2024-2025 学年河南省信阳市高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 2.已知 为虚数单位，则复数1+ =( )
A. 1 + B. 1 C. 1 D. 1
2 .化简 cos( 3 + )sin(
6 ) + cos(
6 )sin(
3 + )的值等于( )
A. 32 B. 1 C. 0 D.
1
2
3.已知向量 ， 5 的夹角为 6，且| | = 2 3|
|，则 在 上的投影向量为( )
A. 3 B. 3 C. 3 D. 3
4.函数 = sin( 3
1
2 )， ∈ [ 2 , 2 ]的单调递增区间是( )
A. [ , 5 3 3 ] B. [ 2 ,
3 ]
C. [ 5 3 , 2 ] D. [ 2 ,
3 ] [
5
和 3 , 2 ]
5.已知向量 ， 满足 = (1,2)， = ( 2, )，且 // ，则| + | =( )
A. 5 B. 4 C. 5 D. 5 2
6.已知函数 ( ) = tan(2 3 )，则下列说法错误的是( )
A.函数 ( ) 的最小正周期为 = 2
B.函数 ( )的定义域为{ | ≠ 5 12 +
2 , ( ∈ )}
C.函数 ( ) 的图象的对称中心为( 6 + 2 , 0)，( ∈ )
D. ( ) ( 5 函数 的单调递增区间为 12 + 2 , 12 + 2 )， ∈
7.将函数 ( ) = 3 1图象上所有点的横坐标缩小为原来的2 (纵坐标不变)，再将所得曲线上所有
的点向左平移 ( > 0)个单位长度，得到函数 ( )的图象，若 ( )的图象关于 轴对称，则 的最小值是( )
A. 5 5 12 B. 6 C. 3 D. 6
8.在△ ，中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，且面积为 ，若 + = ， = 14 (
2 + 2 2)，
则角 等于( )
A. 2 B.
3 C. 4 D. 6
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9 2+11 .已知 是虚数单位，复数 = 2+ ，则下列说法正确的是( )
A.复数 的虚部为 4 B. = 3 4
C. | | = 5 D. 在复平面内对应的点在第二象限
10.信阳是中国十佳宜居城市之一，气候宜人，环境优美.如图是信阳市夏季某一天的温度变化曲线，若该曲
线近似地满足函数 = ( + ) + (0 < < )， ∈ 的部分图象，则下列说法正确的是( )
A.该函数的周期是 16
B.该函数的解析式是 = 10 ( + 3 8 4 ) + 20, ∈
C.该函数图象的对称中心是(8 6,0)( ∈ )
D.该函数图象的对称轴是直线 = 8 2( ∈ )
11.在△ 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，则( )
A.若 > ，则 2 > 2
B.若 △ = 1， = 1，则
8
最大值为17
C. 若 = 2 3， = 4， = 4，则满足条件的三角形有两个
D. ( +
1
若 ) = 0，且 = 2，则△ 为等边三角形| | | | | | | |
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.如图，在△ 中， 是 上靠近 的一个三等分点， = ， = ，则
可以用 ， 表示为______．
13 .若 是三角形的一个内角，且函数 = 2 (3 + )在区间[ 9 , 12 ]上单调递增，
则 的取值范围为______．
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14.已知函数 ( ) = 2 + 1 2 2 (0 < ≤ 1) 的图象关于直线 = 12对称，若方程 ( ) = ( ∈
) [0, 在 4 ]上恰有 1 个实数根，则 的取值范围是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知向量 = ( , )， = (3, 3)， ∈ [0, ]．
(1)若 ⊥ ，求 的值；
(2)记 ( ) = + 1，求 ( )的最大值和最小值以及对应的 的值．
16.(本小题 15 分)
如图，在平面直角坐标系 中，以 轴正半轴为始边的锐角 与钝角 的终边与单位圆分别交于点 ， 两点，
轴正半轴与单位圆交于点 ，已知 = 5△ ，点 的纵坐标是
2．
5 10
(1)求 cos( )的值；
(2)求 2 的值．
17.(本小题 15 分)
近年来，信阳市大别山区认真践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市
场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以鳄鱼、娃娃鱼等养殖为主方向的产业发展之路.某鳄
鱼养殖场为扩大养殖规模，计划在如图所示的扇形区域 内修建矩形水池 ，矩形一边 在 上，
点 在圆弧 上，点 在边 上，且∠ = 3， = 60 米，设∠ = ．
(1)求扇形 的面积；
(2)( )若矩形 的面积 ( )是关于 的函数，求 ( )的解析式；
( )当 为何值时， ( )取得最大值，并求出这个最大值．
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18.(本小题 17 分)
在△ 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 2 ( + ) = ．
(1)求 ；
(2)若△ 为锐角三角形，且 = 3，求 2 + 2 + 3 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
若函数 ( ) + ( )+ ( )在定义域区间[ , ]上连续，对任意 1， 2 ∈ [ , ]恒有 ( 1 2 1 22 ) ≥ 2 ，则称函数 ( )是
+ ( )+ ( )
区间[ , ]上的上凸函数，若恒有 ( 1 2 1 22 ) ≤ 2 ，则称函数 ( )是区间[ , ]上的下凸函数，当且仅
当 1 = 2时等号成立，这个性质称为函数的凹凸性.上述不等式可以推广到取函数定义域中的任意 个点，
+ +…+ ( )+ ( )+…+ ( )
即若 ( )是上凸函数，则对任意 1， 2… ∈ [ , ]恒有 ( 1 2 1 2 ) ≥ ，若 ( )是下
凸函数，则对任意 1， 2，…， ∈ [ , ] (
1+ 2+…+ ) ≤ ( 1)+ ( 2)+…+ ( 恒有 ) ，当且仅当 1 = 2 = … =
时等号成立.应用以上知识解决下列问题：
(1)判断函数 ( ) = 2 + + ( ≠ 0, ∈ )， ( ) = ， ∈ (0, )在定义域上是上凸函数还是下凸函
数；(只写出结论，不需证明)
(2)利用(1)中的结论，在△ 中，求 + + sin( + )的最大值；
(3)证明函数 ( ) = 1 2
2
( ≤ 0)是上凸函数．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. = 2 1 3 + 3
13.(0, 4 ]
14.{ | 12 ≤ <
3
2 或 = 1}
15.解：(1) ∵向量 = ( , )， = (3, 3)， ∈ [0, ]， ⊥ ，
∴ 3 3 = 0．
若 = 0，
则 = 0，与sin2 + cos2 = 1 矛盾，故 ≠ 0．
于是 = 3，又 ∈ [0, ]， = 3；
(2) ( ) = + 1
= ( , ) (3, 3) + 1
= 3 3 + 1
= 2 3cos( + 6 ) + 1(或 ( ) = 2 3sin(
3 ) + 1 或其它表达式)，
∵ ∈ [0, ] ， + 6 ∈ [
, 7 6 6 ]，
∴ 1 ≤ cos( + ) ≤ 36 2 ，
∴当 + = 6 6，即 = 0 时， ( )取到最大值 4；
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当 + 5 6 = ，即 = 6时， ( )取到最小值 1 2 3．
16.解：(1)由题意， = 1，设 ( , )，
∵ 5△ = 5 ，且 为锐角，
∴ = 1 1 5△ 2 · = 2 = 5 ，
∴ =
2 5
5 ，
∴ sin = = 2 51 5 , cos = 1 sin
2 = 55 ，
2
又点 的纵坐标是10， 为钝角，
∴ 2 7 2在单位圆上， = 10 , = 10 , = 1，
∴ = = 2 10 , =
7 2
= 10 ，
∴ cos( ) = +
5 7 2 2 5 2
= 5 × ( 10 ) + 5 × 10
= 1010 ；
(2) ∵ 2 = 2 2 1 = 2 × ( 5 )25 1 =
3
5，
2 = 2 = 2 × 2 5 × 5 = 45 5 5，
∴ 2 ∈ ( 2 , )，
∵ ∈ ( 2 , )，
∴ 2 ∈ ( 2 ,
2 )，
∴ sin(2 ) = sin2 cos cos2 sin
= 45 × (
7 2 3 2
10 ) ( 5 ) × 10 =
2
2 ，
故 2 = 4．
17.解：(1) 依题意，∠ = 3，扇形半径 = 60 米，
则扇形 1 的面积为 22 × 3 × 60 = 600 (平方米)；
(2)( )在 △ 中， = 60 ， = 60 ，
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在 △ 3中， = = 60 ，则 = 3 = 3 × 60 ，
∴ = = 60 20 3 ，
则矩形 的面积 ( ) = = 60 (60 20 3 )
3 1 1
= 1200 3( 3 sin2 ) = 1200 3( 2 2 + 2 2 2 )
= 1200 3sin(2 + 6 ) 600 3(0 < <
3 )，
即有 ( ) = 1200 3sin(2 + 6 ) 600 3(0 < < 3 )；
(ⅱ)由 0 < < 5 3，得6 < 2 + 6 < 6，则当 2 +
6 =
2，
即 = 6时，[ ( )] = 600 3．
∴当 = 6时， ( )取得最大值，最大值为 600 3平方米．
18.解：(1)因为 2 ( + ) = ，
由正弦定理得：2 ( + ) = 2 ( + ) = 2 = ，
又在△ 中， ∈ (0, )，所以 ≠ 0，
所以 = 12，
所以 = 3；
(2) (1) = 3 + = = 2 结合 可得 2 ， 3，
= 3 由 ，则根据正弦定理： = = = 2，
可得 = 2 ， = 2 ，
根据余弦定理有 2 = 2 + 2 2 ，得 2 + 2 = 3 + ，
2
所以 2 + 2 + 3 = 3 + 4 = 3 + 16 = 3 + 16 ( 3 )
= 3 + 8 3 + 8 2 = 7 + 4 3 2 4 2 = 7 + 8 (2 6 )，
又△ 为锐角三角形，
0 < < 2
可得 ，
0 < = 2 3 < 2
得 ∈ ( 6 , 2 )，
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2 ∈ ( , 5 所以 6 6 6 )，
1
所以 sin(2 6 ) ∈ ( 2 , 1],
故 2 + 2 + 3 = 7 + 8 (2 6 ) ∈ (11,15]．
19.解：(1) > 0 时， ( )是下凸函数， < 0 时， ( )是上凸函数；
( )是上凸函数；
(2)由(1)知函数 = ， ∈ (0, )上是凸函数，
在△ 中 + + = ，
所以 + + sin( + ) = + + ，
+ + ≤ sin + + 3由上凸函数性质知 3 3 = sin 3 = 2 ，
3 3
即有 + + ≤ 2 ，当 = = =
3时等号成立，
所以 + + sin( + ) 3 3最大值为 2 ；
(3)证明：函数 ( )的定义域为(0, + ∞)，
要证明 ( )是上凸函数，
即证对任意 1， 2 ∈ (0, + ∞)，
( 1+ 2 ) ≥ ( 1)+ ( 2)2 2 ，
( 1)+ ( 2) ( 1+ 因为 22 2 )
= 1 [ (ln 1 + ln 1 ) ( 2 + 2) 2( 1 + 1 )] [ 2 ( 1+ 2 )2 42 1 1 22 1 2 +
]
1 2 2 1+ 2
1 2 1
= [ ln( ) ln ] [ ( 2
+ + 4
2 1 2 + 2 1 +
2) ( 1 2 2 1 22 2 ] ] [1 2 1
]
2 1 + 2
= 2 1 2 ( 1 2)
2 ( 1+ 2)2 4 1 2
1+
4 2 1 2( 1+ 2)
= [ 2 1 2 + ( 1 2)
2
+ ( 1 2)
2
1+ 2 4 1 2( + )
]．
1 2
因为 1， 2 ∈ (0, + ∞)，
所以 1 2 > 0， 1 + 2 > 0，
( )2 ( )2
所以 1 24 ≥ 0，
1 2
1 2( 1+
≥ 0，
2)
由基本不等式知， 1 + 2 ≥ 2 1 2 > 0，
2
所以 0 < 1 2 + ≤ 1，1 2
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所以 ln 2 1 2 + ≤ 0，1 2
又 ≤ 0 2 1 ，所以 2 1+
≥ 0，
2
( 1)+ ( 2) ( 1+ 所以 22 2 ) ≤ 0，
( 1+ 2 ) ≥ ( 1)+ ( )即有 22 2 ，
所以 ( ) = 1 2
2
( ≤ 0)是上凸函数．
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