四川省成都外国语学校2024年中考数学三诊试题
1．（2024·成都模拟）－2的相反数是（ ）
A．2 B．－2 C．±2 D．－
【答案】A
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号，求解即可．
【解答】-2的相反数是：-（-2)=2，
故答案为：A
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．
2．（2024·成都模拟）目前发现的新冠病毒其直径约为0.00012毫米，该数字用科学记数法表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：，
故选：D.
【分析】
对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）．
3．（2024·成都模拟）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：和的指数不同，不能相加，故选项A错误；
，
故选项B正确；
，
故选项C错误；
，
故选项D错误；
故选：B．
【分析】
当两个单项式是同类项时可以进行合并，其合并法则是只把系数相加减，字母与字母的指数都不变；
积的乘方是给积的每一个因式先乘方，再把所得的幂的相乘；单项式的除法是把系数的商作为商的系数，相同字母作同底数幂的除法运算，对只在被除式中出现的字母连同它的指数作为商的一个因式；
两数与差的乘积等于这两数的平方差；
两数的完全平方和（差）等于这数的平方和加上或减去这两数乘积的2倍.
4．（2024·成都模拟）如图，四边形是菱形，M，N分别是，两边上的点，不能保证和一定全等的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；菱形的性质
【解析】【解答】解：四边形是菱形，
．
A、，根据定理可以判定，则此项不符合题意；
B、，根据定理可以判定，则此项不符合题意；
C、，
，即，
根据定理可以判定，则此项不符合题意；
D、，根据定理不能判定，则此项符合题意；
故选：D．
【分析】
由于菱形的四条边相等，对角相等，即和 中已有一组角和一组边对应相等，再根据三角形全等的四种判定方法逐一判断即可．
5．（2024·成都模拟）冬季奥林匹克运动会简称冬奥会，是世界上规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届，在近六届冬奥会中，中国获得总奖牌数分别为：，，，，，，则这组数据的众数和中位数分别为（ ）
A．众数是，中位数是 B．众数是，中位数是
C．众数是和，中位数是 D．众数是和，中位数是
【答案】D
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：将这组数据重新排列为，，，，，，
这组数据中，出现次数最多，有次，
所以这组数据的众数为和，中位数为，
故选：D．
【分析】
众数是指一组数据中重复出现次数最多的数据，可能是一个，也可能是多个；中位数是指把一组数据按照从小到大的顺序排列后，最中间的一个或最中间的两个数据的平均值．
6．（2024·成都模拟）如果函数的图象经过第二、三、四象限，那么应满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：函数的图象经过第二，三，四象限，
．
故选：B．
【分析】
对于一次函数，当时，直线经过一、二、三象限；当时，直线经过一、四、三象限；
当时，直线经过一、二、四象限；当时，直线经过二、三、四象限．
7．（2024·成都模拟）某区为残疾人办实事，在一道路改造工程中，为盲人修建一条长3000米的盲道，在实际施工中，由于增加了施工人员，每天可以比原计划多修建250米，结果提前2天完成工程，设实际每天修建盲道x米，根据题意可得方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【解答】解：实际每天修建盲道x米，则原计划每天修米．
由题意，知原计划用的时间为天，实际用的时间为：天，
故所列方程为：．
故选A．
【分析】
设实际每天修建盲道x米，由等量关系“原计划工作时间现在工作时间=2天”列出方程即可．
8．（2024·成都模拟）二次函数的图象如图所示，则下列结论中不正确的是（ ）
A． B．函数的最大值为
C．当或1时， D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】∵二次函数的图象开口向下，
∴a＜0，
∵图象与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x=-1，
∴＝ 1，
∴b=2a＜0，
∴abc＞0，
∴A选项不合题意，
由图象可知x=-1时，y取最大值，
∴a-b+c为最大值，
∴B选项不合题意，
∵由图象可知y=0的一个根为x=1，
由∵对称轴为直线x=-1，
∴另一个根为x=-3，
∴C选项不合题意，
由图象可知x=-2时，y＞0，
∴4a-2b+c＞0，
∴不正确的是D选项，
故选：D．
【分析】
根据二次函数的图象可确定a，b，c的符号，可判断A选项；由对称轴x=-1的函数值可确定B选项；由图象与x轴的一个交点及对称轴可确定C选项；由x=-2时的函数值可确定D选项．
9．（2024·成都模拟）因式分解： ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】
因式分解的一般策略是“一提二套”，即有公因式先提公因式，再考虑套用乘法公式继续分解因式，并且要保证每一个因式不能再分解为止.
10．（2024·成都模拟）如图，把一块含有角的直角三角板放置在两条平行线上，若，则的度数为 ．
【答案】
【知识点】三角形的外角性质；邻补角；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图：
由三角形的外角性质得∠1=∠α+60°=84°，
由两直线平行，内错角相等得∠2=∠1=84°，
，
故答案为：．
【分析】
先利用平角的概念求出，再利用两直线平行内错角相等可把转化到的位置上，最后利用三角形外角的性质即可．
11．（2024·成都模拟）点在直角坐标系的x轴上，则点P坐标为 ．
【答案】（2，0）
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：∵点P（m+3，m+1）在直角坐标系的x轴上，
∴m+1=0，
解得m=-1，
所以，m+3=-1+3=2，
所以点P的坐标为（2，0）．
故答案为：（2，0）．
【分析】根据x轴上的点坐标的特征可得m+1=0，求出m的值，再求出点P的坐标即可。
12．（2024·成都模拟）如图，与位似，点为位似中心，与的面积之比为，若，则的长为 ．
【答案】
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：与位似，
，，
，
，
与的面积之比为，
，
，
，
故答案为：．
【分析】
位似三角形是相似三角形，且相似比等于位似比．
13．（2024·成都模拟）如图，在中，，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧交于点；③作射线交于点，若，则的长为 ．
【答案】
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；尺规作图-作角的平分线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，过点作于，作于，
，
是等腰直角三角形，
，
，
由作图可知：平分，
，
中，，
，
．
故答案为：．
【分析】
由于角平分线上的点到角两边距离相等，因此可过点作于，作于，则DG等于DH；由于等于45度，则三角形BDG是等腰直角三角形，BD已知，解直角三角形BDG即可求出DG，则DH可知，再解直角三角形DCH即可．
14．（2024·成都模拟）（1）计算：；
（2）解不等式组：．
【答案】解：（1）
；
（2），
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：．
【知识点】解一元一次不等式组；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】
（1）实数的混合顺序是先乘方，再乘除，最后加减；运算时要注意正确运用负整数指数幂、相反数及开方等的运算法则，还要牢记特殊角的三角形函数值；
（2）解一元一次不等式组时，先分别求出每一个不等式的解集，再按照“同大取大、同小取小、小于大的且大于小的取中间、大于大的且小于小的无解”求出不等式组的解集．
15．（2024·成都模拟）为了解“幸福里小区”居民接种“新冠疫苗”的情况，社区工作人员对该小区居民进行了抽样调查，按接种情况可分如下四类：A类—接种了只需要注射一针的疫苗；B类—接种了要注射两针，且两针之间要何隔一定时间的疫苗；C类—接种了要注射三针，且每两针之间要间隆定时间的疫苗；D类—还没有接种．根据调查结果给制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下：
（1）此次拍样调查的人数是______；______；
（2）补全条形统计图；
（3）为了继续宣传新冠疫苗接种的重要性，小区管理部门准备在已经接种疫苗的居民中征集2名志愿宣传者，现有2男2女共4名居民报名，要从这4人中随机挑选2人，求恰好抽到1男和1女的概率．
【答案】（1）200；30
（2）解：B类人数：200×40%=80；C类人数：200×=20；
补全条形统计图如下：
（3）解：画树状图如下：
根据树状图列出等可能总情况数为12种，
其中抽到1男和1女的情况有8种，
∴抽到1男和1女的概率为=.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：此次抽样调查的人数为：40÷20%=200（人）
D类疫苗的人数百分比为：60÷200×100%=30%
∴m=30
故答案为：200，30
【分析】
（1）观察条形统计图和扇形统计图可利用A类的数量及占比求出样本容量，再用样本容量分别乘以B、C两类的占比可得B、C两类的数量，则D类占比可求；
（2）B类人数：200×40%=80；C类人数：200×=20；
（3）两步试验可通过画树状图或列表的方法求概率，画树状图时注意不重复不遗漏，列表时注意对角线栏目上是否填写数据.
16．（2024·成都模拟）综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔AB前有一座高为DE的观骨台，已知，，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°．
（1）求的长；
（2）求塔的高度．（取0.5，取1.7，结果取整数）
【答案】（1）解：在中，，∴．
即的长为．
（2）解：设，在中，，
∴．
在中，由，，，
则.
∴．
即的长为．
如图，过点作，垂足为．
根据题意，，
∴四边形是矩形．
∴，．
可得．
在中，，，
∴．即．
∴．
答：塔的高度约为．
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半；
（2）过点D作AB的垂线段DF，则四边形DFAE是矩形，所以FA等于DE；为便于计算，可设AB＝h，则BF等于h-3，再分别解和即可分别表示出AC与DF，而DF与AC的差恰好等于DE等于3，即可求出AB的长．
17．（2024·成都模拟）如图1，为直径，与相切于点，交于点，点为的中点，连接．
（1）求证：与相切；
（2）如图2，连接，若，，求的长．
【答案】（1）证明：如图，连接，，
与相切，
，
点是中点，为圆心，
，
，，
，
，
，
又，，
，
，
，
点是上的点，
与相切；
（2）解：如图，连接，
点是中点，，
，
又是直径，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
在中，，
．
【知识点】圆周角定理；切线的性质；三角形全等的判定-SAS；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）连接OC、OE，则OC等于OA等于OB，则；由切线的性质可知，则与互余；由于OE是三角形BAD的中位线，则OE平行AD，则由平行线的性质结合等量代换得，则可利用“SAS”证明，则即可；
（2）由于直径所对的圆周角是直角，则，由同角的余角相等可得，由，证得∽，由于BD等于DE的2倍等于4，则根据三角形相似的性质结合AC等于4CD即可求得，然后利用勾股定理先求出AB的长，再使用勾股定理即可求得的长．
18．（2024·成都模拟）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+b与反比例函数y＝的图象交于A（2，m），B两点．
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）如图1，过点A的直线分别与x轴，y轴交于点M，N，若AM=MN，连接BM，求△ABM的面积；
（3）如图2，以AB为边作平行四边形ABCD，点C在y轴负半轴上，点D在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，线段AD与反比例函数y＝（k＜0）的图象交于点E，若＝，求k的值．
【答案】（1）解：当x＝2时，反比例函数y＝=3，∴A（2，3），
将点A（2，3）代入y＝﹣x+b，得
3＝﹣×2+b，
解得：b＝4，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+4；
（2）解：联立两函数解析式，得，解得：，，
∴B(6，1)，
当y＝0时，﹣x+4＝0，
∴x＝8，
∴D(8，0)，
过点A作AP⊥y轴于P，
∵OMAP，
∴△NOM∽△NPA，
∴，
∵AP=2，AM=MN，
∴，
∴OM＝1，
∴MD＝7，
∴S△ABM＝S△ADM﹣S△BDM＝；
（3）解：设C（0，a）、D（m，n）
∵四边形ABCD是平行四边形
∴，即
∴D（﹣4，a+2）
过D作x轴的平行线l，过点A、E作l的垂线，垂足分别为G，H，
∴∠AHD＝∠EGD，∠EDG＝∠ADH，
∴△DEG∽△DAH，
∴，
∴DG＝DH＝2，EG=AH＝，
∴点E（﹣2，），
∵点D、E都在反比例函数y=上，
∴﹣2×（）＝﹣4（a+2），
解得a＝﹣，
∴k＝﹣4（a+2）＝﹣4×（﹣+2）＝﹣3．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；几何图形的面积计算-割补法；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）先利用函数图象上点的坐标特征将A（2，m）代入反比例函数解析式y＝中求得m，再代入直线y＝﹣x+b即可求出b；
（2）如图所示，设直线AB交x轴于点D，再过点A作AP⊥y轴于P，可先联立关于直线与双曲线的方程组求出A、B两点坐标，利用直线AB的解析式可确定其与x轴交点D的坐标，由于已知AM＝MN，则OM是△NPA的中位线从而确定M的坐标，从而可得出MD的长，利用A、B坐标可计算S△ABM＝S△ADM﹣S△BDM即可；
（3）设C（0，a），由于平行四边形的对角线互相平分，可得点D（﹣4，a+2），过D作x轴的平行线l，过点A、E作l的垂线，垂足分别为G，H，则可证△DEG∽△DAH，从而利用相似比可表示出点E的坐标，由于点A、E都在双曲线 y＝ 上，可联立关于a的一元一次方程即可求得a的值，则k可求．
19．（2024·成都模拟）已知直四棱柱的三视图如图所示，俯视图是一个正方形，则这个直四棱柱的体积是 ．
【答案】
【知识点】已知三视图进行几何体的相关计算
【解析】【解答】解：根据题意可知该直四棱柱的底面是一个对角线长为的正方形，
这个直四棱柱的体积为：，
故答案为：．
【分析】
由于直四棱柱的主视图和左视图大小和形状相同，且底面是一个正方形，则主视图对应的矩形的长为直四棱柱的高，其宽为底面正方形的对角线长，则底面正方形的面积可利用对角线乘积的一半计算，再乘以高即可得出其体积．
20．（2024·成都模拟）已知a，b是方程x2＋3x﹣5＝0的两个实数根，则a2﹣3b＋2020的值是 .
【答案】2034
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵a，b是方程x2＋3x﹣5＝0的两个实数根，
∴，，
a2﹣3b＋2020
故答案为：2034.
【分析】根据方程解的概念可得a2+3a=5，根据根与系数的关系可得a+b=-3，将待求式变形为a2+3a-3(a+b)+2020，然后代入计算即可.
21．（2024·成都模拟）魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，以用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率．如图，圆中有一内接正六边形，现随机向该图形内扔掷一枚小针，则针尖落在正六边形区域的概率为 ．
【答案】
【知识点】圆内接正多边形；几何概率；“割圆术”
【解析】【解答】解：如图，设的半径为R，则，
∵六边形是正六边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
故答案为：．
【分析】
设圆的半径为R，用含有R的代数式表示正六边形的面积以及圆的面积，则其面积比即为所求概率．
22．（2024·成都模拟）如图，在矩形中，，，点P为边上一动点，连接交对角线于点E，过点E作，交于点F，连接交于点G，在点P的运动过程中，面积的最小值为 ．
【答案】
【知识点】圆周角定理；解直角三角形；圆-动点问题
【解析】【解答】
解：如图所示，作的外接圆，过过点分别作、，垂足为，再连接.
矩形中，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四点共圆，
∴，
设，则
即，当时，面积有最小值，最小值为．
故答案为：
【分析】
过点A作BD的垂线段AM，由于矩形的一组邻边AB、AD已知，则利用矩形性质可求出对角线BD的长，则BD上高AM可求，由于EG在对角线BD上，因此AM也是的边EG上的高，显然当EG取小值时面积最小；此时由于四边形ABFE的一组对角互补，因此A、B、F、E四点共圆，则等于是个定角，因此可作的外接圆，再过圆心O作弦EG的垂线段ON，连接OA、OE、OG，则由垂径定理及圆周角定理知等于等于，且EG等于EN的2倍；此时可设出EN的长，再解可分别求得ON、OE的长，由于半径都相等，则可由垂线段最短得关于EN的不等式，即，则可求出EN的最小值，则EG的最小值可求，则面积的最小值可求.
23．（2024·成都模拟）定义在平面直角坐标系中，点，的折线距离．根据折线距离的定义，可以构造出许多美丽的图形．例如点，若平面中有一动点，满足到的折线距离为，则点的轨迹为以为中心，为边长的正方形（如图所示），若点，，动点满足（动点到点，的折线距离之和为11）．已知动点的轨迹与轴、轴均有两个公共点．
动点的轨迹与轴公共点的坐标为 ．
动点的轨迹交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，在运动过程中，面积的最大值为 ．
【答案】或；17
【知识点】坐标与图形性质；一次函数中的动态几何问题；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】
解：设的轨迹与轴的交点坐标为，
由题意，可得，
当时，解得；
当时，等式不成立；
当时，解得；
∴点的轨迹与轴的交点坐标为：或．
故答案为：或；
如图所示，设点，
，，
∴当时，
（1）当时，，
∴，
（2）当时，，
（3）当时，，
当时，
（4）当时，，
（5）当时，不合题意舍去，
（6）当时，，
当时，
（7）当时，，
（8）当时，，
（9）当时，，
∴的图像如下图，
设的解析式为，
∴，
∴，
∴，
当时，，即点
∴，
∵，
∴，
则，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】
设的轨迹与轴的交点坐标为：，可得出，再分类讨论，即当时或时或时，求解关于的一元一次方程即可；
先设，再利用折线距离的定义分别表示出和，下来再对绝对值符号内的代数式进行分类讨论进而可对其进行化简，从而可求出每一段的函数关系式，可得出点的运动轨迹，观察图象知当点R在直线上且x=-2时距离直线AB的距离最大，由于AB是定值，则此时的面积最大，由于的面积既可以直接用底边AB与AB上的高CR乘积的一半来计算，也可以用与面积的差来表示，从而可得出CR与AB的数量关系，再代入到的面积公式中即可得出其最大值．
24．（2024·成都模拟）为了稳增长，成都市政府开展了促线下消费活动，共发放约6亿元的“成都520”消费券．某商家参与了本次活动，售卖一款成本为30元/件的服装．经市场调研发现，这款服装的销售量y（单位：件）与销售价格x（单位：元/件）之间的关系如图所示．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）为让利顾客，活动要求利润不得高于成本的80%．试问：商家售价定为多少时，总利润最大？并求出此时的最大利润．
【答案】（1）解：设销售量y（件）与售价x（元/件）之间的函数关系式为，则，
解得：，
∴销售量y（件）与售价x（元/件）之间的函数关系式是；
（2）解：设商家销售该服装的利润为w元，根据题意得：，
∵活动要求利润不得高于成本的80%．
∴，
解得：，
∵，
∴当时，w有最大值，最大值为2208，
∴商家售价定为54元/件时，总利润最大，最大利润为2208元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）观察图象可用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据利润=单件利润×销售量列出函数解析式，可发现利润是售价的二次函数，且二次项系数为负，则利润有最大值；此时可结合题目要求利润不得高于成本的80%可求出售价的取值范围，再利用二次函数的增减性即可求出最大利润．
25．（2024·成都模拟）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点，连接．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点P是线段上一点，过点P作轴交抛物线于点Q，交线段于点E，点F是直线上一点，连接，，求的周长最大值．
（3）如图2，已知，将抛物线上下平移，设平移后的抛物线在对称轴右侧部分与直线交于点N，连接，当是等腰三角形时，直接写出抛物线的平移距离d的值．
【答案】（1）解：∵抛物线与x轴交于、两点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：过点作于点，如图：
则，
，，
，
，，
，
在中，由勾股定理得．
轴，
，
，
，
，
，
∴ 的周长，
∴当最大时，的周长最大．
设，其中．
，
∴直线的解析式为，
，
，
，
时，有最大值，最大值为，
周长的最大为，．
（3）抛物线的平移距离的值为或或1
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；平行线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；解直角三角形；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：由题知：平移后的抛物线的解析式为．
设，则．
又∵直线的解析式为，点在上，
，
，
，
，，
．
当是等腰三角形时，
①若，则，
解得（舍去），，
；
②若，则，
解得，
；
③若，
则，
解得：，（舍去），
．
综上，抛物线的平移距离的值为或或1．
【分析】（1）根据待定系数法将点A，B坐标代入抛物线解析式即可求出答案.
（2）过点作于点，根据等腰三角形性质可得，则，再根据勾股定理可得AD=5，再根据直线平行性质可得，则，即，可得，再根据三角形周长可得当最大时，的周长最大，设，其中，求出直线AD的解析式，则，再根据两点间距离可得，结合二次函数性质即可求出答案.
（3）根据函数图象的平移性质可得平移后的抛物线的解析式为，设，则，根据题意建立方程，解方程可得，则，根据等腰三角形性质分情况讨论：①若，②若，③若，建立方程，解方程即可求出答案.
26．（2024·成都模拟）（1）如图，在中，D为上一点，．求证：；
（2）如图2，在菱形中，E，F分别为上的点，且，射线交的延长线于点M，射线交的延长线于点N．若
求：①的长；②的长；
（3）如图3，在菱形中，点E为的中点，在平面内存在点F，且满足，以为一边作（顶点F、A、P按逆时针排列），使得，且，请直接写出的最小值．
【答案】证明：（1）证明：∵，∴
∴，
∴；
（2）①连接，
∵四边形是菱形
∴
∴
∵
∴
则
∵
∴，
得，
∴，
∵
∴，
∴
②由①同理得，，
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴，
∴，
∴；
（3）解：连接，
∵点E为的中点，四边形为菱形，
∴
∵，
∴
∵
∴
∴
∵，
∴
∴
在上取点M，使
∴，
∵
∴
∴
∴
∴当点三点共线时，最小，即最小，
连接，过点D作，交的延长线于N，
∵，
∴，
∴，
∴最小值为．
【知识点】菱形的性质；旋转的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）由两组角对应相等两三角形相似可得，再由相似的性质化比例式为等积式即可；
（2）①由于菱形的对角相等，且对角线平分一组对角，因此可连接，由已知可得，则；又菱形的对边平行可得，等量代换得，则，利用相似比结合已知条件计算即可得出CM与FN的长；
②同①的证明过程可得，得，代入计算得的长，从而解决问题；
（3）连接根据两边成比例且夹角相等可得，得；在上取点M，使，再次利用两边成比例且夹角相等可得，则， 此时化为的形式，显然的最小值就是线段的值，可过点D作BC的垂线段DN，利用勾股定理即可求得DM的值，则DM的2倍就是的最小值．
四川省成都外国语学校2024年中考数学三诊试题
1．（2024·成都模拟）－2的相反数是（ ）
A．2 B．－2 C．±2 D．－
2．（2024·成都模拟）目前发现的新冠病毒其直径约为0.00012毫米，该数字用科学记数法表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·成都模拟）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·成都模拟）如图，四边形是菱形，M，N分别是，两边上的点，不能保证和一定全等的条件是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·成都模拟）冬季奥林匹克运动会简称冬奥会，是世界上规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届，在近六届冬奥会中，中国获得总奖牌数分别为：，，，，，，则这组数据的众数和中位数分别为（ ）
A．众数是，中位数是 B．众数是，中位数是
C．众数是和，中位数是 D．众数是和，中位数是
6．（2024·成都模拟）如果函数的图象经过第二、三、四象限，那么应满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·成都模拟）某区为残疾人办实事，在一道路改造工程中，为盲人修建一条长3000米的盲道，在实际施工中，由于增加了施工人员，每天可以比原计划多修建250米，结果提前2天完成工程，设实际每天修建盲道x米，根据题意可得方程（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024·成都模拟）二次函数的图象如图所示，则下列结论中不正确的是（ ）
A． B．函数的最大值为
C．当或1时， D．
9．（2024·成都模拟）因式分解： ．
10．（2024·成都模拟）如图，把一块含有角的直角三角板放置在两条平行线上，若，则的度数为 ．
11．（2024·成都模拟）点在直角坐标系的x轴上，则点P坐标为 ．
12．（2024·成都模拟）如图，与位似，点为位似中心，与的面积之比为，若，则的长为 ．
13．（2024·成都模拟）如图，在中，，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧交于点；③作射线交于点，若，则的长为 ．
14．（2024·成都模拟）（1）计算：；
（2）解不等式组：．
15．（2024·成都模拟）为了解“幸福里小区”居民接种“新冠疫苗”的情况，社区工作人员对该小区居民进行了抽样调查，按接种情况可分如下四类：A类—接种了只需要注射一针的疫苗；B类—接种了要注射两针，且两针之间要何隔一定时间的疫苗；C类—接种了要注射三针，且每两针之间要间隆定时间的疫苗；D类—还没有接种．根据调查结果给制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下：
（1）此次拍样调查的人数是______；______；
（2）补全条形统计图；
（3）为了继续宣传新冠疫苗接种的重要性，小区管理部门准备在已经接种疫苗的居民中征集2名志愿宣传者，现有2男2女共4名居民报名，要从这4人中随机挑选2人，求恰好抽到1男和1女的概率．
16．（2024·成都模拟）综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔AB前有一座高为DE的观骨台，已知，，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°．
（1）求的长；
（2）求塔的高度．（取0.5，取1.7，结果取整数）
17．（2024·成都模拟）如图1，为直径，与相切于点，交于点，点为的中点，连接．
（1）求证：与相切；
（2）如图2，连接，若，，求的长．
18．（2024·成都模拟）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+b与反比例函数y＝的图象交于A（2，m），B两点．
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）如图1，过点A的直线分别与x轴，y轴交于点M，N，若AM=MN，连接BM，求△ABM的面积；
（3）如图2，以AB为边作平行四边形ABCD，点C在y轴负半轴上，点D在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，线段AD与反比例函数y＝（k＜0）的图象交于点E，若＝，求k的值．
19．（2024·成都模拟）已知直四棱柱的三视图如图所示，俯视图是一个正方形，则这个直四棱柱的体积是 ．
20．（2024·成都模拟）已知a，b是方程x2＋3x﹣5＝0的两个实数根，则a2﹣3b＋2020的值是 .
21．（2024·成都模拟）魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，以用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率．如图，圆中有一内接正六边形，现随机向该图形内扔掷一枚小针，则针尖落在正六边形区域的概率为 ．
22．（2024·成都模拟）如图，在矩形中，，，点P为边上一动点，连接交对角线于点E，过点E作，交于点F，连接交于点G，在点P的运动过程中，面积的最小值为 ．
23．（2024·成都模拟）定义在平面直角坐标系中，点，的折线距离．根据折线距离的定义，可以构造出许多美丽的图形．例如点，若平面中有一动点，满足到的折线距离为，则点的轨迹为以为中心，为边长的正方形（如图所示），若点，，动点满足（动点到点，的折线距离之和为11）．已知动点的轨迹与轴、轴均有两个公共点．
动点的轨迹与轴公共点的坐标为 ．
动点的轨迹交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，在运动过程中，面积的最大值为 ．
24．（2024·成都模拟）为了稳增长，成都市政府开展了促线下消费活动，共发放约6亿元的“成都520”消费券．某商家参与了本次活动，售卖一款成本为30元/件的服装．经市场调研发现，这款服装的销售量y（单位：件）与销售价格x（单位：元/件）之间的关系如图所示．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）为让利顾客，活动要求利润不得高于成本的80%．试问：商家售价定为多少时，总利润最大？并求出此时的最大利润．
25．（2024·成都模拟）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点，连接．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点P是线段上一点，过点P作轴交抛物线于点Q，交线段于点E，点F是直线上一点，连接，，求的周长最大值．
（3）如图2，已知，将抛物线上下平移，设平移后的抛物线在对称轴右侧部分与直线交于点N，连接，当是等腰三角形时，直接写出抛物线的平移距离d的值．
26．（2024·成都模拟）（1）如图，在中，D为上一点，．求证：；
（2）如图2，在菱形中，E，F分别为上的点，且，射线交的延长线于点M，射线交的延长线于点N．若
求：①的长；②的长；
（3）如图3，在菱形中，点E为的中点，在平面内存在点F，且满足，以为一边作（顶点F、A、P按逆时针排列），使得，且，请直接写出的最小值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号，求解即可．
【解答】-2的相反数是：-（-2)=2，
故答案为：A
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．
2．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：，
故选：D.
【分析】
对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）．
3．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：和的指数不同，不能相加，故选项A错误；
，
故选项B正确；
，
故选项C错误；
，
故选项D错误；
故选：B．
【分析】
当两个单项式是同类项时可以进行合并，其合并法则是只把系数相加减，字母与字母的指数都不变；
积的乘方是给积的每一个因式先乘方，再把所得的幂的相乘；单项式的除法是把系数的商作为商的系数，相同字母作同底数幂的除法运算，对只在被除式中出现的字母连同它的指数作为商的一个因式；
两数与差的乘积等于这两数的平方差；
两数的完全平方和（差）等于这数的平方和加上或减去这两数乘积的2倍.
4．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；菱形的性质
【解析】【解答】解：四边形是菱形，
．
A、，根据定理可以判定，则此项不符合题意；
B、，根据定理可以判定，则此项不符合题意；
C、，
，即，
根据定理可以判定，则此项不符合题意；
D、，根据定理不能判定，则此项符合题意；
故选：D．
【分析】
由于菱形的四条边相等，对角相等，即和 中已有一组角和一组边对应相等，再根据三角形全等的四种判定方法逐一判断即可．
5．【答案】D
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：将这组数据重新排列为，，，，，，
这组数据中，出现次数最多，有次，
所以这组数据的众数为和，中位数为，
故选：D．
【分析】
众数是指一组数据中重复出现次数最多的数据，可能是一个，也可能是多个；中位数是指把一组数据按照从小到大的顺序排列后，最中间的一个或最中间的两个数据的平均值．
6．【答案】B
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：函数的图象经过第二，三，四象限，
．
故选：B．
【分析】
对于一次函数，当时，直线经过一、二、三象限；当时，直线经过一、四、三象限；
当时，直线经过一、二、四象限；当时，直线经过二、三、四象限．
7．【答案】A
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【解答】解：实际每天修建盲道x米，则原计划每天修米．
由题意，知原计划用的时间为天，实际用的时间为：天，
故所列方程为：．
故选A．
【分析】
设实际每天修建盲道x米，由等量关系“原计划工作时间现在工作时间=2天”列出方程即可．
8．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】∵二次函数的图象开口向下，
∴a＜0，
∵图象与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x=-1，
∴＝ 1，
∴b=2a＜0，
∴abc＞0，
∴A选项不合题意，
由图象可知x=-1时，y取最大值，
∴a-b+c为最大值，
∴B选项不合题意，
∵由图象可知y=0的一个根为x=1，
由∵对称轴为直线x=-1，
∴另一个根为x=-3，
∴C选项不合题意，
由图象可知x=-2时，y＞0，
∴4a-2b+c＞0，
∴不正确的是D选项，
故选：D．
【分析】
根据二次函数的图象可确定a，b，c的符号，可判断A选项；由对称轴x=-1的函数值可确定B选项；由图象与x轴的一个交点及对称轴可确定C选项；由x=-2时的函数值可确定D选项．
9．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】
因式分解的一般策略是“一提二套”，即有公因式先提公因式，再考虑套用乘法公式继续分解因式，并且要保证每一个因式不能再分解为止.
10．【答案】
【知识点】三角形的外角性质；邻补角；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图：
由三角形的外角性质得∠1=∠α+60°=84°，
由两直线平行，内错角相等得∠2=∠1=84°，
，
故答案为：．
【分析】
先利用平角的概念求出，再利用两直线平行内错角相等可把转化到的位置上，最后利用三角形外角的性质即可．
11．【答案】（2，0）
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：∵点P（m+3，m+1）在直角坐标系的x轴上，
∴m+1=0，
解得m=-1，
所以，m+3=-1+3=2，
所以点P的坐标为（2，0）．
故答案为：（2，0）．
【分析】根据x轴上的点坐标的特征可得m+1=0，求出m的值，再求出点P的坐标即可。
12．【答案】
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：与位似，
，，
，
，
与的面积之比为，
，
，
，
故答案为：．
【分析】
位似三角形是相似三角形，且相似比等于位似比．
13．【答案】
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；尺规作图-作角的平分线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，过点作于，作于，
，
是等腰直角三角形，
，
，
由作图可知：平分，
，
中，，
，
．
故答案为：．
【分析】
由于角平分线上的点到角两边距离相等，因此可过点作于，作于，则DG等于DH；由于等于45度，则三角形BDG是等腰直角三角形，BD已知，解直角三角形BDG即可求出DG，则DH可知，再解直角三角形DCH即可．
14．【答案】解：（1）
；
（2），
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：．
【知识点】解一元一次不等式组；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】
（1）实数的混合顺序是先乘方，再乘除，最后加减；运算时要注意正确运用负整数指数幂、相反数及开方等的运算法则，还要牢记特殊角的三角形函数值；
（2）解一元一次不等式组时，先分别求出每一个不等式的解集，再按照“同大取大、同小取小、小于大的且大于小的取中间、大于大的且小于小的无解”求出不等式组的解集．
15．【答案】（1）200；30
（2）解：B类人数：200×40%=80；C类人数：200×=20；
补全条形统计图如下：
（3）解：画树状图如下：
根据树状图列出等可能总情况数为12种，
其中抽到1男和1女的情况有8种，
∴抽到1男和1女的概率为=.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：此次抽样调查的人数为：40÷20%=200（人）
D类疫苗的人数百分比为：60÷200×100%=30%
∴m=30
故答案为：200，30
【分析】
（1）观察条形统计图和扇形统计图可利用A类的数量及占比求出样本容量，再用样本容量分别乘以B、C两类的占比可得B、C两类的数量，则D类占比可求；
（2）B类人数：200×40%=80；C类人数：200×=20；
（3）两步试验可通过画树状图或列表的方法求概率，画树状图时注意不重复不遗漏，列表时注意对角线栏目上是否填写数据.
16．【答案】（1）解：在中，，∴．
即的长为．
（2）解：设，在中，，
∴．
在中，由，，，
则.
∴．
即的长为．
如图，过点作，垂足为．
根据题意，，
∴四边形是矩形．
∴，．
可得．
在中，，，
∴．即．
∴．
答：塔的高度约为．
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半；
（2）过点D作AB的垂线段DF，则四边形DFAE是矩形，所以FA等于DE；为便于计算，可设AB＝h，则BF等于h-3，再分别解和即可分别表示出AC与DF，而DF与AC的差恰好等于DE等于3，即可求出AB的长．
17．【答案】（1）证明：如图，连接，，
与相切，
，
点是中点，为圆心，
，
，，
，
，
，
又，，
，
，
，
点是上的点，
与相切；
（2）解：如图，连接，
点是中点，，
，
又是直径，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
在中，，
．
【知识点】圆周角定理；切线的性质；三角形全等的判定-SAS；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）连接OC、OE，则OC等于OA等于OB，则；由切线的性质可知，则与互余；由于OE是三角形BAD的中位线，则OE平行AD，则由平行线的性质结合等量代换得，则可利用“SAS”证明，则即可；
（2）由于直径所对的圆周角是直角，则，由同角的余角相等可得，由，证得∽，由于BD等于DE的2倍等于4，则根据三角形相似的性质结合AC等于4CD即可求得，然后利用勾股定理先求出AB的长，再使用勾股定理即可求得的长．
18．【答案】（1）解：当x＝2时，反比例函数y＝=3，∴A（2，3），
将点A（2，3）代入y＝﹣x+b，得
3＝﹣×2+b，
解得：b＝4，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+4；
（2）解：联立两函数解析式，得，解得：，，
∴B(6，1)，
当y＝0时，﹣x+4＝0，
∴x＝8，
∴D(8，0)，
过点A作AP⊥y轴于P，
∵OMAP，
∴△NOM∽△NPA，
∴，
∵AP=2，AM=MN，
∴，
∴OM＝1，
∴MD＝7，
∴S△ABM＝S△ADM﹣S△BDM＝；
（3）解：设C（0，a）、D（m，n）
∵四边形ABCD是平行四边形
∴，即
∴D（﹣4，a+2）
过D作x轴的平行线l，过点A、E作l的垂线，垂足分别为G，H，
∴∠AHD＝∠EGD，∠EDG＝∠ADH，
∴△DEG∽△DAH，
∴，
∴DG＝DH＝2，EG=AH＝，
∴点E（﹣2，），
∵点D、E都在反比例函数y=上，
∴﹣2×（）＝﹣4（a+2），
解得a＝﹣，
∴k＝﹣4（a+2）＝﹣4×（﹣+2）＝﹣3．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；几何图形的面积计算-割补法；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）先利用函数图象上点的坐标特征将A（2，m）代入反比例函数解析式y＝中求得m，再代入直线y＝﹣x+b即可求出b；
（2）如图所示，设直线AB交x轴于点D，再过点A作AP⊥y轴于P，可先联立关于直线与双曲线的方程组求出A、B两点坐标，利用直线AB的解析式可确定其与x轴交点D的坐标，由于已知AM＝MN，则OM是△NPA的中位线从而确定M的坐标，从而可得出MD的长，利用A、B坐标可计算S△ABM＝S△ADM﹣S△BDM即可；
（3）设C（0，a），由于平行四边形的对角线互相平分，可得点D（﹣4，a+2），过D作x轴的平行线l，过点A、E作l的垂线，垂足分别为G，H，则可证△DEG∽△DAH，从而利用相似比可表示出点E的坐标，由于点A、E都在双曲线 y＝ 上，可联立关于a的一元一次方程即可求得a的值，则k可求．
19．【答案】
【知识点】已知三视图进行几何体的相关计算
【解析】【解答】解：根据题意可知该直四棱柱的底面是一个对角线长为的正方形，
这个直四棱柱的体积为：，
故答案为：．
【分析】
由于直四棱柱的主视图和左视图大小和形状相同，且底面是一个正方形，则主视图对应的矩形的长为直四棱柱的高，其宽为底面正方形的对角线长，则底面正方形的面积可利用对角线乘积的一半计算，再乘以高即可得出其体积．
20．【答案】2034
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵a，b是方程x2＋3x﹣5＝0的两个实数根，
∴，，
a2﹣3b＋2020
故答案为：2034.
【分析】根据方程解的概念可得a2+3a=5，根据根与系数的关系可得a+b=-3，将待求式变形为a2+3a-3(a+b)+2020，然后代入计算即可.
21．【答案】
【知识点】圆内接正多边形；几何概率；“割圆术”
【解析】【解答】解：如图，设的半径为R，则，
∵六边形是正六边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
故答案为：．
【分析】
设圆的半径为R，用含有R的代数式表示正六边形的面积以及圆的面积，则其面积比即为所求概率．
22．【答案】
【知识点】圆周角定理；解直角三角形；圆-动点问题
【解析】【解答】
解：如图所示，作的外接圆，过过点分别作、，垂足为，再连接.
矩形中，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四点共圆，
∴，
设，则
即，当时，面积有最小值，最小值为．
故答案为：
【分析】
过点A作BD的垂线段AM，由于矩形的一组邻边AB、AD已知，则利用矩形性质可求出对角线BD的长，则BD上高AM可求，由于EG在对角线BD上，因此AM也是的边EG上的高，显然当EG取小值时面积最小；此时由于四边形ABFE的一组对角互补，因此A、B、F、E四点共圆，则等于是个定角，因此可作的外接圆，再过圆心O作弦EG的垂线段ON，连接OA、OE、OG，则由垂径定理及圆周角定理知等于等于，且EG等于EN的2倍；此时可设出EN的长，再解可分别求得ON、OE的长，由于半径都相等，则可由垂线段最短得关于EN的不等式，即，则可求出EN的最小值，则EG的最小值可求，则面积的最小值可求.
23．【答案】或；17
【知识点】坐标与图形性质；一次函数中的动态几何问题；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】
解：设的轨迹与轴的交点坐标为，
由题意，可得，
当时，解得；
当时，等式不成立；
当时，解得；
∴点的轨迹与轴的交点坐标为：或．
故答案为：或；
如图所示，设点，
，，
∴当时，
（1）当时，，
∴，
（2）当时，，
（3）当时，，
当时，
（4）当时，，
（5）当时，不合题意舍去，
（6）当时，，
当时，
（7）当时，，
（8）当时，，
（9）当时，，
∴的图像如下图，
设的解析式为，
∴，
∴，
∴，
当时，，即点
∴，
∵，
∴，
则，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】
设的轨迹与轴的交点坐标为：，可得出，再分类讨论，即当时或时或时，求解关于的一元一次方程即可；
先设，再利用折线距离的定义分别表示出和，下来再对绝对值符号内的代数式进行分类讨论进而可对其进行化简，从而可求出每一段的函数关系式，可得出点的运动轨迹，观察图象知当点R在直线上且x=-2时距离直线AB的距离最大，由于AB是定值，则此时的面积最大，由于的面积既可以直接用底边AB与AB上的高CR乘积的一半来计算，也可以用与面积的差来表示，从而可得出CR与AB的数量关系，再代入到的面积公式中即可得出其最大值．
24．【答案】（1）解：设销售量y（件）与售价x（元/件）之间的函数关系式为，则，
解得：，
∴销售量y（件）与售价x（元/件）之间的函数关系式是；
（2）解：设商家销售该服装的利润为w元，根据题意得：，
∵活动要求利润不得高于成本的80%．
∴，
解得：，
∵，
∴当时，w有最大值，最大值为2208，
∴商家售价定为54元/件时，总利润最大，最大利润为2208元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）观察图象可用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据利润=单件利润×销售量列出函数解析式，可发现利润是售价的二次函数，且二次项系数为负，则利润有最大值；此时可结合题目要求利润不得高于成本的80%可求出售价的取值范围，再利用二次函数的增减性即可求出最大利润．
25．【答案】（1）解：∵抛物线与x轴交于、两点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：过点作于点，如图：
则，
，，
，
，，
，
在中，由勾股定理得．
轴，
，
，
，
，
，
∴ 的周长，
∴当最大时，的周长最大．
设，其中．
，
∴直线的解析式为，
，
，
，
时，有最大值，最大值为，
周长的最大为，．
（3）抛物线的平移距离的值为或或1
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；平行线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；解直角三角形；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：由题知：平移后的抛物线的解析式为．
设，则．
又∵直线的解析式为，点在上，
，
，
，
，，
．
当是等腰三角形时，
①若，则，
解得（舍去），，
；
②若，则，
解得，
；
③若，
则，
解得：，（舍去），
．
综上，抛物线的平移距离的值为或或1．
【分析】（1）根据待定系数法将点A，B坐标代入抛物线解析式即可求出答案.
（2）过点作于点，根据等腰三角形性质可得，则，再根据勾股定理可得AD=5，再根据直线平行性质可得，则，即，可得，再根据三角形周长可得当最大时，的周长最大，设，其中，求出直线AD的解析式，则，再根据两点间距离可得，结合二次函数性质即可求出答案.
（3）根据函数图象的平移性质可得平移后的抛物线的解析式为，设，则，根据题意建立方程，解方程可得，则，根据等腰三角形性质分情况讨论：①若，②若，③若，建立方程，解方程即可求出答案.
26．【答案】证明：（1）证明：∵，∴
∴，
∴；
（2）①连接，
∵四边形是菱形
∴
∴
∵
∴
则
∵
∴，
得，
∴，
∵
∴，
∴
②由①同理得，，
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴，
∴，
∴；
（3）解：连接，
∵点E为的中点，四边形为菱形，
∴
∵，
∴
∵
∴
∴
∵，
∴
∴
在上取点M，使
∴，
∵
∴
∴
∴
∴当点三点共线时，最小，即最小，
连接，过点D作，交的延长线于N，
∵，
∴，
∴，
∴最小值为．
【知识点】菱形的性质；旋转的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）由两组角对应相等两三角形相似可得，再由相似的性质化比例式为等积式即可；
（2）①由于菱形的对角相等，且对角线平分一组对角，因此可连接，由已知可得，则；又菱形的对边平行可得，等量代换得，则，利用相似比结合已知条件计算即可得出CM与FN的长；
②同①的证明过程可得，得，代入计算得的长，从而解决问题；
（3）连接根据两边成比例且夹角相等可得，得；在上取点M，使，再次利用两边成比例且夹角相等可得，则， 此时化为的形式，显然的最小值就是线段的值，可过点D作BC的垂线段DN，利用勾股定理即可求得DM的值，则DM的2倍就是的最小值．
