2025年九年级数学中考复习有关三角形的最值问题考前冲刺训练
1．如图1，和均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接．
(1)填空：的度数为______；②线段之间的数量关系为______；
(2)如图2，和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一直线上，为中边上的高，连接，请判断的度数及线段之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，在中，，，平面上一动点P到点B的距离为4，将线段绕点C顺时针旋转，得到线段，连，则是否有最大值和最小值？若有，直接写出，不需要说明理由．
2．在菱形中，，点是线段上一动点，以为边向右侧作等边三角形，点的位置随着点的位置变化而变化．
(1)如图，当点在菱形内部或边上时，连接，
判断：与的数量关系是__________请写出证明过程．
与的位置关系是___________请写出证明过程．
(2)若，点为的中点，则线段的长最小值为_______最大值为________．
(3)如图，当点在线段的延长线上时，连接，若，，直接写出四边形的面积________．
3．综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“等边三角形”为主题开展数学活动．
(1)问题发现
如图1，点P，Q分别是等边边，上的中点，连接，交于点M．
请直接写出的度数为______；
(2)类比探究
如图2，小琦将点P，Q移动到，其他位置时，继续探究：
点P，Q分别是边，上的任意一点，且保持，那么的大小变化吗？
若变化，请说明理由，若不变，请求出它的度数；
(3)拓展应用
如图3，点P，Q分别是在射线，上运动，且保持，直线，交于点M，连接．已知等边三角形的边长为a，请直接写出长的最小值和最大值．
4．已知：为等边三角形．
(1)如图1，点、分别为边、上的点，且．求证：；
(2)如图2，点为外一点，、的延长线交于点，连接，已知，且，，求的长；
(3)如图3，线段的长为，线段的长为，连接，以为边作等边，连接，直接写出当线段取最大值与最小值时的度数．
5．在数学综合与实践活动课上，小明以“矩形的旋转”为主题开展探究活动．
(1)操作判断
小明将两个完全相同的矩形纸片和拼成“L”形图案，如图①．试判断：的形状为__________．
(2)深入探究
小明在保持矩形不动的条件下，将矩形绕点C旋转，若，．
探究一：当点F恰好落在的延长线上时，设与相交于点M，如图②．求的面积．
探究二：连接，取的中点H，连接，如图③．求线段长度的最大值和最小值．
6．如图，在矩形中，，，E是边上的一个动点，F是边上的一个动点，连接，将矩形沿折叠，点A，B的对应点分别为点M，N．
(1)当点N在射线上时．
①如图1，连接，若点N与点D重合，则的长为 ；
②如图2，连接交边于点P，交线段于点Q．当时，求的长．
(2)若，连接，求面积的最大值与最小值之差．
7．如图1，矩形的两条边分别在轴和轴上，已知点、点．
(1)若把矩形沿直线折叠，使点落在点处，直线与、、的交点分别为，求折痕的长；
(2)在（1）的条件下，若点在轴上，在平面内存在点，使以为顶点的四边形是菱形，请直接写出点的坐标；
(3)如图2，若为边上的一动点，在上取一点，将矩形绕点顺时针旋转一周，在旋转的过程中，的对应点为，请直接写出的最大值和最小值．
8．已知，与均为直角三角形，．
(1)如图1，若点共线，连接，且，求的长；
(2)如图2，若，连接，并延长交于点，，猜想与的数量关系并证明；
(3)如图3，，连接，点，点分别为与的中点，连接，记的最大值为的最小值为，请直接写出的值．
9．综合与实践：某数学活动小组在探究三角形时，提出了如下数学问题：
(1)【问题情境】如图1，平面内有三个点，，，，，则的长度的最小值为___________，最大值为___________．
(2)【深入探究】如图2，在中，，，，以为边作等边（点、点在同侧），以为边向外作等边，连接和，求长．
(3)【延伸拓展】如图3，在中，，，以为边向外作等腰直角三角形，，连接．线段的长度是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．
10．已知，中，，点是斜边的中点，过点作，使得，，将绕点旋转一周，连接．
(1)如图，当点在平分线上时，求证：；
(2)如图，若，则在旋转过程中，的最大值是_______，最小值是_______；
(3)到点P，使得，连接．
①如图，当，，三点共线时，是_______三角形；
②如图，当在上方且时，求证：是一个定值．
11．如图，等边中，点是延长线上一点，点在上，连接，．
(1)如图1，连接，求证：平分；
(2)如图2，点为线段上一点，连接交于点，若点为的中点，求证：；
(3)如图3，点为线段上一动点，作关于的对称点，连接，，交于点，点在的延长线上运动，始终满足，连接，交于点，当取得最大值时，此时，，求整个运动过程中的最小值．
12．在平面直角坐标系中，O为原点，点，，，，连接，，点M，N分别是和的中点，连接．把绕点O逆时针旋转，得．点C，D，M旋转后的对应点分别为点，，，连接，旋转角记为．
(1)如图①，若，则点的坐标为________，的长为________；
(2)如图②，若，连接，求的长；
(3)在绕点O旋转一周的过程中，求出的最大值和最小值．（直接写出结果即可）
13．问题提出
（1）如图1，在连接平面内A，B两点的所有线中， 号最短（从上到下依次为①，②，③，④号线）；
问题探究
（2）如图2，在中，已知，以AC为边向上作等边三角形ADC，连接BD，求BD边长的最大值；
问题解决
（3）如图3，某住宅区内有一块三角形空地ABC，物业公司现计划在三角形空地内部找一点P，并分别向空地的三个顶点铺设PA，PB，PC三条步行道，已知，且，为了尽可能降低施工经费，请你帮物业公司求出的最小值并找出点P的具体位置．（参考数据：，）
14．如图1所示，等边三角形内接于圆，点是劣弧上任意一点（不与重合），连接，求证：．
[初步探索]．小明同学思考如下：将绕点顺时针旋转到，使点与点重合，可得三点在同一直线上，进而可以证明为等边三角形，根据提示，解答下列问题：
根据小明的思路，若圆的半径为5，则的最大值为 ．
[类比迁移]．如图2所示，等腰内接于圆，，点是弧上任一点（不与重合），连接，若圆的半径为5，求周长的最大值．
[拓展延伸]．如图3所示，等腰，点在圆上，，圆的半径为5，连接，求的最小值．
15．在矩形中，．
(1)将矩形纸片沿折叠，使点A落在点F处（如图①），设与相交于点G，求证：；
(2)将矩形沿直线折叠，使点B的对应点落在边上（如图②），点A的对应点为，连接交于点．当时，求、的长；
(3)点M在线段上，点N在线段上，（如图③）若按折叠后，点落在矩形的边上点，请求的最大值和最小值．
参考答案
1．(1)①；②；
(2)，理由见解析
(3)存在，的最小值为，的最大值为．
【分析】本题主要考查了等边三角形性质、等腰直角三角形性质、全等三角形判定与性质，旋转的性质等知识点，握全等三角形判定定理是解题的关键掌．
（1）①由和均为等边三角形，可得，故，即得，有，故；②由即得；
（2）证明可得，故，而，即得；
（3）证明得，可证点D在以点A为圆心，4为半径的圆上，当D在线段上时，有最小值，求出，即可得的最小值为；当A在线段上时，的最大值为．
【详解】（1）解：①∵和均为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
②由①知，
∴．
故答案为：．
（2）解：，理由如下：
∵和均为等腰直角三角形，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
在等腰直角三角形中，为斜边上的高，
∴，
∴，
∵，
∴．
（3）解：如图：
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵点P到点B的距离是4，
∴，
∴点D在以点A为圆心，4为半径的圆上，
如图：当D在线段上时，有最小值，
∵，
∴，
∴此时，即的最小值为；
如图：当A在线段上时，最大，
此时，即的最大值为．
2．(1)，；
(2)，；
(3)．
【分析】（）连接，交于点，根据题意可得和为等边三角形, 从而，又有为等边三角形，可得，，可证得到，，再根据等边三角形的性质，菱形的性质，平行线的性质可得，即可解答；
（）由（）知，由此可以判断点轨迹为射线，当时，最小，当点运动当点时，此时最大，过作，分别求解即可；
（）连接，，设与交于点，与交于点，由（）可得，根据勾股定理，然后分别求出和即可求解．
【详解】（1）解：如图，连接，交于点，
∵四边形为菱形，，
∴，，，
∴和为等边三角形，
∴，，，
∴为等边三角形，
∴，，，
即，
在与中，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，
∴，
故答案为：，；
（2）解：∵，点为的中点，
∴，
由（）知，由此可以判断点轨迹为射线，
∴当时，最小，
∵，是等边三角形，
∴，
∴，
即的最小值为，
当点运动当点时，此时最大，过作，
∵为等边三角形，此时，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，
由此可知，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴的最大值为，
故答案为：，；
（3）解：如图，连接，，设与交于点，与交于点，
由（）可得，，
∴为等边三角形，
∴，
∴ ，，，
∴，
∴，
∵为等边三角形，
∴
∴，
∴，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴的高为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的面积为．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，平行线的性质，垂线段中点，等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握知识点的应用解题的关键．
3．(1)
(2)不变， 理由见详解
(3)长的最小值为，最大值为
【分析】（1）根据是等边三角形，是的中点，根据等边三角形的性质得出，，再根据即可求解；
（2）在等边中，，证明，得出，即可得出；
（3）根据第（1）和（2）问的探究可知， 当点继续在射线上运动时，的大小始终不变， 即的大小始终不变， 因此点的运动轨迹是过点三点的圆， 得出当圆心和点在一条直线上时， 且当点在圆心和点之间时， 即时，有最小值，当圆心点和点之间时， 即时，有最大值，分别画图计算即可；
【详解】（1）解：∵是等边三角形，
∴，
∵是的中点，
∴，，
∴，
故答案为：；
（2）解：不变， 理由如下：
∵在等边中，，
又由条件得．
，
，
；
（3）解：根据第（1）和（2）问的探究可知， 当点继续在射线上运动时，的大小始终不变，
即的大小始终不变，
因此点的运动轨迹是过点三点的圆，
连接，连接并延长交于 ，交于，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
故当圆心和点在一条直线上时， 且当点在圆心和点之间时， 即时，有最小值，
此时；
当圆心点和点之间时， 即时，有最大值，
此时．
【点睛】该题主要考查了圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质等知识点．解题的关键是掌握以上知识点．
4．(1)见解析
(2)
(3)最大时(在上方)，最小时(在下方)
【分析】本题属于三角形综合题，考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题；
（1）根据证明即可．
（2）如图2中，在上取一点，使得＝，利用全等三角形的性质证明＝即可．
（3）如图3中，以为边向外作等边，连接．构造全等三角形，证明＝，求出的取值范围即可解决问题．
【详解】（1）证明：如图1中，是等边三角形，
，，
，
．
（2）解：如图2中，在上取一点，使得，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
．
（3）解：如图3中，以为边向外作等边，连接．
，，，
，
，
，
，，
，
，
．
的最小值为，最大值为．
最大时在上方，最小时在下方．
5．(1)等腰直角三角形
(2)探究一：10；探究二：线段长度的最大值为，最小值为
【分析】（1）由，可知是等腰三角形，再由，推导出，即可判断出是等腰直角三角形，
（2）探究一：证明，可得，再由等腰三角形的性质可得，在中，勾股定理列出方程，解得，即可求的面积；
探究二：连接，取的中点，连接，取、的中点为、，连接，，，分别得出四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，则，可知点在以为直径的圆上，设的中点为，，即可得出的最大值与最小值．
【详解】（1）解：两个完全相同的矩形纸片和，
，
是等腰三角形，
，．，
，
，
∵，
∴，
∴，
，
，
，
是等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角三角形；
（2）探究一：，，，
，
，
，，
，
，，
，
在中，，
，
解得，
，
的面积；
探究二：连接，取的中点，连接，，取、的中点为、，连接，，，
是的中点，
，且，
，
，，
，且，
四边形是平行四边形，
，，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
点在以为直径的圆上，
设的中点为，
，
的最大值为，最小值为．
【点睛】本题考查四边形的综合应用，熟练掌握矩形的性质，直角三角形的性质，三角形全等的判定及性质，平行四边形的性质，圆的性质，能够确定H点的运动轨迹是解题的关键．
6．(1)①；②
(2)
【分析】（1）①由矩形，可得，由折叠的性质可知，，，则，，设，则，由勾股定理得，，即，可求，再由即可求解；②如图，作的延长线于，则四边形是矩形，则，，由勾股定理得，，同理①，，设，则，
由勾股定理得，，即，可求，即，证明，则，即，由，可求，同理，可得，进而可求，根据，求解即可；
（2）如图，连接，作关于的对称点，关于的对称点，连接，，则，，由勾股定理得，，则，即在以为圆心为半径的劣弧上运动，则的最小值为，的最大值为，然后求差即可．
【详解】（1）①解：∵矩形，
∴，，
∴，
由折叠的性质可知，，，
∴，
∴，
设，则，
由勾股定理得，，即，
解得，，
∴，
故答案为：；
②解：如图，作的延长线于，
∵四边形是矩形，
∴，
∴
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
同理①，，
设，则，
由勾股定理得，，即，
解得，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
又∵，
∴，
同理，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：解：如图，连接，作关于的对称点，关于的对称点，连接，， 过点D作于点T，
由翻折可得：，，
由勾股定理得，，
∴，
∴在以为圆心为半径的劣弧上运动，
∵，
∴，
当点在上时，取得最小值为，
∴的最小值为，
∵，
∴当点与点D重合时，取得最大值为，
的最大值为，
∵，
∴面积的最大值与最小值之差为．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，等角对等边，勾股定理，轴对称的性质，圆，相似三角形的判定与性质等知识．熟练掌握矩形的判定与性质，等角对等边，勾股定理，轴对称的性质，圆，相似三角形的判定与性质是解题的关键．
7．(1)
(2)，，，
(3)5，
【分析】（1）连接，利用矩形的性质、折叠的性质以及勾股定理得出，再证明，即可得解；
（2）分两种情况：为菱形的边时；为菱形的对角线时，分别利用菱形的性质求解即可得出答案；
（3）画出运动轨迹，利用图象法即可解答．
【详解】（1）解：如图，连接，
∵四边形是矩形，点、点，
∴，，，，
∴，
由折叠的性质可得：垂直平分，
∴，，
设，则，
由勾股定理得，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴折痕的长为；
（2）解：由（1）可得：，则，
∴，，
如图，
当为菱形的边时，，可得，，即，，
当为菱形的对角线时，与重合，与重合，，
当点在第四象限时，与关于轴对称，，
综上所述，满足条件的点坐标为，，，；
（3）解：如图，作，
∵，
∴，
画出点的运动轨迹如图，
观察图形可得，的最小值，
的最大值，
∴
【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的性质、勾股定理、三角形全等的判定与性质、轴对称的性质、三角形面积公式等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论以及数形结合的思想是解此题的关键．
8．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先证明，在中，由勾股定理得，由等面积法得，则，再由等腰三角形的三线合一求得；
（2）延长至点，使得，连接，先证明，再证明，则，设，导角可得，显然，导角可得，则，继而，故；
（3）取中点为点，链接，由三角形的中位线得到，在中，有，故的最大值为，最小值为，在中，由勾股定理得： ，即：，即可求解．
【详解】（1）解：如图：记，的交点为，
∵点共线，，
∴，
∵，，
∴，
∴
∴，，
∵，
∴在中，由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下，
证明：延长至点，使得，连接，
∵，
∴,
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵,
∴，
∴，
设，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
同理可求：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：取中点为点，链接，
∵点，点分别为与的中点，
∴，
在中，有，
∴的最大值为，最小值为，
在中，由勾股定理得：，
∵，
∴，
即：，
∴，
∴，
即，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的中位线定理，三角形的内角和定理，三角形的三边关系求最值等知识点，难度较大，正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
9．(1)2，10
(2)
(3)线段的长度存在最大值，最大值为
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、等边三角形的性质、三角形的三边关系等知识，构造全等三角形是解答本题的关键．
（1）根据、的长度即可求出长度的取值范围，即可得解；
（2）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定证明得到，，再利用等腰三角形的三线合一得到，，然后利用勾股定理分别求解即可；
（3）过D作，且，连接，，则，要使最大，只需最大即可；证明得到，由，当B、A、E共线时取等号得到的最大值为28，进而可求解．
【详解】（1）解：∵，（当C点在线段上和在的延长线上时取等号）
∵，，
∴，即，
∴的长度的最小值为2，最大值为10，
故答案为：2，10；
（2）解：如图，设与相交于F，
∵和都是等边三角形，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，又，
∴，，
∴，
∴，
在中，；
（3）解：线段的长度存在最大值．
如图，在上方，过D作，且，连接，，
∴，即，
要使的长最大，只需的长最大即可，
∵，
∴，又，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，当B、A、E共线时取等号，
∴的长的最大值为28，
则的长的最大值为．
10．(1)见解析
(2)；
(3)①等边；②见解析
【分析】（1）连接，证是等边三角形，得，进而证明（），即可得证；
（2）连接，根据度直角三角形的性质可得，，由（）得，再根据三角形的三边关系即可得解；
（3）①如图，连接，并延长到，使得，连接，，由中位线的性质得，，，进而证明（）得，是等边三角形，再证明，得，，即可得证；
②如图，连接，并延长到，使得，连接，，由中位线的性质得，，，进而证明（）得，是等边三角形，再证明，得，，于是有，，从而得是等边三角形，，可得，即可得证．
【详解】（1）解：如图，连接，
∵是的中点，，，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴（），
∴；
（2）解：如图，连接，
∵，，，，
∴，，
由（）得，
∴，
根据三角形的三边关系可得，，
∴，即；
∴的最大值是，最小值是，
故答案为：，；
（3）解：①如图，连接，并延长到，使得，连接，，
∵，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
由（）得是等边三角形，
∴，
∴，，
∵点是的中点，
∴，
∵，，
∴（）
∴，，
∴是等边三角形，
∴
∴，
在和中，
∴
∴，，
∴是等边三角形；
②证明：如图，连接，并延长到，使得，连接，，
∵，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
由（）得是等边三角形，
∴，
又∵
∴，，
∵点是的中点，
∴，
∵，，
∴（）
∴，，
∴是等边三角形，
∴
∴，
在和中，
∴
∴，，
∴，
∴
∴是等边三角形；
∴，
∴，
∴是一个定值．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，三角形中位线的性质及判定，等边三角形的判定及性质，直角三角形的性质，三角形三边的关系，熟练掌握三角形三边的关系及三角形中位线的性质及判定是解题的关键．
11．(1)见解析；
(2)见解析；
(3)．
【分析】（1）在上取一点，使，证明，则，可得是等边三角形，求出，即可得平分；
（2）在上取一点，使，过点作交于，证明，可得，由（1）知，，，可得，根据线段的和差以及三角形外交的性质得，再证，即可得出结论；
（3）在上取一点，使，过点作交于，证明，则，当时，最小，则最小，过点作于，在中，，根据，可得，即可得出整个运动过程中的最小值为6．
【详解】（1）证明：在上取一点，使，
是等边三角形，
，，
，
，，
，
，
是等边三角形，
，
，
平分；
（2）证明：过点作交于，
，
，，
点为中点，
，
，
，
由（1）知，，，
，，
，
，
，
，，
，
，
；
（3）解：如图3，点为线段上一动点，作关于的对称点，，
当最大时，有最大值，
是等边三角形，
，
，
时，有最大值，
在上取一点，使，过点作交于，
，
，
由（2）知，，
，
，
，
，
，，
，
，
当时，最小，则最小，
过点作于，
是等边三角形，
，，
在中，，
，
，
，，
，
，即整个运动过程中的最小值为．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，三角形的内角和，正确的作出辅助线是解题的关键．
12．(1)，
(2)
(3)的最大值为，最小值为
【分析】（1）根据旋转的性质求得，，利用中点坐标公式求得和，再利用两点之间的距离公式求解即可；
（2）过点N作交的延长线于点P，利用斜边中线的性质求得和的长，，在和中，求解即可；
（3）先判断点在以点为圆心，为半径的上运动，再连接交于点和，当点与点重合时，即有最大值；当点与点重合时，即有最小值；据此求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵把绕点O逆时针旋转，得，
∴，，
∴，，
∵点M是的中点，
∴点是的中点，
∴，
∵点N是的中点，且，，
∴，
∴，
故答案为：，；
（2）解：如图，过点N作交的延长线于点P．
由已知可得，，点N是的中点，
∴，，
同理，，，，
．
∵绕点O逆时针旋转，得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
在中，，
∴；
（3）解：∵点始终是的中点，且是等腰直角三角形，
∴，
∴点在以点为圆心，为半径的上运动，
如图，连接交于点和，
当点与点重合时，即有最大值；当点与点重合时，即有最小值；
∵，
∴的最大值为，最小值为．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，坐标与图形，斜边中线的性质．正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
13．（1）③；（2）5；（3）的最小值为82，分别以为边作等边三角形,连接,则与的交点P是具体位置,理由见解析．
【分析】本题主要考查了两点之间、线段最短，等边三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线成为解题的关键．
（1）根据两点之间，线段最短即可解答；
（2）如图：以为边向左作等边,连接，根据等边三角形的性质可证可得、，再根据三角形的三边关系列不等式求得的最大值即可；
（3）如图：将绕B点顺时针旋转至的位置，连接,则；再证是等边三角形可得，则,即当在同一条直线上时，有最小值；如图：过E作交延长线于N，过C作于M，然后根据勾股定理和直角三角形的性质求解即可；如图：分别以为边作等边三角形,连接,则与的交点P是具体位置,先说明，如图：连接,分别作，垂足为,易得，进而说明、即可说明理由．
【详解】解：（1）根据两点之间、线段最短可得③号最短．
故答案为：③．
（2）如图：以为边向左作等边,连接，
∴，
∵,,
∴，
∵等边三角形ADC，
∴，
∵,
∴,
∴,,
∵,
∴的最大值为5，即BD边长的最大值为5．
（3）如图：将绕B点顺时针旋转至的位置，连接,则,
∴是等边三角形，
∴,
∴,
当在同一条直线上时，有最小值，
如图：过E作交延长线于N，过C作于M，
在中，,
∴,
∴,
∴,
在中，,
∴,
在中，,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴的最小值为82；
这时,
∵，
∴，
∴,
如图：分别以为边作等边三角形,连接,则与的交点P是具体位置,理由如下：
∵,,
∴,
∴,
∵，
∴,
∴，
如图：连接,分别作，垂足为,
根据全等三角形对应边上的高相等可得：,
∴平分,
∴,即,
∴,即点P符合题意．
14．[初步探索]证明见解析，10；[类比迁移]；[拓展延伸]
【分析】初步探索由旋转得，，，则，所以、、三点在同一条直线上，再证明是等边三角形，则；当是的直径时，，此时的值最大，所以的最大值是10；
类比迁移先由证明是的直径，且圆心在上，则，再证明、、三点在同一条直线上，则，当是的直径时，的值最大，则，即可求得周长的最大值是；
拓展延伸连接，将线段绕点逆时针旋转到，连接，先求得，再连接、，证明，得，所以，则的最小值为．
【详解】初步探索证明：由旋转得，，，，
，
，
、、三点在同一条直线上，
，
是等边三角形，
，
，
是等边三角形，
，
；
是的弦，且的半径为5，
当经过圆心，即是的直径时，，此时的值最大，
的最大值是10，
故答案为：10．
类比迁移解：如图2，，，
是的直径，且圆心在上，
，，
将绕点顺时针旋转到，使点与点重合，则，，，
，
，
、、三点在同一条直线上，
，
，
当经过圆心，即是的直径时，，此时的值最大，
，
的最大值是，
，
周长的最大值是．
拓展延伸解：如图3，连接，将线段绕点逆时针旋转到，连接，
，，
，
连接、，
，
，
，
，
，
，
，
，
的最小值为．
【点睛】此题重点考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理、垂线段最短等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
15．(1)证明见解答
(2)的长是，OF的长是
(3)的最大值为6，最小值为
【分析】（1）由矩形的性质得，则，由折叠得，所以，则；
（2）连接、，由，得，则，因为垂直平分，所以，由勾股定理得，求得，则，由，求得，而，则；
（3）当点与点重合时，的值最小，由垂直平分，得，则，所以；当点与点重合时，的值最大，此时，所以的最大值为6，最小值为．
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
由折叠得，
（2）解：如图②，连接、，
，
由折叠得点与点关于直线对称，
垂直平分
解得，
解得，
∴的长是，的长是．
（3）解：如图③，当点与点重合时，的值最小，
∵点与点关于直线对称，
∴垂直平分，
；
如图④，当点与点重合时，的值最大，
且
∴的最大值为6，最小值为．
【点睛】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、线段的垂直平分线的性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
