2024-2025学年天津市天华高级中学高一下学期第二次阶段性考试
数学试卷
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数满足，则的共轭复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知向量，，则( )
A. B. C. D.
3.如图为水平放置的直观图，其中，，那么原的面积是( )
A. B. C. D.
4.设的内角、、的对边分别为，，，已知，，，则等于( )
A. B. C. D.
5.攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称为攒尖通常有圆形攒尖，三角攒尖，四角攒尖，八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑，园林建筑如图所示的建筑屋顶是圆形攒尖，可近似看作一个圆锥，已知其轴截面是底边长为，顶角为的等腰三角形，则该屋顶的面积约为 ．
A. B. C. D.
6.已知为两个不同的平面，为三条不同的直线，则下列结论中正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，且，则 D. 若，且，则
7.已知向量，是两个不共线的向量，与共线，则( )
A. B. C. D.
8.在中，角，，的对边分别为，，，若，，则是( )
A. 钝角三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
9.底面边长为的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为，高为的正四棱锥，所得棱台的体积为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.是虚数单位，化简的结果为 ．
11.某市有大型超市家、中型超市家、小型超市家．为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为的样本，应抽取中型超市 家．
12.已知，且，则 ．
13.在正方体中，，则该正方体外接球的表面积为 ．
14.如图，在棱长为的正方体中，，，分别为，，的中点，则与所成的角的余弦值为 ．
15.如图，在中，，，为上一点，且满足， ；若的面积为，则的最小值为 ．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知是虚数单位，复数，．
当时，求；
若是纯虚数，求的值；
若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围．
17.本小题分
在的内角，，所对边的长分别是，，，已知，，．
求的值；
求的值；
求的值．
18.本小题分
已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，，且．
求角的大小；
若，，求边和的面积．
19.本小题分
如图，在三棱柱中，侧面，均为正方形，，，点是棱的中点．
求证：平面；
求到平面的距离．
20.本小题分
如图，在四面体中，是等边三角形，平面平面，点为棱的中点，，，．
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
参考答案
1.
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16.当时，，所以．
若复数是纯虚数，则，解得，所以．
复数在复平面内对应的点位于第二象限，则，即
所以，实数的取值范围是．
17.因为，
且，，
所以；
因为，且，
所以
又，
解得；
因为，
，
所以
18.因为，，且，
所以，由正弦定理可得，
因为，为的内角，所以，
因此可化为，即，所以；
因为，，，
由余弦定理可得，即，即，
解得或舍，
所以的面积为．
19.
取与的交点为，连接，
由侧面均为正方形，可得，又因为点是棱的中点，
所以，又因为平面，平面，
所以平面；
因为侧面，均为正方形，，，
所以，，又因为点是棱的中点，
所以，即可得，
所以，
又因为，
设点到平面的距离为，则根据等体积公式可得，
解得，
故到平面的距离为．
20.如图，连接，因为为的中点，是等边三角形，
所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面．
由，平面，则是直线与平面所成角，
又，且，，
，
因为平面，平面，所以，
所以为直角三角形，为直角，
在中，，，则，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
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