2024-2025学年中考数学二轮复习
相交线与平行线综合问题
1．如图，将延射线的方向平移2个单位到的位置，点，的对应点分别为点．
(1)直接写出图中与相等的线段．
(2)若，则等于___________．
(3)若等于，求的度数．
2．某学校因增设了篮球场，现购进一些篮球架．如图是某款篮球架，图是其示意图，已知立柱垂直地面，支架与交于点，支架交于点，支架平行地面，篮筐与支架在同一直线上，，，．
(1)求的度数．
(2)某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：）
3．如图1所示是一种简易手机支架，由底座、支撑板和托架组成，将手机放置在托架上，图2是其简易结构图．现测量托架长长，支撑板长，可绕点转动，可绕点转动．
(1)若水平视线与的夹角，，求的度数；
(2)当，时，求点到底座的距离．（结果精确到0.1，参考：）
4．如图，在中，点在边上，且点不与点，重合，点在的延长线上，交于点，过点作交于点．
(1)若点是的中点，求证：；
(2)在（）的条件下，若，，求的度数．
5．已知：如图，，．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数．
6．如图，在三角形中，点，分别在边，上，连接，，点在上，连接，，，若，求的度数．
7．如图，已知于O，．
(1)若平分，求的度数；
(2)若的度数比的度数的3倍多，试判断与的位置关系，并说明理由．
8．如图，已知直线，相交于点O，平分，平分，．
(1)试说明：；
(2)求的度数．
9．问题情境：如图1，，，，求度数．
小明的思路是：过P作，通过平行线性质来求．
(1)按小明的思路，易求得的度数为 度；（直接写出答案）
(2)问题迁移：如图2，，点P在射线上运动，记，，当点P在B、D两点之间运动时，问与，之间有何数量关系？请说明理由；
(3)在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出与，之间的数量关系．
10．如图，已知射线，连接，点是射线上的一个动点（与点不重合），分别平分和，分别交射线于点．
(1)当时，求的度数；
(2)判断是否为定值？若是定值，请求出这个定值；若不是，请说明理由；
(3)当时，求的度数．
11．已知直线，将一个含角的直角三板按如图1所示位置摆放，使分别在上，P在之间，设．
(1)比较：_______（填“>”“<”或“=”）；
(2)如图2，分别画的平分线，交于点Q，求的度数；
(3)如图3，在（2）的条件下，若平分，交于点E，过点N作，交于点F．请在图3中补全图形，并判断的大小是否是一个定值？若是，请求出它的值；若不是，请说明理由．
12．如图，直线，点在直线的上方，连接、，过点作．
(1)如图1，若，，求的度数；
(2)如图2，过点作，交的延长线于点，求和之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，在（2）的条件下，的平分线，交于点，连接并延长至点，延长交于点，过点作交于点，若平分，求的值．
13．如图，直线，交于点，平分，．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数．
14．【定义】如果两个角的差为，就称这两个角互为“幸福角”，其中一个角叫做另一个角的“幸福角”．
例如：，，，则和互为“幸福角”，即是的“幸福角”，也是的“幸福角”．
(1)已知和互为“幸福角”，且，若和互补，则_______；
(2)如图1所示，在中，，过点C作的平行线，的平分线分别交、于D、E两点．
①若，且和互为“幸福角”，则________；
②如图2所示，过点C作的垂线，垂足为F，相交于点N．若与互为“幸福角”，求的度数．
15．已知：如图，，直线交于点M，交于点N，点E是线段上一点，P，Q分别在射线上，连接平分，平分．
(1)如图1，当时，请求出的度数；
(2)如图2，求与之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，在（1）问的条件下，若，过点P作交的延长线于点H，将绕点N顺时针旋转，速度为每秒，直线旋转后的对应直线为，同时将绕点P逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当首次落到上时，整个运动停止．在此运动过程中，经过秒后，恰好与的其中一条边所在直线平行，请直接写出所有满足条件的t的值．
参考答案
1．(1)
(2)
(3)
【分析】此题主要考查了平移变换，平行线的性质，正确应用平移的性质是解题关键．
（1）直接利用平移的性质得出相等线段；
（2）直接平移的性质得出的长，进而得出答案；
（3）由平移变换的性质得：，，再根据平行线的性质即可得到∠CFE的度数．
【详解】（1）解：与相等的线段有：；
（2），将沿射线的方向平移个单位到的位置，
，
则．
故答案为：；
（3）由平移变换的性质得：，，
，
，
．
2．(1)；
(2)该运动员能挂上篮网，理由见解析．
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、平行线的性质、锐角三角函数，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形，利用直角三角形的性质求出的长度，再根据的长度判断能否挂上篮网．
根据可知，根据直角三角形两锐角互余可得；
延长交于点，根据对顶角相等可知，利用锐角三角函数可求出，从而可得，所以该运动员能挂上篮网．
【详解】（1）解：，
，
，
；
（2）解：该运动员能挂上篮网，
理由如下：
如图，延长交于点，
，，
，
又，
在中，，
，
该运动员能挂上篮网．
3．(1)
(2)
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，平行线的性质，三角形内角和定理等知识．解题的关键在于确定线段之间的数量关系．
（1）过作，根据平行线的性质可求得，即可求的度数；
（2）过点作，过点作于，交于，作于，由，求得，由，求得，在中．根据进而可求．
【详解】（1）解：过作，
，
，
，
，
，
；
（2）解：过点作，过点作于，交于，作于，，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
在中．，
，
．
答：点到底座的距离为．
4．(1)证明见解析；
(2)
【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，等边对等角，对顶角相等，三角形内角和定理，掌握知识点的应用是解题的关键．
（1）由，点是的中点，则，，然后根据“”证明即可；
（2）由，，则，再根据等边对等角，对顶角相等，三角形内角和定理即可求解．
【详解】（1）证明：∵，点是的中点，
∴ ，，
在与中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，，，
∵，
∴，，
∴，，
∴．
5．(1)
(2)
【分析】此题考查了平行线的判定和性质，证明是关键．
（1）证明，得到，即可得到答案；
（2）由平行线的性质和等量代换得到，即可证明，根据平行线的性质即可得到答案．
【详解】（1）解：，
，
，
又，
；
（2）解：，
，
，
，
，
．
6．
【分析】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
延长交于点，由，得到，推出，得到，推出，得到，即可得到．
【详解】解：如图，延长交于点，
，，
，
，
，
，
，
，
．
7．(1)
(2)，理由见解析
【分析】本题考查了角的计算、角平分线的定义、垂线的定义．
（1）根据，可得，再结合角平分线的定义可得， 即可求解；
（2）根据，可得，再结合的度数比的度数的3倍多，可得，即可解答．
【详解】（1）解：∵，
∴．
∵，
∴．
∵平分，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵，
∴．
∵，
∴．
∵的度数比的度数的3倍多，
∴，
∴．
∵，
∴．
8．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查的是角平分线的定义，角的和差运算，垂直的定义；
（1）先证明，，再利用角的和差运算可得结论；
（2）由条件可得，求解，再进一步求解即可．
【详解】（1）解：∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
9．(1)110；
(2)，理由见解答过程
(3)当P在延长线上时，；当P在延长线上时，．
【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理的推论，正确作出辅助线是解题的关键．
（）过点作，由平行线性质求即可；
（）过点作，交于，推出，根据平行线的性质得出，，即可得出答案；
（）分两种情况：在延长线上和在延长线上，分别画出图形，根据平行线的性质解答即可求解；
【详解】（1）解：过点作，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
故答案为：；
（2）解：， 理由如下：
如图，过点作，交于，
∵，
∴，
∴，，
∴；
（3）解：当在延长线上时，如图所示，
由（）可知，，，
∴；
当在延长线上时，如图所示，
由（）可知，，，
∴．
10．(1)
(2)为定值，这个定值为
(3)当时，的度数为
【分析】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，掌握以上知识，数形结合分析是关键．
（1）根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，由此即可求解；
（2）根据提议设，则，由此即可求解；
（3）设，根据平行线的性质，角平分线的定义得到，，则，由此即可求解．
【详解】（1）解：，
，
∵分别平分和，
；
（2）解：为定值，
∵平分，
∴设，
，
，
，
为定值，这个定值为2；
（3）解：∵平分，
∴设，
由（2）知：，
，
，，
，
，
，
，
又，
．
∴当时，的度数为．
11．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，平角的性质，通过平行线构造等角是解答本题的关键．
（1）通过辅助线构造等角得出和，进而得出结论；
（2）由平行线的性质得出，在平角中求出，进而求出 ，再同（1）可求出的大小；
（3）根据题意补全图形，先由平行线的性质求出然后角平分线的性质求出，最后通过角的和差关系求得 ，结合（1）即可求出结果．
【详解】（1）解： 如图， 过点作平行于， 则，
，
，
，
故答案为：；
（2）解：∵，
，
，
∴由（1）结论同理可得：，
，
；
（3）解：根据题意补全图形如下：
∵，
，
，
，
，
∵平分，
，
∵平分 ，
，
，
由（1）知，
，
故的大小为定值，度数是 ．
12．(1)
(2)，见解析
(3)
【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，垂线，角平分线的定义，解答的关键是结合图形，分析清楚角与角之间的关系．
（1）证明出，求出，进而求解即可；
（2）得出，结合，得到，进而求解即可；
（3）由平行线得到，，由角平分线得到，，然后结合求解即可．
【详解】（1）解：，，
，，
，
．
（2）解：（其他形式正确也可），理由如下：
，
，
由（1）知：，
，
，
，
即．
（3）解：，
，
，
，，
，
又，
，
平分，平分，
，，
，
由（2）可得：，
，
，
，
的值为．
13．(1)
(2)
【分析】本题考查角平分线的定义，垂直的定义，对顶角性质等知识；
（1）先根据角平分线的定义求出，根据垂直得出，进而根据平角得出答案；
（2）得出，根据对顶角相等得出，进而根据角平分线的定义得出答案．
【详解】（1）平分，
，
，
，
．
（2），，
，
，
．
14．(1)
(2)① ；②或
【分析】（1）根据题意得①，②，加减消元法求解即可；
（2）①设，求得，根据三角形内角和定理求得，根据和互为“幸福角”，再列式计算即可求解；
②设，利用平行线的性质和三角形的外角性质分别求得，，，再根据与互为“幸福角”，分两种情况列式计算即可求解．
【详解】（1）解：∵和互为“幸福角”，且，
∴①，
∵和互补，
∴②，
得，，
∴，
故答案为：；
（2）解：①设，
∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∵和互为“幸福角”，且，
∴，即，
∴，
解得；
②设，同理，，
则，
∵，，
∴，
，
∵与互为“幸福角”，
分两种情况，
当，
∴，
解得，
∴；
当，
∴，
解得，
∴；
综上，的度数为或．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，一元一次方程的应用．熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．
15．(1)
(2)
(3)或5.5或11.5
【分析】本题考查了平行线判定，三角形内角和定理及其推论，旋转的性质，四边形内角和等知识，解决问题的关键是正确分类，并找出相等关系列方程．
（1）过点作，过点作，利用平行线的性质和角平分线的性质计算角度即可；
（2）按照（1）的思路即可解答；
（3）分为的三边分别与平行，当时，与同的夹角（锐角）相等，从而列出方程求得结果，同样的方法求得当和，当时的结果．
【详解】（1）解：如图，过点作，
，，
，
设，
，
，
，
平分，平分，
，，
如图，过点作，
，，
，
，
，
;
（2）解：如图，过点作，过点作，
，
则可得，，
设，，
根据上述原理可得，，
，，
，
即；
（3）解：如图，当时，
设交于，
，
，，
，
由题意可得，
，
，
，即，
，
如图，当时，
同理可得：，
，
如图，当时，
设的延长线交于，
，，
，
，
，
由，得，
，
综上所述：或5.5或11.5．
