四川省成都市锦江区嘉祥外国语学校2024年中考三模数学试题
1．（2024·锦江模拟）的相反数是（ ）
A． B．2024 C． D．
2．（2024·锦江模拟）今年“五一”假期，文旅热潮席卷全国，成都更是“热力十足”，成都市文广旅局数据显示，“五一”假期成都接待游客万人次，将数据用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·锦江模拟）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·锦江模拟）如图，在平行四边形中，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·锦江模拟）义务教育课程标准年版首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并作出明确规定某班有名学生已经学会炒的菜品的种数依次为：，，，，，，则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
6．（2024·锦江模拟）刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，已知⊙的半径为2，则⊙的内接正六边形的面积为（ ）
A．6 B． C． D．
7．（2024·锦江模拟）现用95张纸板制作一批盒子，每张纸板可做4个盒身或做11个盒底，而一个盒身和两个盒底配成一个完整的盒子．问用多少张纸板制盒身、多少张纸板制盒底，可以使盒身和盒底正好配套，设用x张纸板做盒身，y张纸板做盒底，可以使盒身与盒底正好配套，则可列方程是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024·锦江模拟）已知二次函数的对称轴为直线，与x轴的一个交点B的坐标为，其图象如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若点，是函数图象上的两点，则
9．（2024·锦江模拟）分解因式：2x2﹣8=
10．（2024·锦江模拟）已知平面直角坐标系中，点与点关于x轴对称，则 ．
11．（2024·锦江模拟）如图，与位似，点O为位似中心，已知，则与的面积比为 ．
12．（2024·锦江模拟）若分式，则 ．
13．（2024·锦江模拟）如图，在中，，分别以点 A和点 B为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于 M，N两点，作直线，分别交于点 D，E，连接． 若，则等于 ．
14．（2024·锦江模拟）（1）计算：
（2）解不等式组：
15．（2024·锦江模拟）“科技筑梦，智绘蓝图”嘉祥科技体验日活动成功举办，学校对满意度进行了随机在线问卷调查，调查结果分为四类：A．非常满意；B．很满意；C．一般；D．不满意，将收集到的信息进行了统计，绘制成不完整的统计表和统计图（如图所示）．请你根据统计图表所提供的信息解答下列问题：
频数分布统计表
类别 频数 频率
A 60 n
B m 0.4
C 90 0.3
D 30 0.1
（1） ； ，并补全条形统计图；
（2）若嘉祥学校共有学生约 3600人，请你根据上述调查结果，估计该校对此次科技活动满意度为A类和 B类的学生共有多少人；
（3）为改进活动，学校决定从选填结果是D类的学生中，选取甲、乙、丙、丁四人，随机抽取两名同学参与座谈会，求甲、乙两名同学同时被抽中的概率．
16．（2024·锦江模拟）脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图1 是政府给贫困户新建的房屋，如图2是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上C点测得屋顶A的仰角为，此时地面上 C点、屋檐上E点、屋顶上 A 点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点 D时，又测得屋檐E点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交 于点G（点 C，D，B在同一水平线上）．
（1）求屋顶到横梁的距离（结果精确到）；
（2）求房屋的高（结果精确到）．（参考数据）
17．（2024·锦江模拟）如图，为的直径，为上一点，连接，为延长线上一点，连接，且．
（1）求证： 是的切线；
（2）若的半径为5，的面积为24，为上一点，连接交线段于点，若，求的长．
18．（2024·锦江模拟）如图1，反比例函数 与一次函数的图象交于点 ，点，一次函数与y轴相交于点 C．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）连接、，在x轴上是否存在一点D使的面积是面积的2倍，请求出点D的坐标；
（3）如图2，点E是反比例函数图象上A点右侧一点，连接，把线段绕点A顺时针旋转，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标．
19．（2024·锦江模拟）已知，化简求值： ．
20．（2024·锦江模拟）已知：、是方程的两根，则 ．
21．（2024·锦江模拟）如图，，点C在射线 上，且 点 D为射线 上一点 （不与点O重合），点 E为线段 上一点（不与点C，D重合），交 于点 F，交于点 G，当点 D在 上运动时，始终保持 ，则 的值为 ．
22．（2024·锦江模拟）如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“正巧数”．例如：，因此8，16，24都是“正巧数”． m、n为正整数，且，若是“正巧数”，则的值为 ．
23．（2024·锦江模拟）如图，，点 P在射线上，且，点 Q是射线 上一动点． 将沿折叠，点O落在平面内点 C处．点 D在射线上，且，则的最小值为 ．
24．（2024·锦江模拟）某商场有A、B两种商品，一件B商品的售价比一件A商品的售价多5元，若用1500元购进A种商品的数量恰好是用900元购进B种商品的数量的2倍.
（1）求A、B两种商品每件售价各多少元；
（2）B商品每件的进价为20元，按原售价销售，该商场每天可销售B种商品100件，假设销售单价每上涨一元，B种商品每天的销售量就减少5件，设一件B商品售价a元，B种商品每天的销售利润为W元，求B种商品销售单价a为多少元时，B种商品每天的销售利润W最大，最大利润是多少元？
25．（2024·锦江模拟）如图，函数 的图象经过点 ，两点，m、n分别是方程 的两个实数根，且m
（2）设抛物线 与x轴的另一个交点为 C，抛物线的顶点为 D，连接． 求证： ；
（3）对于（1）中所求的函数 设函数y在内的最大值为p，最小值为q，若，求t的值．
26．（2024·锦江模拟）某校数学兴趣学习小组在一次活动中，对一些特殊几何图形具有的性质进行了如下探究：
（1）发现问题：如图1，在等腰中，，点是边上任意一点，连接，以为腰作等腰，使，，连接．求证：．
（2）类比探究：如图2，在等腰中，，，，点是边上任意一点，以为腰作等腰，使，．在点运动过程中，是否存在最小值？若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由．
（3）拓展应用：如图3，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，是正方形的中心，连接．若正方形的边长为，，求的面积．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：的相反数是．
故答案为：A．
【分析】根据相反数的定义"只有符号不同的两个数互为相反数"即可求解．
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：B．
【分析】科学记数法是指，任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a×10n的形式，其中，n=整数位数-1.根据科学记数法的意义即可求解.
3．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A. 与不是同类项不能合并，故此选项计算错误，不符合题意；
B. ，故此选项计算错误，不符合题意；
C. ，故此选项计算错误，不符合题意；
D. ，计算正确，符合题意，
故答案为：D
【分析】利用合并同类项、完全平方公式、平方差公式及单项式除以单项式的计算方法逐项判断即可。
4．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
5．【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：数据按从小到大排列、 、、、、、，其中出现3次，次数最多，所以这组数据的众数为，中位数为3.
故答案为：C.
【分析】根据众数和中位数的定义求解即可.
6．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，连接、
由题意可得：
∵
∴为等边三角形，
∴
过点作于点，则
在R中，
∴
∴⊙的面积约为
故答案为：B．
【分析】连接、，根据正多边形和圆的关系可得为等边三角形，过点作于点，再Rt△AOM中，用勾股定理即可求出长，然后由三角形的面积公式S=底×高×可求出的面积，最后用⊙的内接正六边形ABCDEF的面积为计算即可求解.
7．【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵制作盒身和制作盒底的纸板共95张，
∴；
∵每张纸板可做4个盒身或做11个盒底，且一个盒身和两个盒底配成一个完整的盒子，
∴．
∴根据题意可列方程组．
故答案为：D．
【分析】由题意，根据题中的两个相等关系“制作盒身的张数+制作盒底的张数=95，盒身的总数量×2=盒底的总数量”即可列出关于x，y的二元一次方程组，结合各选项即可判断求解．
8．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：A、∵二次函数图象开口向上
∴，
∵图象与y轴交于负半轴
∴，
对称轴是直线
，
，
∴此选项不符合题意；
B、∵与x轴的一个交点B的坐标为，
∴
将代入得，，
∴此选项符合题意；
C、二次函数与轴有两个交点，
，即，
∴此选项不符合题意；
D、二次函数的图象与轴的一个交点为，对称轴是直线x=-1，
∵对称轴为直线，
∴，
∴此选项不符合题意.
故答案为：B．
【分析】A、由函数图象的开口方向可得，与y轴的交点的位置可得，根据对称轴在y轴的左侧可知a、b同号，即b＞0，然后由两数相乘同号得正异号得负可判断求解；
B、把代入二次函数的解析式可得，结合A的结论b=2a可判断求解；
C、根据二次函数与轴有两个交点可得b2-4ac＞0可判断求解；
D、根据抛物线的对称性，比较两点到对称轴的距离可判断求解．
9．【答案】2（x+2）（x﹣2）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：2x2﹣8=2（x+2）（x﹣2）．
【分析】观察原式，找到公因式2，提出即可得出答案．
10．【答案】5
【知识点】坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：∵点与点关于x轴对称，
点A与点B的横坐标相同，纵坐标互为相反数，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特征"横坐标相同，纵坐标互为相反数"可求得a、b的值，把a、b的值代入所求代数式计算即可求解．
11．【答案】
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
与位似，
与的位似比为，
与的相似比为，
与的面积比为，
故答案为：．
【分析】根据位似图形的概念求出与的相似比，再根据相似的性质，面积比等于相似比的平方计算即可求解．
12．【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：
去分母得，
解得
检验：将代入
∴原方程的解为．
故答案为：．
【分析】由题意，先去分母将原分式方程化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可求解．
13．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】 【解答】解：根据题意，垂直平分，
∴点D是的中点，，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】根据题意，由垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”和直角三角形的性质“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得AD=BD=CD，由等边对等角可得∠DCB=∠B，由三角形外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”得∠DEB=∠DCB+∠CDE可将∠DEB用含∠CDE的代数式表示出来，根据直角三角形两锐角互余可得关于∠CDE的方程，解方程求出∠CDE的度数，于是由∠B=2∠CDE求出∠B的度数，然后根据直角三角形两锐角互余可求解．
14．【答案】解：（1）
；
（2）
解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为：
【知识点】解一元一次不等式组；求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
15．【答案】（1）120，0.2，
补全图形如下：
（2）解：(人)．
答∶估计该校学生中类和类共有人．
（3）解：由题意，列表如下∶
甲 乙 丙 丁
甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁）
乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁）
丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁）
丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙）
共有种等可能结果，其中甲、乙两位同学同时被抽中的结果有种．
P甲乙
答∶甲、乙两位同学同时被抽中的概率为．
【知识点】条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）由统计表知，C组的频数为90，频率为0.3，
∴接受问卷调查的学生有：(人)，
(人)．
故答案为：120；0.2.
【分析】
（1）由统计表知，C组的频数和频率，根据样本容量=频数÷频率可求得接受问卷调查的学生人数；根据频数=样本容量×频率可求得m的值；根据各小组频率之和等于1可求得n的值，根据的数值补全条形图；
（2）用样本所占百分比估计总体即可求解；
（3）由题意列出表格，根据表格中的信息可知，共有12种等可能结果，其中甲、乙两位同学同时被抽中的结果有2种．然后根据概率公式计算即可求解．
16．【答案】（1）解：房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线，，
，
，
，
在中，，，，
，
，
答：屋顶到横梁的距离约为3.5米
（2）如图2，过作于，设，
在中，，，
，
，
在中，，，
，
，
米，，
，
解得：，
四边形为矩形，
米，
（米．
答：房屋的高约为10米
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）根据题意得到，，，在Rt△AGE中，根据锐角三角函数tan∠AEG=可求解；
（2）过作于，设，在Rt△EDH中，根据锐角三角函数tan∠EDH=可将DH用含x的代数式表示出来，在Rt△EDH中，根据锐角三角函数tan∠ECH=可将CH用含x的代数式表示出来，然后由线段的和差CH-DH=CD可得关于x的方程，解方程求出x的值，然后由线段的和差AB=AG+BG可求解．
17．【答案】（1）证明：连接．
∵是的直径，
∴，
∴.
∵，
∴．
又∵，
∴．
∴，
∴．
又为半径，
∴是切线
（2）分别过点作、，垂足分别为，连接．
∵的半径为5，
∴．
又的面积为24，
∴×AB×CH=24，
即×10×CH=24，
解得：．
由题意，知，
又，
∴．
∵，
∴，则．
设，则．
根据勾股定理，得．
由，
∴，
∴，
即，
则，
解得（舍去），
∴，
故，
∴．
∴
【知识点】圆周角定理；切线的判定；解直角三角形；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）连接，根据直径所对的圆周角是直角得，可得，再根据等边对等角得，可知，进而得出答案；
（2）作、，连接，根据的面积为24可得关于CH的方程，解方程求出CH的值，再根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，由比例式求出EI的值，设，则，再用勾股定理求得的值，可根据可得关于BH的方程，解方程求出，进而求出，然后由线段的和差BF=OB+OF=OB+OI-FI即可求解.
18．【答案】（1）解：将代入反比例函数得，3=，
解得：，
∴，
将代入，
得，
∴
将，点代入，
，
解得：，
∴一次函数的解析式为：
（2）解：设一次函数与x轴交于点E，
令，则，令，则，
∴，
∴的面积
∵的面积是面积的2倍，
∴的面积为8
设，如图所示，当点D在x轴正半轴时，连接，，
则，
∴
∴
解得
∴；
如图所示，当点D在x轴负半轴时，连接，，
则，
∴
∴
解得
∴；
综上可得，点D的坐标为或
（3）解：设点，又，
由旋转知：为等腰直角三角形，
∴，
解得：，
∴
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；旋转的性质
【解析】【分析】（1）将代入反比例函数的解析式求得m的值，再将代入求得点B的坐标，然后用待定系数法可求得一次函数的解析式；
（2）由题意，根据的面积求出的面积为4，然后得到的面积为8，根据题意分两种情况：点D在x轴负半轴和点D在x轴正半轴，然后由可得关于t的方程，解方程即可求解；
（3）设点，，又，根据等腰直角三角形的性质列关于m、n的方程组，解方程组即可求解．
19．【答案】
【知识点】分式的化简求值-整体代入
20．【答案】-18
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵、是方程的两根，
∴，且，，
∴，
∴，
∴
，
∴原式，
故答案为：．
【分析】根据一元二次方程的根与方程的关系以及根与系数的关系得到，且，，进而得到，将代数式进行变形再整体代入即可求解.
21．【答案】
【知识点】正方形的判定与性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵，，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为矩形，
∵，
∴四边形为正方形，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据题意及正方的判定得出四边形为正方形，设，则，再由相似三角形的判定“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得△EDF∽△CDO，由相似三角形的性质可得比例式，再由分式的性质即可求解．
22．【答案】9
【知识点】平方差公式及应用；因式分解的应用
【解析】【解答】解：，
是“正巧数”，
．
故答案为：9．
【分析】将用平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2展开，再由完全平方公式“a2-2ab+b2=(a-b)2”可将原式整理为，然后据“正巧数”定义可求解．
23．【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；已知正弦值求边长
24．【答案】（1）解：设商品的售价为元，则商品的售价为元，
由题意得：
解得
经经验，符合题意，是分式方程的解，
商品的售价为元，则商品的售价为元
（2）解：根据题意得
化简得．
当B种商品销售单价a为元时，B种商品每天的销售利润W最大，最大为元
【知识点】分式方程的实际应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据题意设商品的售价为元，则商品的售价为元，由题中的相等关系“用1500元购进A种商品的数量用900元购进B种商品的数量的2倍”列出关于x的分式方程，解之并检验即可求解；
（2）根据题意列出等式，化简并结合二次函数的性质即可求解．
25．【答案】（1）解：，分别是方程的两个实数根，且，
∴，
，，
，，
，，
把，代入得，
，
解得，
函数解析式为
（2）证明：令，
即，
解得：，，
抛物线与轴的交点为，，
，，
∵
对称轴为，顶点，
，
，，
，
是直角三角形，且，
，
在和中，
，，
，
（3）①当函数y在内的抛物线完全在对称轴的左侧，
当时，取得最小值，最大值，
令，即，解得．
②当时，此时，不合题意，舍去；
③当函数y在内的抛物线分别在对称轴的两侧，
此时，令，即
解得：（舍），（舍）；
或者，即（不合题意，舍去）；
④当时，此时，不合题意，舍去；
⑤当函数y在内的抛物线完全在对称轴的右侧，当时取得最大值，最小值，
令，解得．
综上可得，或
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定-SAS
【解析】【分析】（1）由题意，解一元二次方程可求得点A、B的坐标，然后用待定系数法即可求解；
（2）根据（1）中求得的二次函数的顶点D的坐标，用勾股定理求出的值，然后根据勾股定理的逆定理可判断是直角三角形，根据计算结果可得，然后由"对应边成比例且两边的夹角相等的两个三角形相似"即可判断两个三角形相似
（3）由题意可分5种情况：①当函数y在内的抛物线完全在对称轴的左侧；②当时；③当函数y在内的抛物线分别在对称轴的两侧；④当时，⑤函数y在内的抛物线完全在对称轴的右侧；分别根据函数的增减性可求解．
26．【答案】（1）证明：∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴
（2）解：存在最小值，理由如下：
∵，，
∴，，
∴，
∴，
如图所示，连接，过点作延长线于点，
根据点到直线的垂线段最短可知，当点与重合时，即时，最小，最小值为，
∵，
∴ ，，
∴，即，
∴，
∴，
在中，，，
∴存在最小值，最小值为．
（3）解：如图所示，连接，过作于，
∵为正方形的中心，
∴，
即是等腰直角三角形，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴由勾股定理得：，
解得：或（舍），
∴，
在中，，
∴的面积为
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）由角的和差和等式的性质可得∠BAM=∠CAN，结合已知用“边角边”可证，然后根据全等三角形的对应角相等可求解；
（2）AN存在最小值，理由如下：根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式；连接CN，过点A作AN ⊥CN且与CN的延长线交于点N ，根据垂线段最短可知，当点N与N 重合时，即AN ⊥CN时，AN最小，最小值为AN ，根据两组对应边的比相等且这两边的夹角相等的两个三角形相似可得，则可得∠ACN=∠B，在Rt△ACH中，由30度角所对的直角边等于斜边的一半得AH=AC即可求解；
（3）如图，连接，过作于，为正方形的中心，可知是等腰直角三角形，根据两组对应边的比相等且这两边的夹角相等的两个三角形相似可证，则可得∠DCH=∠DBC，设，则，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程求出x的值，在Rt△CDH中，根据三角形的面积公式计算即可求解．
四川省成都市锦江区嘉祥外国语学校2024年中考三模数学试题
1．（2024·锦江模拟）的相反数是（ ）
A． B．2024 C． D．
【答案】A
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：的相反数是．
故答案为：A．
【分析】根据相反数的定义"只有符号不同的两个数互为相反数"即可求解．
2．（2024·锦江模拟）今年“五一”假期，文旅热潮席卷全国，成都更是“热力十足”，成都市文广旅局数据显示，“五一”假期成都接待游客万人次，将数据用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：B．
【分析】科学记数法是指，任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a×10n的形式，其中，n=整数位数-1.根据科学记数法的意义即可求解.
3．（2024·锦江模拟）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A. 与不是同类项不能合并，故此选项计算错误，不符合题意；
B. ，故此选项计算错误，不符合题意；
C. ，故此选项计算错误，不符合题意；
D. ，计算正确，符合题意，
故答案为：D
【分析】利用合并同类项、完全平方公式、平方差公式及单项式除以单项式的计算方法逐项判断即可。
4．（2024·锦江模拟）如图，在平行四边形中，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
5．（2024·锦江模拟）义务教育课程标准年版首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并作出明确规定某班有名学生已经学会炒的菜品的种数依次为：，，，，，，则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：数据按从小到大排列、 、、、、、，其中出现3次，次数最多，所以这组数据的众数为，中位数为3.
故答案为：C.
【分析】根据众数和中位数的定义求解即可.
6．（2024·锦江模拟）刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，已知⊙的半径为2，则⊙的内接正六边形的面积为（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，连接、
由题意可得：
∵
∴为等边三角形，
∴
过点作于点，则
在R中，
∴
∴⊙的面积约为
故答案为：B．
【分析】连接、，根据正多边形和圆的关系可得为等边三角形，过点作于点，再Rt△AOM中，用勾股定理即可求出长，然后由三角形的面积公式S=底×高×可求出的面积，最后用⊙的内接正六边形ABCDEF的面积为计算即可求解.
7．（2024·锦江模拟）现用95张纸板制作一批盒子，每张纸板可做4个盒身或做11个盒底，而一个盒身和两个盒底配成一个完整的盒子．问用多少张纸板制盒身、多少张纸板制盒底，可以使盒身和盒底正好配套，设用x张纸板做盒身，y张纸板做盒底，可以使盒身与盒底正好配套，则可列方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵制作盒身和制作盒底的纸板共95张，
∴；
∵每张纸板可做4个盒身或做11个盒底，且一个盒身和两个盒底配成一个完整的盒子，
∴．
∴根据题意可列方程组．
故答案为：D．
【分析】由题意，根据题中的两个相等关系“制作盒身的张数+制作盒底的张数=95，盒身的总数量×2=盒底的总数量”即可列出关于x，y的二元一次方程组，结合各选项即可判断求解．
8．（2024·锦江模拟）已知二次函数的对称轴为直线，与x轴的一个交点B的坐标为，其图象如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若点，是函数图象上的两点，则
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：A、∵二次函数图象开口向上
∴，
∵图象与y轴交于负半轴
∴，
对称轴是直线
，
，
∴此选项不符合题意；
B、∵与x轴的一个交点B的坐标为，
∴
将代入得，，
∴此选项符合题意；
C、二次函数与轴有两个交点，
，即，
∴此选项不符合题意；
D、二次函数的图象与轴的一个交点为，对称轴是直线x=-1，
∵对称轴为直线，
∴，
∴此选项不符合题意.
故答案为：B．
【分析】A、由函数图象的开口方向可得，与y轴的交点的位置可得，根据对称轴在y轴的左侧可知a、b同号，即b＞0，然后由两数相乘同号得正异号得负可判断求解；
B、把代入二次函数的解析式可得，结合A的结论b=2a可判断求解；
C、根据二次函数与轴有两个交点可得b2-4ac＞0可判断求解；
D、根据抛物线的对称性，比较两点到对称轴的距离可判断求解．
9．（2024·锦江模拟）分解因式：2x2﹣8=
【答案】2（x+2）（x﹣2）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：2x2﹣8=2（x+2）（x﹣2）．
【分析】观察原式，找到公因式2，提出即可得出答案．
10．（2024·锦江模拟）已知平面直角坐标系中，点与点关于x轴对称，则 ．
【答案】5
【知识点】坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：∵点与点关于x轴对称，
点A与点B的横坐标相同，纵坐标互为相反数，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特征"横坐标相同，纵坐标互为相反数"可求得a、b的值，把a、b的值代入所求代数式计算即可求解．
11．（2024·锦江模拟）如图，与位似，点O为位似中心，已知，则与的面积比为 ．
【答案】
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
与位似，
与的位似比为，
与的相似比为，
与的面积比为，
故答案为：．
【分析】根据位似图形的概念求出与的相似比，再根据相似的性质，面积比等于相似比的平方计算即可求解．
12．（2024·锦江模拟）若分式，则 ．
【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：
去分母得，
解得
检验：将代入
∴原方程的解为．
故答案为：．
【分析】由题意，先去分母将原分式方程化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可求解．
13．（2024·锦江模拟）如图，在中，，分别以点 A和点 B为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于 M，N两点，作直线，分别交于点 D，E，连接． 若，则等于 ．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】 【解答】解：根据题意，垂直平分，
∴点D是的中点，，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】根据题意，由垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”和直角三角形的性质“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得AD=BD=CD，由等边对等角可得∠DCB=∠B，由三角形外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”得∠DEB=∠DCB+∠CDE可将∠DEB用含∠CDE的代数式表示出来，根据直角三角形两锐角互余可得关于∠CDE的方程，解方程求出∠CDE的度数，于是由∠B=2∠CDE求出∠B的度数，然后根据直角三角形两锐角互余可求解．
14．（2024·锦江模拟）（1）计算：
（2）解不等式组：
【答案】解：（1）
；
（2）
解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为：
【知识点】解一元一次不等式组；求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
15．（2024·锦江模拟）“科技筑梦，智绘蓝图”嘉祥科技体验日活动成功举办，学校对满意度进行了随机在线问卷调查，调查结果分为四类：A．非常满意；B．很满意；C．一般；D．不满意，将收集到的信息进行了统计，绘制成不完整的统计表和统计图（如图所示）．请你根据统计图表所提供的信息解答下列问题：
频数分布统计表
类别 频数 频率
A 60 n
B m 0.4
C 90 0.3
D 30 0.1
（1） ； ，并补全条形统计图；
（2）若嘉祥学校共有学生约 3600人，请你根据上述调查结果，估计该校对此次科技活动满意度为A类和 B类的学生共有多少人；
（3）为改进活动，学校决定从选填结果是D类的学生中，选取甲、乙、丙、丁四人，随机抽取两名同学参与座谈会，求甲、乙两名同学同时被抽中的概率．
【答案】（1）120，0.2，
补全图形如下：
（2）解：(人)．
答∶估计该校学生中类和类共有人．
（3）解：由题意，列表如下∶
甲 乙 丙 丁
甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁）
乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁）
丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁）
丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙）
共有种等可能结果，其中甲、乙两位同学同时被抽中的结果有种．
P甲乙
答∶甲、乙两位同学同时被抽中的概率为．
【知识点】条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）由统计表知，C组的频数为90，频率为0.3，
∴接受问卷调查的学生有：(人)，
(人)．
故答案为：120；0.2.
【分析】
（1）由统计表知，C组的频数和频率，根据样本容量=频数÷频率可求得接受问卷调查的学生人数；根据频数=样本容量×频率可求得m的值；根据各小组频率之和等于1可求得n的值，根据的数值补全条形图；
（2）用样本所占百分比估计总体即可求解；
（3）由题意列出表格，根据表格中的信息可知，共有12种等可能结果，其中甲、乙两位同学同时被抽中的结果有2种．然后根据概率公式计算即可求解．
16．（2024·锦江模拟）脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图1 是政府给贫困户新建的房屋，如图2是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上C点测得屋顶A的仰角为，此时地面上 C点、屋檐上E点、屋顶上 A 点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点 D时，又测得屋檐E点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交 于点G（点 C，D，B在同一水平线上）．
（1）求屋顶到横梁的距离（结果精确到）；
（2）求房屋的高（结果精确到）．（参考数据）
【答案】（1）解：房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线，，
，
，
，
在中，，，，
，
，
答：屋顶到横梁的距离约为3.5米
（2）如图2，过作于，设，
在中，，，
，
，
在中，，，
，
，
米，，
，
解得：，
四边形为矩形，
米，
（米．
答：房屋的高约为10米
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）根据题意得到，，，在Rt△AGE中，根据锐角三角函数tan∠AEG=可求解；
（2）过作于，设，在Rt△EDH中，根据锐角三角函数tan∠EDH=可将DH用含x的代数式表示出来，在Rt△EDH中，根据锐角三角函数tan∠ECH=可将CH用含x的代数式表示出来，然后由线段的和差CH-DH=CD可得关于x的方程，解方程求出x的值，然后由线段的和差AB=AG+BG可求解．
17．（2024·锦江模拟）如图，为的直径，为上一点，连接，为延长线上一点，连接，且．
（1）求证： 是的切线；
（2）若的半径为5，的面积为24，为上一点，连接交线段于点，若，求的长．
【答案】（1）证明：连接．
∵是的直径，
∴，
∴.
∵，
∴．
又∵，
∴．
∴，
∴．
又为半径，
∴是切线
（2）分别过点作、，垂足分别为，连接．
∵的半径为5，
∴．
又的面积为24，
∴×AB×CH=24，
即×10×CH=24，
解得：．
由题意，知，
又，
∴．
∵，
∴，则．
设，则．
根据勾股定理，得．
由，
∴，
∴，
即，
则，
解得（舍去），
∴，
故，
∴．
∴
【知识点】圆周角定理；切线的判定；解直角三角形；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）连接，根据直径所对的圆周角是直角得，可得，再根据等边对等角得，可知，进而得出答案；
（2）作、，连接，根据的面积为24可得关于CH的方程，解方程求出CH的值，再根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，由比例式求出EI的值，设，则，再用勾股定理求得的值，可根据可得关于BH的方程，解方程求出，进而求出，然后由线段的和差BF=OB+OF=OB+OI-FI即可求解.
18．（2024·锦江模拟）如图1，反比例函数 与一次函数的图象交于点 ，点，一次函数与y轴相交于点 C．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）连接、，在x轴上是否存在一点D使的面积是面积的2倍，请求出点D的坐标；
（3）如图2，点E是反比例函数图象上A点右侧一点，连接，把线段绕点A顺时针旋转，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标．
【答案】（1）解：将代入反比例函数得，3=，
解得：，
∴，
将代入，
得，
∴
将，点代入，
，
解得：，
∴一次函数的解析式为：
（2）解：设一次函数与x轴交于点E，
令，则，令，则，
∴，
∴的面积
∵的面积是面积的2倍，
∴的面积为8
设，如图所示，当点D在x轴正半轴时，连接，，
则，
∴
∴
解得
∴；
如图所示，当点D在x轴负半轴时，连接，，
则，
∴
∴
解得
∴；
综上可得，点D的坐标为或
（3）解：设点，又，
由旋转知：为等腰直角三角形，
∴，
解得：，
∴
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；旋转的性质
【解析】【分析】（1）将代入反比例函数的解析式求得m的值，再将代入求得点B的坐标，然后用待定系数法可求得一次函数的解析式；
（2）由题意，根据的面积求出的面积为4，然后得到的面积为8，根据题意分两种情况：点D在x轴负半轴和点D在x轴正半轴，然后由可得关于t的方程，解方程即可求解；
（3）设点，，又，根据等腰直角三角形的性质列关于m、n的方程组，解方程组即可求解．
19．（2024·锦江模拟）已知，化简求值： ．
【答案】
【知识点】分式的化简求值-整体代入
20．（2024·锦江模拟）已知：、是方程的两根，则 ．
【答案】-18
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵、是方程的两根，
∴，且，，
∴，
∴，
∴
，
∴原式，
故答案为：．
【分析】根据一元二次方程的根与方程的关系以及根与系数的关系得到，且，，进而得到，将代数式进行变形再整体代入即可求解.
21．（2024·锦江模拟）如图，，点C在射线 上，且 点 D为射线 上一点 （不与点O重合），点 E为线段 上一点（不与点C，D重合），交 于点 F，交于点 G，当点 D在 上运动时，始终保持 ，则 的值为 ．
【答案】
【知识点】正方形的判定与性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵，，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为矩形，
∵，
∴四边形为正方形，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据题意及正方的判定得出四边形为正方形，设，则，再由相似三角形的判定“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得△EDF∽△CDO，由相似三角形的性质可得比例式，再由分式的性质即可求解．
22．（2024·锦江模拟）如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“正巧数”．例如：，因此8，16，24都是“正巧数”． m、n为正整数，且，若是“正巧数”，则的值为 ．
【答案】9
【知识点】平方差公式及应用；因式分解的应用
【解析】【解答】解：，
是“正巧数”，
．
故答案为：9．
【分析】将用平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2展开，再由完全平方公式“a2-2ab+b2=(a-b)2”可将原式整理为，然后据“正巧数”定义可求解．
23．（2024·锦江模拟）如图，，点 P在射线上，且，点 Q是射线 上一动点． 将沿折叠，点O落在平面内点 C处．点 D在射线上，且，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；已知正弦值求边长
24．（2024·锦江模拟）某商场有A、B两种商品，一件B商品的售价比一件A商品的售价多5元，若用1500元购进A种商品的数量恰好是用900元购进B种商品的数量的2倍.
（1）求A、B两种商品每件售价各多少元；
（2）B商品每件的进价为20元，按原售价销售，该商场每天可销售B种商品100件，假设销售单价每上涨一元，B种商品每天的销售量就减少5件，设一件B商品售价a元，B种商品每天的销售利润为W元，求B种商品销售单价a为多少元时，B种商品每天的销售利润W最大，最大利润是多少元？
【答案】（1）解：设商品的售价为元，则商品的售价为元，
由题意得：
解得
经经验，符合题意，是分式方程的解，
商品的售价为元，则商品的售价为元
（2）解：根据题意得
化简得．
当B种商品销售单价a为元时，B种商品每天的销售利润W最大，最大为元
【知识点】分式方程的实际应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据题意设商品的售价为元，则商品的售价为元，由题中的相等关系“用1500元购进A种商品的数量用900元购进B种商品的数量的2倍”列出关于x的分式方程，解之并检验即可求解；
（2）根据题意列出等式，化简并结合二次函数的性质即可求解．
25．（2024·锦江模拟）如图，函数 的图象经过点 ，两点，m、n分别是方程 的两个实数根，且m
（2）设抛物线 与x轴的另一个交点为 C，抛物线的顶点为 D，连接． 求证： ；
（3）对于（1）中所求的函数 设函数y在内的最大值为p，最小值为q，若，求t的值．
【答案】（1）解：，分别是方程的两个实数根，且，
∴，
，，
，，
，，
把，代入得，
，
解得，
函数解析式为
（2）证明：令，
即，
解得：，，
抛物线与轴的交点为，，
，，
∵
对称轴为，顶点，
，
，，
，
是直角三角形，且，
，
在和中，
，，
，
（3）①当函数y在内的抛物线完全在对称轴的左侧，
当时，取得最小值，最大值，
令，即，解得．
②当时，此时，不合题意，舍去；
③当函数y在内的抛物线分别在对称轴的两侧，
此时，令，即
解得：（舍），（舍）；
或者，即（不合题意，舍去）；
④当时，此时，不合题意，舍去；
⑤当函数y在内的抛物线完全在对称轴的右侧，当时取得最大值，最小值，
令，解得．
综上可得，或
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定-SAS
【解析】【分析】（1）由题意，解一元二次方程可求得点A、B的坐标，然后用待定系数法即可求解；
（2）根据（1）中求得的二次函数的顶点D的坐标，用勾股定理求出的值，然后根据勾股定理的逆定理可判断是直角三角形，根据计算结果可得，然后由"对应边成比例且两边的夹角相等的两个三角形相似"即可判断两个三角形相似
（3）由题意可分5种情况：①当函数y在内的抛物线完全在对称轴的左侧；②当时；③当函数y在内的抛物线分别在对称轴的两侧；④当时，⑤函数y在内的抛物线完全在对称轴的右侧；分别根据函数的增减性可求解．
26．（2024·锦江模拟）某校数学兴趣学习小组在一次活动中，对一些特殊几何图形具有的性质进行了如下探究：
（1）发现问题：如图1，在等腰中，，点是边上任意一点，连接，以为腰作等腰，使，，连接．求证：．
（2）类比探究：如图2，在等腰中，，，，点是边上任意一点，以为腰作等腰，使，．在点运动过程中，是否存在最小值？若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由．
（3）拓展应用：如图3，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，是正方形的中心，连接．若正方形的边长为，，求的面积．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴
（2）解：存在最小值，理由如下：
∵，，
∴，，
∴，
∴，
如图所示，连接，过点作延长线于点，
根据点到直线的垂线段最短可知，当点与重合时，即时，最小，最小值为，
∵，
∴ ，，
∴，即，
∴，
∴，
在中，，，
∴存在最小值，最小值为．
（3）解：如图所示，连接，过作于，
∵为正方形的中心，
∴，
即是等腰直角三角形，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴由勾股定理得：，
解得：或（舍），
∴，
在中，，
∴的面积为
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）由角的和差和等式的性质可得∠BAM=∠CAN，结合已知用“边角边”可证，然后根据全等三角形的对应角相等可求解；
（2）AN存在最小值，理由如下：根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式；连接CN，过点A作AN ⊥CN且与CN的延长线交于点N ，根据垂线段最短可知，当点N与N 重合时，即AN ⊥CN时，AN最小，最小值为AN ，根据两组对应边的比相等且这两边的夹角相等的两个三角形相似可得，则可得∠ACN=∠B，在Rt△ACH中，由30度角所对的直角边等于斜边的一半得AH=AC即可求解；
（3）如图，连接，过作于，为正方形的中心，可知是等腰直角三角形，根据两组对应边的比相等且这两边的夹角相等的两个三角形相似可证，则可得∠DCH=∠DBC，设，则，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程求出x的值，在Rt△CDH中，根据三角形的面积公式计算即可求解．
