10.1 随机事件与概率 同步作业
一、选择题
1．将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，落地时朝上的点数之和为6的概率为( )
A. B. C. D.
2．抛掷一枚质地均匀的骰子一次，出现点数为偶数的概率为( )
A. B. C. D.
3．学校放三天假，甲 乙两名同学打算去敬老院做志愿者，甲同学准备在三天中随机选一天，乙同学准备在前两天中随机选一天，则甲乙选择同一天的概率是( )
A. B. C. D.
4．同时抛掷三枚质地均匀的骰子，得到向上的点数分别为x，y，z，则，，是直角三角形的三个内角的概率为( )
A. B. C. D.
5．已知A，B，C是三种电子信息传递元件，第一次由A元件将信息传出，每次传递时，传递元件都等可能地将信息传递给另外两个元件中的任何一个，则第三次传递后，信息在A元件中的概率是( )
A. B. C. D.
6．为了推动国家乡村振兴战略，某地积极响应，不断自主创新，培育了某种树苗，其成活率为0.8，现采用随机模拟的方法估计该树苗种植3棵恰好3棵都成活的概率.先由计算机产生1到5之间取整数值的随机数，指定1至4的数字代表成活，5代表不成活，再以每3个随机数为一组代表3次种植的结果.经计算机随机模拟产生如下20组随机数：321，453，142，234，511，454，352，115，243，535，422，134，315，221，451，144，332，254，112，523
.据此估计，该树苗种植3棵恰好3棵都成活的概率为( )
A.0.45 B.0.5 C.0.512 D.0.55
7．将一个质地均匀的正方体骰子（每个面上分别写有数字1,2,3,4,5,6）先后抛掷2次,观察向上的点数,则2次抛掷的点数之和为7的概率是( )
A. B. C. D.
8．口袋内装有大小相同的红球、白球和黑球,从中摸出一个球,摸出红球的概率是0.42,摸出白球的概率是0.28,则摸出黑球的概率是( )
A.0.42 B.0.28 C.0.7 D.0.3
9．掷两枚质地均匀的正方体骰子，设出现的点数之和为S的概率是P，则P最大时S等于( )
A.6 B.7 C.8 D.9
10．在7个除颜色外其他都相同的小球中,有3个红球,4个白球,从中任意取出3个小球,则事件“3个小球中至少有2个白球”的对立事件是( )
A.3个小球中至多有1个白球 B.3个小球中至多有1个红球
C.3个小球都是红球 D.3个小球都是白球
二、多项选择题
11．2024年旅游市场强劲复苏,7,8月的暑期是旅游高峰期．甲、乙、丙、丁四名旅游爱好者计划2024年暑期在北京、上海、广州三个城市中随机选择一个去旅游,每个城市至少有一人选择．事件M为“甲选择北京”,事件N为“乙选择上海”,则下列结论正确的是( )
A.事件M与N互斥 B.
C. D.
12．袋子中有4个大小质地完全相同的球,其中2个红球、2个黄球,从中不放回依次摸出2个球,记“恰有一次摸到红球”,“两次都摸到红球”,“两次都摸到黄球”,“至少有一次摸到红球”,“至多一次摸到红球”.则下列说法正确的是( )
A.事件A与事件B是互斥事件 B.事件B与事件C是对立事件
C.事件C与事件D是对立事件 D.事件D与事件E是互斥事件
13．设A,B是两个随机事件,则下列说法正确的是( )
A.表示两个事件至少有一个发生
B.表示两个事件至少有一个发生
C.表示两个事件均不发生
D.表示两个事件均不发生
14．甲、乙两人分别从云台山、青天河、神农山、月山寺这四个景点中随机选择一个景点去旅游，已知甲、乙两人选择哪个景点相互独立，则下列说法正确的是( )
A.甲去云台山的概率为
B.甲、乙两人都去云台山的概率为
C.甲、乙两人中恰有一人去云台山的概率为
D.甲、乙两人中至少有一人去云台山的概率为
三、填空题
15．已知数列，等可能取，0或1，数列满足，且，则的概率为________.
16．袋中有红球 黑球 黄球 绿球共12个,它们除颜色外完全相同,从中任取一球,得到红球的概率是,得到黑球或黄球的概率是,得到黄球或绿球的概率也是,则得到黄球的概率是_____________.
17．用1，2，5这三个数字组成无重复数字的三位数，则这个三位数比215大的概率为___________.
18．用3种不同的颜色给M，N两个区域涂色，每个区域只涂一种颜色，则M，N两个区域颜色相同的概率是__________.
四、解答题
19．由mn个小正方形构成的长方形网格有m行和n列.每次将一个小球放到一个小正方形内，放满为止，记为一轮.每次放白球的概率为p，放红球的概率为q，.
（1）若，，记y表示100轮放球实验中“每一列至少一个红球”的轮数，统计数据如表：
n 1 2 3 4 5
y 76 56 42 30 26
求y关于n的回归方程，并预测时，y的值（精确到1）.
（2）若，，，，记在每列都有白球的条件下，含红球的行数为随机变量X，求X的分布列和数学期望.
（3）求事件“不是每一列都至少一个红球”发生的概率，并证明：.
附：经验回归方程系数，；，.
20．将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，事件A：“两数之和为8”，事件B：“两数之和是3的倍数”，事件C：“两个数均为偶数”.
(1)写出该试验的基本事件，并求事件A发生的概率；
(2)求事件B发生的概率；
(3)事件A与事件C至少有一个发生的概率.
21．我国老龄化时代已经到来，老龄人口比例越来越大，出现很多社会问题.2015年10月，中国共产党第十八届中央委员会第五次全体会议公报指出：坚持计划生育基本国策，积极开展应对人口老龄化行动，实施全面二孩政策.随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如下表.
非一线 一线 总计
愿生 40 y 60
不愿生 x 22 40
总计 58 42 100
（1）求x和y的值.
（2）解题思路调查数据，是否有以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”？
（3）在以上二孩生育意愿中按分层抽样的方法，抽取6名育龄妇女，再选取两名参加育儿知识讲座，求至少有一名来自一线城市的概率.
参考公式：，
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
22．甲、乙两同学组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响.
(1)求甲在4轮活动中，恰有3轮连续猜对成语的概率；
(2)求“星队”在两轮活动中至少猜对3个成语的概率.
23．北京2024年冬奥会，向世界传递了挑战自我 积极向上的体育精神，引导了健康 文明 快乐的生活方式.为了激发学生的体育运动兴趣，助力全面健康成长，某中学组织全体学生开展以“筑梦奥运，一起向未来”为主题的体育实践活动，参加活动的学生需要从3个趣味项目（跳绳 踢毽子 篮球投篮）和2个弹跳项目（跳高 跳远）中随机抽取2个项目进行比赛.
（1）若从这5个项目中随机抽取2个，求抽取的2个项目都是趣味项目的概率；
（2）若从趣味项目和弹跳项目中各抽取1个，求这2个项目包括跳绳但不包括跳高的概率.
参考答案
1．答案：A
解析：由题意可知，将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，
落地时朝上的点数的情况为：
，，，，，
，，，，，
，，，，，
，，，，，
，，，，，
，，，，，共36种，
满足题意的点数为：，，，，共种可能，
由古典概型的计算公式可知，
落地时朝上的点数之和为6的概率为.
故选：A.
2．答案：A
解析：抛掷一枚质地均匀的骰子一次，点数有6种可能:1，2，3，4，5，6，其中是偶数的有3种:2，4，6，概率为，
故选：A.
3．答案：C
解析：甲同学有3种选择，乙同学有2种选择，故共有种选择，
其中甲乙选择同一天的情况有2种，故甲乙选择同一天的概率为.
故选：C
4．答案：B
解析：若，，是直角三角形的三个内角，
则，即.
因为，所以这三个数只能是2，3，6或2，4，4，
所以，，是直角三角形的三个内角的概率为.
故选：B.
5．答案：B
解析：依题意三次传递所有的传递方法有：
；；
；；
；；
；；
则共有8种传递方法．
第三次传递后，信息在A元件中的有两种情况，
所以第三次传递后，信息在A元件中的概率
故选：B．
6．答案：B
解析：由题意得共有20组随机数，
分别为321，453，142，234，511，454，352
115，243，535，422，134，315，221，
451，144，332，254，112，523
恰好3棵都成活的随机数有：321，142，234，243，
422，134，221，144，332，112，共10个，
故估计种植3棵恰好3棵都成活的概率为：，故B正确.
故选：B
7．答案：C
解析：基本事件总数,点数之和是7包括,,,,,共6种情况,
则所求概率是.
故选:C.
8．答案：D
解析：从中摸出一个球,摸出红球、摸出白球、摸出黑球是互斥的,所以由互斥事件概率的加法公式知摸出黑球的概率是,故选D.
9．答案：B
解析：
第一枚第二枚 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
根据上图可知：点数之和为7时出现的次数最多即概率最大.
故选：B
10．答案：A
解析：由题意知,3个小球中至少有2个白球包含的情况为：2白1红、3白,
所以其对立事件包含的情况为：3红、2红1白,
即至多有1个白球.
故选：A.
11．答案：BC
解析：对于A,甲选择北京与乙选择上海可能会同时发生,即事件M与N会同时发生,不互斥,A错误;
对于B,由题意知共有事件个数,事件M与N的个数均为个,
故,,
则,,即,B正确,
对于C,,C正确;
对于D,,D错误,
故选：BC.
12．答案：AC
解析：对于A,由于事件A与事件B不可能同时发生,故二者是互斥事件,A正确;
对于B,,但,故二者为互斥事件,不是对立事件,B错误;,
对于C,至少有一次摸到红球包括有一次摸到红球一次摸到黄球和两次都摸到红球,
其对立事件为没有一次摸到红球,即两次都摸到黄球,故事件C与事件D是对立事件,C正确;
对于D,{有一次摸到红球,另一次摸到黄球},故二者不互斥,D错误,
故选:AC
13．答案：ACD
解析：因为A,B是两个随机事件,
所以表示两个事件至少有一个发生,故A正确;
表示两个事件恰有一个发生,故B错误;
表示两个事件均不发生,故C正确;
表示两个事件均不发生,故D正确.
故选：ACD.
14．答案：AC
解析：将甲、乙两人去云台山、青天河、神农山、月山寺旅游分别记为A，B，C，D，依题意可知样本空间为：
，
共含有16个样本点.
甲去云台山的情况为，
样本点有4个，概率为，故A正确；
甲、乙两人都去云台山的情况为，
样本点有1个，概率为，故B错误；
甲、乙两人中恰有一人去云台山的情况为，
样本点有6个，概率为，故C正确；
甲、乙两人中至少有一人去云台山的情况为，
样本点有7个，概率为，故D错误.
故选：AC.
15．答案：
解析：由题意可得：，，
，，
若，则，
从，，，各随机从，0，1中选一个，共有种情况；
若，可分为三类：
，，，都取0，一种情况；
，，，中两个取0，一个取1，一个取，共有，
，，，中两个取1，两个取，共有，
共计19种情况，
所以的概率为：.
故答案为：
16．答案：
解析：设事件A,B,C,D分别表示事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”,
则事件A,B,C,D两两互斥,
根据题意,得,即,
解得,,,所以得到黄球的概率是.
故答案为：.
17．答案：
解析：构成三位数的试验的样本空间
，有6个样本点，
比215大的事件，共3个样本点，
所以所求的概率.
故答案为：
18．答案：
解析：三种不同的颜色分别用a，b，c表示，
则给M，N两个区域涂色包含的基本事件有：
，，，，，
，，，共9个基本事件，
事件M，N两个区域颜色相同包含的基本事件有：
，，共3个基本事件，
所以事件M，N两个区域颜色相同的概率.
故答案为：.
19．答案：（1）回归方程为；预测时，
（2）分布列见解析，数学期望为
（3）证明见解析
解析：（1）由题知，
所以，
所以y关于n的回归方程为，
所以预测时，.
（2）由题知X的取值可能为0，1，2，
记“含红球的行数为k”为事件，记“每列都有白球”为事件B，
所以，
，
，
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
所以.
（3）易知每一列至少一个红球的概率为，
记“不是每一列都至少一个红球”为事件A，则.
记“每一行都至少一个白球”为事件B，则，
显然，
所以，
所以.
20．答案：(1)，
(2)
(3)
解析：(1)所有可能的基本事件为：
，，，，，
，，，，，
，，，，，
，，，，，
，，，，，
，，，，，
共36种.
其中“两数之和为8”的有，，
，，共5种，故.
(2)由(1)得“两数之和是3的倍数”的有，，，，
，，，，，
，，共12种，故概率为.
(3)由(1)“两个数均为偶数”的有9种，
“两数之和为8”的有，，，，共5种，
重复的有，，三种，
故事件A与事件C至少有一个发生的有种，
概率为.
21．答案：（1）,
（2）有以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”
（3）
解析：（1）由题意得，.
（2）由，得，
有以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”.
（3）抽取6名育龄妇女，来自一线城市的人数为，记为1，2，
来自非一线城市的人数为，记为a，b，c，d，
选设事件A为“取两名参加育儿知识讲座，求至少有一名来自一线城市”，
基本事件为：，,,,,,,,,,,，,,,
事件,,,,,,,,共有9个，
或.
22．答案：(1)
(2)
解析：(1)设“甲第轮猜对成语”，
“甲在4轮活动中，恰有3轮连续猜对成语”，
则，
且与是互斥事件，
因为，，，之间相互独立，
所以与之间也相互独立，
因此，甲在4轮活动中，恰有3轮连续猜对成语的概率是.
(2)设“甲两轮猜对个成语”，
“乙两轮猜对个成语”
由题意可知，.
，.
设“两轮活动中“星队”至少猜对3个成语”，
则，
且、、是互斥事件，
由题意可得
，
因此，“星队”在两轮活动中至少猜对3个成语的概率是.
23．答案：（1）；
（2）.
解析：（1）设3个趣味项目分别为（跳绳），（踢毽子），（篮球投篮），2个竞技项目分别为（跳高），（跳远）.
从5个项目中随机抽取2个，其可能的结果组成的基本事件有，，，，，，，，，，共10个，其中，抽取到的这2个项目都是趣味项目的基本事件有，，，共3个，故所求事件的概率；
（2）从趣味项目和弹跳项目中各抽取1个，其可能的结果组成的基本事件有，，，，，，共6个，其中，抽取到的这2个项目包括A1（跳绳）但不包括B1（跳高）的基本事件有，共1个，故所求事件的概率.
