2024-2025学年江苏省常州市北郊高级中学高一下学期5月阶段调研
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数在复平面内对应的点是，则( )
A. B. C. D.
2.已知表示两个不同的平面，表示三条不同的直线，( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
3.如图，某四边形的直观图是正方形，且，则原四边形的面积等于( )
A. B. C. D.
4.已知是单位向量，满足，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
5.如图是一个边长为的正方体的平面展开图，在这个正方体中，则下列说法中正确的是( )
A. 直线与直线相交； B. 直线与直线平行；
C. 直线与直线垂直； D. 直线与直线垂直；
6.已知，则的值为( )
A. B. C. D.
7.已知为锐角，，，则( )
A. B. C. D. 或
8.如图，在三棱锥中，，二面角的正切值是，则三棱锥外接球的表面积是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，，则下列命题正确的有( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
10.在中，，，下列结论正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若有两解，则
D. 若是锐角三角形，则
11.如图，点是棱长为的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则( )
A. 若点满足，则动点的轨迹长度为
B. 当点在棱上时，的最小值为
C. 当直线与所成的角为时，点的轨迹长度为
D. 当在底面上运动，且满足平面时，线段长度最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知圆锥的底面半径为，且它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的表面积为 ．
13.已知正三棱柱的各条棱长都是，则直线与平面所成角的正切值为 ．
14.古代数学家刘徽编撰的重差是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础现根据刘徽的重差测量一个球体建筑物的高度，已知点是球体建筑物与水平地面的接触点切点，地面上，两点与点在同一条直线上，且在点的同侧若在，处分别测得球体建筑物的最大仰角为和，且，则根据测得的球体高度可计算出球体建筑物的体积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在中，，是的中点，设，．
试用，表示，；
若，与的夹角为，求．
16.本小题分
在直棱柱中，底面为平行四边形，，分别为线段的中点．
证明：；
证明：平面平面．
17.本小题分
已知的内角所对的边分别为，且．
求；
若，求周长的最大值．
18.本小题分
如图，四边形是圆柱的轴截面，点在底面圆上，圆的半径为，，点是线段的中点．
证明：平面；
若直线与圆柱底面所成角为，求三棱锥的体积．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面，，底面为等腰梯形，，且．
证明：平面平面；
若点到平面的距离为，求平面与平面夹角的余弦值．
参考答案
1.
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8.
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10.
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13.
14.
15.因为，所以，
所以．
因为是的中点，
所以
．
因为，与的夹角为，
所以，
由知，，，
所以
．
16.连接，，
因为底面为平行四边形，且为的中点，
所以为的中点，
因为棱柱为直棱柱，
所以平面，且平面，所以，
因为，且，平面，
所以平面，又平面，所以，
因为为的中点，所以是边上的中线，
所以．
．
因为中，分别为线段的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面，
因为中，分别为线段的中点，所以，
因为直棱柱，所以，所以，
因为平面，平面，所以平面，
因为，且平面，平面，
所以平面平面．
．
17.由正弦定理及，得，
，
，
．
设的外接圆半径为，
由及正弦定理，
得，
．
由余弦定理得，，
，当且仅当时取等号，，
周长的最大值为．
18.如图，取的中点，连接，则且，
又且，所以且，
所以四边形为平行四边形，则，
又平面，平面，
所以平面．
如图，连接，过作于点，
因为底面圆，底面圆，所以，
又平面，所以平面．
则．
因为直线与圆柱底面所成角为，底面圆，底面圆，
所以，则即为直线与圆柱底面所成角，
即，由，得，
所以，
在中，，所以，
由，得，
解得所以．
19.因为平面平面，平面平面，
又平面，，
所以平面，又平面，
所以，
过作交于点，则由题意，
所以，，
所以，即，又，、平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面．
过作交于点，
由可得平面平面，又平面平面，
所以平面，点到平面的距离为，
所以，
又由平面可得，
所以，所以，
延长交于点，则平面平面，
又由为等腰梯形，且以及，可得
，分别为的中点，
连接，则，且，
又由平面，可得，又，、平面，
所以平面，又平面，
所以，过作，交于点，连接，
则由得平面，所以为二面角的的平面角，
又在和中，，
所以，故，
所以．
故平面与平面夹角的余弦值为．
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