2024-2025 学年山西省实验中学高二（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若随机变量 ～ (10,0.6)，则 (2 1) =( )
A. 4.8 B. 2.4 C. 9.6 D. 8.6
2 ( 1. 5 + 1) 展开式中的常数项为( )
A. 1 B. 11 C. 19 D. 51
3.等差数列{ }的首项为 1，公差不为 0，若 2， 3， 6成等比数列，则 8 =( )
A. 15 B. 15 C. 13 D. 13
4.男、女各 3 名同学排成前后两排合影留念，每排 3 人，若每排同一性别的两名同学不相邻，则不同的排
法种数为( )
A. 36 B. 72 C. 144 D. 288
5 2.运动员甲和乙进行男子羽毛球单打比赛，比赛规则是 3 局 2 胜制.假设甲每局获胜的概率为3，则由此估计
甲获得冠军的概率为( )
A. 2 B. 4 C. 16 D. 203 9 27 27
2 2
6.双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)其中 ∈ {1,2,3,4}， ∈ {1,2,3,4}，且 ， 取到其中每个数都是等可能
的，则直线 ： = ：与双曲线 左右支各有一个交点的概率为( )
A. 1 B. 34 8 C.
1 5
2 D. 8
7.函数 ( )是定义在 上的偶函数，其导函数为 ′( )，且当 ≤ 0 时，2 ( ) ′( ) < 0，则不等式 (
2025) ( 1)( 2025)2 < 0 的解集为( )
A. ( ∞,2026) B. (2024,2026)
C. ( ∞,2026) ∪ (2024, + ∞) D. ( ∞,2024) ∪ (2026, + ∞)
8.假设某种疾病在所有人群中的感染率是 0.1%，医院现有的技术对于该疾病检测的准确率为 99%，即已知
患病情况下，99%的可能性可以检查出阳性，正常人 99%的可能性检查为正常.如果从人群中随机抽一个人
去检测，经计算检测结果为阳性的全概率为 0.01098，请你用贝叶斯公式估计在医院给出的检测结果为阳性
的条件下这个人得病的概率为( )
A. 0.1% B. 8% C. 9% D. 99%
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.一个袋子中有 5 个大小相同的球，其中红球 3 个，白球 2 个，现从中不放回地随机摸出 3 个球作为样本，
用随机变量 表示样本中红球的个数，用随机变量 ( = 1,2,3)表示第 次抽到红球的个数，则下列结论中正
确地是( )
A. 3 2的分布列为 ( = ) = ( 3 3 5 ) ( 5 ) , = 1,2,3
B. 9的期望 ( ) = 5
C. ( 2 = 1) =
4
5
D. ( 1 = 1|
1
2 = 1) = 2
10.某学校共有 6 个学生餐厅，甲、乙、丙、丁四位同学每人随机地选择一家餐厅就餐(选择到每个餐厅概
率相同)，则下列结论正确的是( )
A. 5四人去了四个不同餐厅就餐的概率为18
B. 1四人去了同一餐厅就餐的概率为1296
C. 25四人中恰有 2 人去了第一餐厅就餐的概率为216
D. 2四人中去第一餐厅就餐的人数的期望为3
11.若(2 1)10 = 0 + 1 + 2 102 + + 10 , ∈ ，则( )
A. 2 = 180 B. | 0| + | 1| + | 2| + | 10| = 310
10
C. 0 +
1 3 1 2 3 10
2 + + 10 = 2 D. 2 + 22 + 23 + + 210 = 1
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知随机变量 ～ (2, 2)( > 0)，若 ( < 4) = 0.8，则 (2 < < 4) = ______．
13.22025除以 7 的余数为 ．
14 3.山西省实验中学开展“阳光体育大课间”活动，通过抽样调查发现，活动首日有4的学生选择“球类”，
1
其余的学生选择“田径”；在前一天选择“球类”的学生中，次日会有3的学生继续选择“球类”，其余的
1
选择“田径”；在前一天选择“田径”的学生中，次日会有2的学生继续选择“田径”，其余的选择“球类”.
用频率估计概率，则第二天参加“球类”的概率 2 = ______，第 天选择“球类“的概率 = ______(用含
的式子表示)．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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15.(本小题 13 分)
设等差数列{ }的前 项和为 ，且 = 2 + 2 ．
(1)求{ }的通项公式；
(2)若 =
4
，求数列{ }的前 项和 ． +1
16.(本小题 15 分)
为增强学生的法制意识，打造平安校园，某高中学校组织全体学生开展了“智慧法治，平安校园”知识竞
赛，根据成绩，制成如下统计图．
(1)以频率估计概率，从该校学生中随机抽取 3 人，用 表示成绩在[60,80)的人数，求 的分布列和方差；
(2)用按比例分层抽样的方法从成绩在[80,90)，[90,100]的两组中共抽取 7 人，再从这 7 人中随机抽取 4 人，
记 为这 4 人中成绩落在[80,90)的人数，求 的数学期望．
17.(本小题 15 分)
2
焦点在 轴上的椭圆，离心率为 2 ，短轴长为 2．
(1)求该椭圆的标准方程；
(2)过椭圆的左、右焦点 1， 2，分别向斜上方作斜率为 1 的两条射线，依次交椭圆的上半部分于点 ， ，
求四边形 1 2的面积．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = + ，其中 为自然对数的底数．
(1)当 = 0 时，求函数 ( )的单调区间；
(2) 1证明：当 = 2时，函数 ( ) = ( ) + 在(0, + ∞)上有两个零点．
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19.(本小题 17 分)
2025 年高三数学适应性考试中选择题有单选和多选两种题型组成.单选题每题四个选项，有且仅有一个选项
正确，选对得 5 分，选错得 0 分；多选题每题四个选项，有两个或三个选项正确，全部选对得 6 分，部分
选对得部分分，有错误选择或不选择得 0 分，具体得分的规则为：若正确答案为三个，那么选对一个得 2
分，选对两个得 4 分，选对三个得 6 分：若正确答案有两个选项，那么选对一个得 3 分，选对两个得 6 分．
(1)已知某同学对其中 4 道单选题完全没有答题思路，只能随机选择一个选项作答，且每题的解答相互独立，
记该同学在这 4 道单选题中答对的题数为随机变量 ．
( )求 ( = 3)；
( )求使得 ( = )取最大值时的整数 ；
(2)若该同学在解答最后一道多选题时，除确定 ， 选项不能同时选择之外没有答题思路，只能随机选择若
1
干选项作答.已知此题正确答案是两个选项与三个选项的概率均为2．
( )求该同学只选 A 时得分 的分布列和数学期望．
( )求该同学在答题过程中使得分期望最大的答题方式，并写出得分的最大期望．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.0.3
13.1
14.3 3+ 98 7 28 × (
1 ) 16
15.解：(1)当 = 1 时， 1 = 1 = 1 + 2 = 3，
当 ≥ 2 时， 2 = 1 = ( + 2 ) [( 1)2 + 2( 1)] = 2 + 1，
1 = 3 也满足 = 2 + 1，
故 = 2 + 1；
(2) = 4 1 1 (2 +1)(2 +3) = 2( 2 +1 2 +3 )，
1 1 1 1 1 1
= 1 + 2 + + = 2[(3 5 ) + (5 7 ) + … + (2 + 1 2 + 3 )]
= 2( 1 1 ) = 4 3 2 +3 6 +9．
16.解：(1)由图知(0.005 + 0.01 + 0.015 + + 0.04) × 10 = 1，解得 = 0.03，
1
因为成绩在[60,80)的概率估计为 0.1 + 0.15 = 0.25 = 4，
所以 ～ (3 1．4 )，
所以 的分布列为 ( = ) = 3(
1 1 3
4 ) (1 4 ) ， = 0，1，2，3，
所以 ( ) = 3 × 1 1 94 × (1 4 ) = 16；
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(2)因为成绩在[80,90)，[90,100]的频率之比为 0.3：0.4 = 3：4，
所以抽取的 7 人中，有 3 个在[80,90)，4 个在[90,100]，
则 ～ (4,3,7)，
4
所以 ( = ) = 3 44 ， = 0，1，2，3， 7
所以 ( ) = 4 × 3 = 127 7．
2 2
17.解：(1) 因为椭圆的焦点在 轴上，故可设椭圆的标准方程为
2 + 2 = 1( > > 0)．
由离心率为 2，短轴长为 2，可知 = 2，2 = 2， 2 = 2 + 2，2 2
解得 = 2， = 1， = 1．
2
故椭圆的标准方程是 + 22 = 1．
(2)椭圆的左、右焦点是( ± 1,0)，延长 2交椭圆于另一点 ，连接 2 ， ．
利用椭圆的对称性可知| 1| = | 2|，故 △ 1 2 = △ 2，
则 四边形 1 = + 2 △ 1 2 △ 2 = △ 2 + △ 2 = △ ．
= 1, 4 1
易知直线 的方程为 = 1，与椭圆联立方程组 2 ( , )，+ 2 = 1 3 3 (0, 1) =
4 2．
3
2
而点 到直线 = 1 的距离等于点 1到直线 = 1 的距离 = 2，
从而 = 1 × 4 2 4△ ，故四边形
4
的面积为 ．
2 3 × 2 = 3 1 2 3
18. 解：(1) = 0 时， ( ) = ，
( ) 1 的定义域是(0, + ∞)， ′( ) = 2 ，
令 ′( ) > 0，可得 0 < < ，令 ′( ) < 0，解得： > ，
故 ( )在(0, )递增，在( , + ∞)递减；
(2) 1证明：当 = 2时， ( ) =
2 + + ，
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函数 ( )的定义域是(0, + ∞)，
则 ′( ) = (1 + )( 1
2)，
令 1′( ) = 0，得 =
2，
设 ( ) = 1 2 ，显然函数 ( )在(0, + ∞)上递减，
又 (1) > 0， (2) < 0 1，故存在唯一 0 ∈ (1,2)，使得 0 2 = ，0
则 ( )在(0, 0)上递增，在( 0, + ∞)上递减，
∵ ( 0) = 20 0 + 0 + 0 = 0 + 0 1 > 0，
( 2) < 0 1， ( ) < 0，
∴ ( )在(0, + ∞)上有 2 个零点．
19.解：(1)( ) 1 1 3 3因为 ～ (4, )，所以 ( = 3) = 3 34 4( 4 ) × 4 = 64；
( ) ( = ) = ( 1 ) ( 3
( = ) ≥ ( = + 1)
因为 4 4 4 )
4 ， = 0，1，…，4.依题意 ( = ) ≥ ( = 1)，
( 1 ) ( 3 )4 ≥ +1( 1 ) +1( 3 )3 4 4 4 4即 4 4 ，
( 1 ) ( 3 )4 ≥ 1( 1 ) 1( 3 )5 4 4 4 4 4 4
1
解得4 ≤ ≤
5
4又 为整数，所以 = 1，即 = 1 时 ( = )取最大值；
(2)由题知， ， 选项不能同时选择，故该同学可以选择单选、双选和三选．
1 1 1
正确答案是两选项的可能情况为 ， ， ， ， ，每种情况出现的概率均为2 × 5 = 10，
1 1 1
正确答案是三选项的可能情况为 ， ，每种情况出现的概率为2 × 2 = 4，
( ) = ( ) = 3 × 1 × 3+ 1 12若该同学做出的决策是单选，则得分的期望如下： 10 4 × 2 × 3 = 5 (分)，
( ) = ( ) = 3 × 110 × 2 + 1 ×
1
4 × 3 =
27
20 (分)，
若该同学做出的决策是双选，则得分的期望如下：
( ) = ( ) = ( ) = ( ) = 1 1 2710 × 6+ 4 × 3 = 20 (分)，
( ) = 1 1 2110 × 6 + 4 × 2 × 3 = 10 (分)．
1 3
若该同学做出的决策是三选，则得分的期望如下： ( ) = ( ) = 4 × 6 = 2 (分)．
12
经比较，该同学选择单选 A 或单选 C 的得分期望最大，最大值为 5分．
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