，有 < 5 1 2 = 5 5 × 2 ，
5 5 × 1 = 5 5 × 1
2
= 15 15而 2 2 4，所以 < ．min 4
5 , 15综上， 的取值范围为 2 4 ．
18.(1)设 的方程为 2 + 2 = 1( > 0, > 0 且 ≠ )，
1 = 1 1
将 0, 1 , 3, 2 两点代入得 3 + 1 = 1，解得 = 4 , = 1，4
2
故 的方程为 24 + = 1．
(2)依题意，设直线 : = 4, 1, 1 , 2, 2 ，
= 4
联立 2 + 4 2 = 4，消去 整理得
2 + 4 2 8 + 12 = 0，
则 = ( 8 )2 48 2 + 4 > 0，即 2 > 12，且 1 + 2 =
8 12
2+4 , 1 2 = 2+4．
直线 : 1 = 1 1 2 1 +1 + 1 ，直线 : 1 = +1 + 1 ，1 2
1
令 = 0，则 0, 1 +1 + 1 , 0,
2 1
+1 + 1 ，1 2
= 0 1+1 1,0 , +1令 ，则 2 1 1 2 1
1,0 ，
由 3 1 1 2 1 1+1 2+1 = ，得 3 = ，即 3 1+1 +1
= ，2 1 1 2 1
3 3
整理得 3 1 2 1 2 2 1 2 3 1+ 2 +9
= 1 2
，
1+ 2 +1
因为 2 > 12，所以 3 2 36 = 3 2 8 + 16 ，解得 = 72，
2
所以直线 的斜率为7．
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19.解：(1)根据定义，若 ( )与 ( )为“契合函数”，
则 ( ) + ( ) = 0 在公共定义域内有解，
又因为 ( ) = 2 2 2， ( ) = +1， ∈ ，
所以 ( ) + ( ) = 2 2 2 + +1 = 0，
即( + 2 )( ) = 0， = 0，解得 = 1，
所以 ( )与 ( )为“契合函数”．
(2)令 ( ) = ( ) + ( ) = ln 2， ∈ (0, + ∞)，
因为 ( )与 ( )不为“契合函数，
又因为 ( )为(0, + ∞)上的连续函数，
所以 ( )在(0, + ∞)上无零点，即恒为负或恒为正．
①若 ( ) > 0 在(0, + ∞)上恒成立，取 = 1，则 (1) = 1 > 0，即 < 1，
又当 < 1 时， (1 ) = ln(1 ) (1 ) (1 )2 = ln(1 ) (1 )，
令 ( ) = ln ( ) = 1 1 ，所以 ′ 1 = ，
令 ′( ) > 0，解得 0 < < 1，令 ′( ) < 0，解得 > 1，
所以 ( )在(0,1)上单调递增，在(1, + ∞)上单调递减，
所以 ( ) ≤ (1) = 1 < 0，所以 (1 ) < 0，与假设矛盾，
所以不存在 使得 ( ) > 0 在(0, + ∞)上恒成立．
2
②若 ( ) < 0 在(0, + ∞) ln 上恒成立，即 > ，
2
( ) = ln ( ) = 1 ln
2
令 ，所以 ′ 2 ，
又因为 = 1 ln 2在(0, + ∞)上单调递减， ′(1) = 0，
所以当 0 < < 1 时， ′( ) > 0，当 > 1 时， ′( ) < 0，
所以 ( )在(0,1)上单调递增，在(1, + ∞)上单调递减，
所以 ( )max = (1) = 1，所以 > 1，即 的取值范围是( 1, + ∞).
(3)令 ( ) = ( ) + ( ) + sin ，则 ( ) = ，
因为 ( )与 ( )在(0, )上为“契合函数”，
所以 ( )在(0, )上存在零点，
即 ( ) = + sin 在(0, )上存在零点，
又因为 ′( ) = ( + 1) + cos ，
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当 1 ≤ < 0 且 ∈ (0, )时，
因为( + 1) > 1，| cos | < | | ≤ 1，
所以 ′( ) > 0，所以 ( )在(0, )上单调递增，则 ( ) > (0) = 0，
此时 ( )在(0, )上不存在零点，不满足题意;
当 < 1 时，当 ∈ [ 2 , )时， 1 < cos ≤ 0，所以 ′( ) > 0，
当 ∈ (0, 2 )时，令 = ′( ) = ( + 1)
+ cos ，
则 ′ = ( + 2) sin > 0，
所以 ′( )在(0, 2 )上单调递增，且 ′(0) = 1 + < 0， ′(
) = ( 22 2 + 1) > 0，
故 ′( ) (0, 在 2 )上存在唯一零点，设为 0，使得 ′( 0) = 0，
所以当 ∈ (0, 0)时， ′( ) < 0;当 ∈ ( 0,
2 )时， ′( ) > 0;
又当 ∈ [ 2 , )时， ′( ) > 0，
所以 ( )在(0, 0)上单调递减，在( 0, )上单调递增，
所以 ( )在(0, )上存在唯一极小值点 0，
因为 (0) = 0，所以 ( 0) < 0，
又因为 ( ) = > 0，所以 ( )在(0, )上存在唯一零点 1，
所以函数 ( )与 ( )在(0, )上为“契合函数”．
综上， 的取值范围是( ∞, 1)．
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