2024-2025学年四川省德阳市博雅明德高级中学高一下学期期中考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若一个扇形的弧长为，面积为，则这个扇形圆心角的弧度数是( )
A. B. C. D.
2.已知角的终边经过点，则( )
A. B. C. D.
3.关于平面向量，下列说法正确的是( )
A. 零向量没有方向
B. 若两个非零向量的和为零向量，则它们互为相反向量
C. 起点相同的单位向量，终点必相同
D. 向量的模是一个正实数
4.若函数的最小正周期为，则( )
A. B. C. D.
5.在中，“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.在所在平面内，点满足，记，，则( )
A. B. C. D.
7.已知有如下命题：
把化成角度是；
若扇形的面积为，扇形圆心角的弧度数是，则扇形的周长为；
设是第一象限的角，则所在的象限为第一象限；
角是第二象限角；
其中正确命题的个数是( )
A. B. C. D.
8.已知，且，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下图是函数的部分图像，则( )
A. B. C. D.
10.下列关于平面向量的说法中正确的是( )
A. 设为非零向量，若，则
B. 若，则或
C. 设为非零向量，则
D. 若点为的重心，则
11.若将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是( )
A. 的最小正周期为 B. 在区间上单调递减
C. 是函数的对称轴 D. 在上的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，与夹角为，与同向的单位向量为，在方向上的投影向量为，则的值为 ．
13.若函数的最大值为，则常数的一个取值为 ．
14.下面四个命题，
函数在第一象限是增函数；
在中，“”是“”的充分非必要条件；
函数图像关于点对称的充要条件是；
若，则．
其中真命题的是 填所有真命题的序号
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，与的夹角是．
计算；
计算；
16.本小题分
已知为锐角，．
求的值；
求的值．
17.本小题分
设是两个不共线的向量，已知．
求证：三点共线；
若且，求实数的值．
18.本小题分
一半径为米的水轮如图所示，水轮圆心距离水面米；已知水轮按逆时针做匀速转动，每秒转一圈，如果当水轮上点从水中浮现时图中点开始计算时间．
以水轮所在平面与水面的交线为轴，以过点且与水面垂直的直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点距离水面的高度单位：米表示为时间单位：秒的函数；
在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点距水面的高度超过米？
19.本小题分
设函数．
求的最小正周期，单调增区间，对称中心；
当时，求函数的最大值和最小值；
若函数在上有两个零点，请直接写出的取值范围．
参考答案
1.
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4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.均可
14.
15.由，与的夹角是，，
即．
由知，，
所以
．
16.因为，所以；
因为为锐角，所以，，
又，所以，
，
所以
．
17.由已知，得，
因为，
所以，又与有公共点，
所以三点共线．
由，知，若，且，
可设，
所以，
即．
又是两个不共线的向量，所以
解得．
18.设水轮上圆心正右侧点为，轴与水面交点为，如图所示：
设，由，，可得，所以．
，，，
由题意可知，函数的最小正周期为，，
所以点距离水面的高度关于时间的函数为；
由，得，
令，则，
由，解得，又，
所以在水轮转动的任意一圈内，有时间点距水面的高度超过米
19.
，
则最小正周期，
令，得，
则的单调递增区间为，
令，得，
则的对称中心为．
，则，则，
则，
故当，即时，取最小值；
当，即时，取最大值．
函数在上有两个零点，则在上有两个根，
又，则，
结合正弦函数图象可得，，得，
则取值范围为
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