2024-2025学年吉林省吉林市松花江中学高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.命题“，函数在上单调递增”的否定为( )
A. ，函数在上单调递减
B. ，函数在上不单调递增
C. ，函数在上单调递减
D. ，函数在上不单调递增
3.函数的单调增区间为( )
A. B. C. D.
4.研究变量得到一组样本数据，进行回归分析，以下说法中错误的是( )
A. 若变量和之间的相关系数为，则变量和之间的负相关很强
B. 用决定系数来比较两个模型拟合效果，越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好
C. 在经验回归方程中，当解释变量每增加个单位时，响应变量平均减少个单位
D. 经验回归直线至少经过点中的一个
5.已知实数，且，则取得最大值时，的值为( )
A. B. C. D. 或
6.已知，且，函数在上单调，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.某学校一同学研究温差与本校当天新增感冒人数人的关系，该同学记录了天的数据：
经过拟合，发现基本符合经验回归方程，则下列结论错误的是( )
A. 样本中心点为 B.
C. 时，残差为 D. 若去掉样本点，则样本的相关系数增大
8.已知函数都是定义在上的函数，是奇函数，是偶函数，且，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.由变量和变量组成的个成对样本数据得到的经验回归方程为，设过点的直线方程为，记，则( )
A. 变量正相关
B. 若，则
C. 经验回归直线至少经过中的一个点
D.
10.若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数与函数，为“同族函数”下面函数解析式中能够被用来构造“同族函数”的是( )
A. B. C. D.
11.若定义在上的连续函数满足对任意的实数都有且，则下列判断正确的有( )
A. 函数的图象关于原点对称
B. 在定义域上单调递增
C. 当时，
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设集合若且，则 ．
13.已知，则 ．
14.已知函数，若，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，．
求；
若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围．
16.本小题分
为了减少碳排放，某企业采用新工艺，将生产中产生的二氧化碳转化为一种化工产品已知该企业每月的处理量最少为吨，最多为吨月处理成本元与月处理量吨之间的函数关系近似地表示为．
该企业每月处理量为多少吨时，才能使月处理成本最低月处理成本最低是多少元
该企业每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低每吨的平均处理成本最低是多少元
17.本小题分
已知二次函数，，且．
求函数的解析式；
求函数在区间上的值域．
18.本小题分
将氢储存在甲基环乙烷和甲苯等有机液体中是储氢和运输氢的重要方向．年月俄罗斯科学院西伯利亚分院科研人员用镍和锡取代铂，研发出一种新型高效的脱氢催化剂，脱氢效率达，且对储氢载体没有破坏作用，可重复使用．近年来，我国氢能源汽车产业迅速发展，下表是某市氢能源乘用车的年销售量与年份的统计表：
年份
销量万台
求氢能源乘用车的销量关于年份的线性回归方程，并预测年氢能源乘用车的销量；
为了研究不同性别的学生对氢能源的了解情况，某校组织了一次有关氢能源的知识竞赛活动，随机抽取了男生和女生各名，得到如表所示的数据：
了解 不了解 合计
男生
女生
合计
(ⅰ)根据已知条件，填写上述列联表；
(ⅱ)依据的独立性检验，能否认为该校学生对氢能源的了解情况与性别有关？
参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为；
．
19.本小题分
设是定义在上的偶函数，其图象关于直线对称，对任意，，都有，且．
求；
证明是周期函数；
记，求．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由，可得，
所以，所以集合．
若“”是“”的充分不必要条件，
则集合是集合的真子集，
由集合不是空集，故集合也不是空集，
所以
当时，满足题意，
当时，满足题意，
故，即的取值范围为．
16.解：该企业的月处理成本，
因为，在上单调递减，在上单调递增，
所以该企业每月处理量为吨时，才能使月处理成本最低，月处理成本最低是元．
因为，
所以每吨的平均处理成本．
因为，当且仅当时，等号成立，
所以，
即该企业每月处理量为吨时，每吨的平均处理成本最低，为元．
17.解：解：因为，所以，所以，
又因为，所以，
所以，
所以，所以
即．
解：因为，所以是开口向上，对称轴为的抛物线．
因为在递减，在递增，所以，
因为，，
所以，
所以在上的值域为．
18.解：年份的平均数，销量的平均数，
所以，
，
所以，
所以，
所以氢能源乘用车的销量关于年份的线性回归方程为，
令，得，
所以预测年氢能源乘用车的销量约为万台．
根据男生和女生各名，补全列联表为：
了解 不了解 合计
男生
女生
合计
(ⅱ)零假设：该校学生对氢能源的了解情况与性别无关，
根据列联表中的数据可得，
，
依据的独立性检验，可以推断不成立，
即该校学生对氢能源的了解情况与性别有关．
19.解：因为对任意的，都有，
所以，
又，
，，
．
设关于直线对称，故，
即，又是偶函数，
所以，
，将上式中以代换，
得，
则是上的周期函数，且是它的一个周期．
由知，
，
又，．
的一个周期是，
，因此．
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