高一下学期期末考模拟卷（第一、二册综合）（基础）
考试内容：必修第一册、必修第二册 考试时间：150分钟
单选题(每题5分，每题只有一个选项为正确答案，8题共40分)
1．（2025·甘肃）已知集合，集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为集合，集合，
所以，则，故A，B，D项错误，C项正确.
故选：C.
2．（24-25河北省）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，可得，
故
故选：A.
3．（24-25高一下·天津滨海新·期中）袁隆平院士是中国杂交水稻事业的开创者和领导者，他在农业科学的第一线辛勤耕耘、不懈探索，为人类运用科技手段战胜饥饿带来了绿色的希望和金色的收获．在杂交水稻试验田中随机抽取了100株水稻，统计每株水稻的稻穗数（单位：颗）得到如图所示的频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），则下列说法错误的是（ ）
A．
B．这100株水稻的稻穗数的众数约为250
C．这100株水稻的稻穗数的平均数约为256
D．这100株水稻的稻穗数的中位数约为252
【答案】D
【解析】对于选项A: 由频率直方图可知组距为则
化简得因此选项A是正确的.
对于选项B：从图中可以看出,频率最高的矩形对应的区间是[240, 260],
其中点为，即选项B是正确的.
对于选项C：易知
，可得C是正确的.
对于选项D：从图中可以看出, 前两个区间的累计频率为，
前三个区间的累计频率为
因此中位数位于第三个区间，设中位数为 ,
则可得
解得，即选项D是错误的.
故选：D.
4．（24-25高一下·河南驻马店·阶段练习）先将函数的图象向右平移个最小正周期，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】函数的最小正周期为，
将函数的图象向右平移个最小正周期，可得到函数的图象，
再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，
故.
故选：A.
5．（2026北京）设M，N为两个随机事件，则以下命题是真命题的为（ ）
A．若M，N为互斥事件，且，则
B．若，则事件M，N相互独立
C．若，则事件M，N相互独立
D．若，则事件相互独立
【答案】B
【解析】对于A，由互斥事件的概率加法公式得，故A是假命题；
对于B，因为，所以事件相互独立，故B是真命题；
对于C，由得，，
所以事件不相互独立，故C是假命题；
对于D，由题意得，，若相互独立，则，故D是假命题．
故选：B.
6．（24-25高一下·天津滨海新·期中）山西应县木塔，始建于1056年，是世界上现存最高大、最古老的纯木楼阁式建筑，与意大利比萨斜塔、巴黎埃菲尔铁塔并称“世界三大奇塔”．某同学为了估算水塔的高度，他在塔的附近找到一座建筑物，高为10m，在地面上点C处（B，C，N在同一水平面上且三点共线）测得木塔顶部M，建筑物顶部A的仰角分别为60°和15°，在A处测得木塔顶部M的仰角为30°，则可估算木塔的高度为（ ）m．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
在中，，
在中，，
则，
由正弦定理，得，所以，
在中，.
故选：D.
7．（24-25吉林省）已知正四棱锥的底面边长为，侧棱与底面所成角为，则该正四棱锥的体积为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【解析】
因为正四棱锥底面是边长为的正方形，其对角线长为，
那么底面正方形中心到底面顶点的距离为对角线长的一半，为.
设正四棱锥为，为底面的中心，则底面，
故就是侧棱与底面所成角，已知侧棱与底面所成角为，即.
在中，，又，则，即正四棱锥的高.
已知正四棱锥底面边长为，可得底面面积.
由棱锥体积公式，则.
故选：A.
8．（24-25高一下·福建·期中）已知函数，若在R上有2个零点，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当时，有1个零点，
则当时，只有一个零点，
即方程在时有一个解，即方程在时有一个解，
因为函数为增函数，且当时，，则，即.
故选：A.
二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，少选且正确得2分，每题5分。4题共20分）
9．（24-25高一下·福建泉州·期中）已知圆台的轴截面如图所示，其上、下底面半径分别为，母线长为2，点为的中点，则（ ）
A．圆台的轴截面积为
B．圆台的体积为
C．圆台的侧面积为
D．在圆台的侧面上，从C点到E点的最短路径长为5
【答案】AD
【解析】对于A，圆台的高即轴截面等腰梯形的高，
因此圆台的轴截面面积为，A正确；
对于B，圆台的体积，B错误；
对于C，圆台的侧面积，C错误；
对于D，圆台侧面展开图是半圆环，如图，
在圆台的侧面上，从到的最短路径的长度为线段长，
，由为中点，得，
所以，D正确.
故选：AD
10．（24-25高一下·山西·期中）已知为坐标原点，设，则下列说法正确的是（ ）
A．若且，则
B．若单位向量，则
C．若点在直线上，且，则点的坐标为
D．若，则四边形为平行四边形
【答案】AD
【解析】由题得，
对于A，因为，所以，解得，故A正确；
对于B，设，则，解得或，
所以或，故B错误；
对于C，设点坐标为，
当在线段上时，，
所以，
所以，解得，所以点坐标为．
当在线段延长线上时，，
所以，
所以解得所以点坐标为．
综上点坐标为或，故C错误；
对于D，因为，所以四边形为平行四边形，故D正确．
故选：AD.
11．（25-26高一上·全国·课后作业）下列结论正确的是（ ）
A．若，则的最大值为1
B．若，则的最小值为2
C．若，则有最大值1
D．若，则的最小值为2
【答案】ACD
【解析】因为，当且仅当，即时取等号，所以的最大值为1，故A正确；因为的等号成立条件是，不成立，所以B错误；当时，，当时，，当且仅当时，等号成立，当时，，故有最大值1，故C正确；因为，当且仅当，即时，等号成立，所以D正确．
三、填空题(每题5分，4题共20分)
12．（2025辽宁）在三棱台中，是正三角形，，平面平面，则三棱台的体积为 ．
【答案】/0.875
【解析】过点分别作⊥于点，
因为平面平面，交线为，
平面，故⊥平面，
因为，
所以，
又，所以，
，，
则三棱台的体积为.
故答案为：
13．（24-25高一下·天津·期中）在中，点D为的中点，点 E 为上一点，且满足，则 的最大值为 .
【答案】
【解析】
因为点D为的中点，所以有，
即，又因为点 E 为上一点，
所以，
由，
所以
设三角形中角所对的边分别是，又因为
所以由余弦定理得：，
而，
又因为，
所以，
取等号条件是.
14．（24-25辽宁）在中，内角所对的边分别为，且，则面积的最大值为 ．
【答案】
【解析】由利用正弦定理得
，
因为，所以，所以，
的面积，所以
，
当且仅当时等号成立，．
故答案为：．
四、解答题（17题10分，其余每题12分，6题共70分）
15．（24-25山西·期中）“科学技术是第一生产力”.科技进步能够更好地推动高质量发展，如人工智能中的DeepSeek.某公司部门有员工100名，公司拟开展DeepSeek培训，分三轮进行，每位员工一轮至三轮培训达到“优秀”的概率分别为，，，每轮相互独立，有两轮及两轮以上获得“优秀”的员工才能应用DeepSeek.
(1)估计部门员工经过培训能应用DeepSeek的人数（去尾法精确到个位）；
(2)已知开展DeepSeek培训前，员工每人每年为公司创造利润6万元；开展DeepSeek培训后，能应用DeepSeek的员工每人每年平均为公司创造利润10万元.DeepSeek培训平均每人每年成本为1万元.根据公司发展需要，计划先将部门的部分员工随机调至公司其他部门，然后对其余员工开展DeepSeek培训.要保证培训后部门的年利润不低于员工调整前的年利润，部门最多可以调多少人到其他部门？
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由题意每个员工“优秀”的概率
，
则估计部门员工经过培训能应用DeepSeek的人数为个，
按去尾法取整，有人；
（2）设调出人，
调整前的利润为（万元），
调整后的利润为，
要保证培训后部门的年利润不低于员工调整前的年利润，
则，解得，
因为为整数，所以最大值为，
即部门最多可以调人到其他部门.
16．（24-25安徽）在中，角的对边分别为，且满足.
(1)求角；
(2)已知面积为，为7，求边上中线长.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为，
由正弦定理边化角得
利用三角形内角和定理可得
即
因为所以，即
因为，所以.
（2）由得①
由得②
由①②得
由，
得.
17．（24-25高一下·天津滨海新·期中）如图，在直三棱柱中，底面为正三角形，侧面为正方形，，且，分别是，的中点.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）连接，则是，的交点，
∵，分别是，的中点，∴，
∵平面，平面，∴平面.
（2）分别取的中点，连接，
∵分别是的中点，∴，
又∵，∴，
∴为平行四边形，∴，
∴直线与平面所成角与直线与平面所成角相等，
∵平面，∴为直线与平面所成角，
∵在直角三角形中，，
∴，∴，
∴直线与平面所成角为.
18．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知、、分别是锐角三个内角、、的对边，面积为，且．
(1)求；
(2)求取最大值时角的大小.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）解：由题知， 则有①，
在中，由余弦定理可得，
代入①式可得，即，
由辅助角公式可得，
因为，则，所以，，解得.
（2）解：因为是锐角三角形，且，
由，解得，
所以，
，
因为，则，
故当时，即当时，取最大值.
19．（24-25高一下·浙江·期中）已知为奇函数，且定义域为，.
(1)求的值，判断的单调性，并用定义法证明；
(2)若，求的取值范围；
(3)若存在两个不相等的实数，，使，且.求实数的取值范围.
【答案】(1)，增函数，证明见解析；
(2)；
(3).
【解析】（1）因为为奇函数，定义域为，
所以，得，经验证满足题设，
在定义域上为增函数，证明如下：
任取，，且，，
，
所以，在定义域上为增函数；
（2）由（1）得，解得；
（3），
，
，即，
，
，，
令，，，
，
，则存在一个实数，使成立，
只需或，解得或，
综上：.高一下学期期末考模拟卷（第一、二册综合）（基础）
考试内容：必修第一册、必修第二册 考试时间：150分钟
单选题(每题5分，每题只有一个选项为正确答案，8题共40分)
1．（2025·甘肃）已知集合，集合，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25河北省）若，则（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一下·天津滨海新·期中）袁隆平院士是中国杂交水稻事业的开创者和领导者，他在农业科学的第一线辛勤耕耘、不懈探索，为人类运用科技手段战胜饥饿带来了绿色的希望和金色的收获．在杂交水稻试验田中随机抽取了100株水稻，统计每株水稻的稻穗数（单位：颗）得到如图所示的频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），则下列说法错误的是（ ）
A．
B．这100株水稻的稻穗数的众数约为250
C．这100株水稻的稻穗数的平均数约为256
D．这100株水稻的稻穗数的中位数约为252
4．（24-25高一下·河南驻马店·阶段练习）先将函数的图象向右平移个最小正周期，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（2026北京）设M，N为两个随机事件，则以下命题是真命题的为（ ）
A．若M，N为互斥事件，且，则
B．若，则事件M，N相互独立
C．若，则事件M，N相互独立
D．若，则事件相互独立
6．（24-25高一下·天津滨海新·期中）山西应县木塔，始建于1056年，是世界上现存最高大、最古老的纯木楼阁式建筑，与意大利比萨斜塔、巴黎埃菲尔铁塔并称“世界三大奇塔”．某同学为了估算水塔的高度，他在塔的附近找到一座建筑物，高为10m，在地面上点C处（B，C，N在同一水平面上且三点共线）测得木塔顶部M，建筑物顶部A的仰角分别为60°和15°，在A处测得木塔顶部M的仰角为30°，则可估算木塔的高度为（ ）m．
A． B． C． D．
7．（24-25吉林省）已知正四棱锥的底面边长为，侧棱与底面所成角为，则该正四棱锥的体积为（ ）
A． B．1 C． D．2
8．（24-25高一下·福建·期中）已知函数，若在R上有2个零点，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，少选且正确得2分，每题5分。4题共20分）
9．（24-25高一下·福建泉州·期中）已知圆台的轴截面如图所示，其上、下底面半径分别为，母线长为2，点为的中点，则（ ）
A．圆台的轴截面积为
B．圆台的体积为
C．圆台的侧面积为
D．在圆台的侧面上，从C点到E点的最短路径长为5
10．（24-25高一下·山西·期中）已知为坐标原点，设，则下列说法正确的是（ ）
A．若且，则
B．若单位向量，则
C．若点在直线上，且，则点的坐标为
D．若，则四边形为平行四边形
11．（25-26高一上·全国·课后作业）下列结论正确的是（ ）
A．若，则的最大值为1
B．若，则的最小值为2
C．若，则有最大值1
D．若，则的最小值为2
三、填空题(每题5分，4题共20分)
12．（2025辽宁）在三棱台中，是正三角形，，平面平面，则三棱台的体积为 ．
13．（24-25高一下·天津·期中）在中，点D为的中点，点 E 为上一点，且满足，则 的最大值为 .
14．（24-25辽宁）在中，内角所对的边分别为，且，则面积的最大值为 ．
四、解答题（17题10分，其余每题12分，6题共70分）
15．（24-25山西·期中）“科学技术是第一生产力”.科技进步能够更好地推动高质量发展，如人工智能中的DeepSeek.某公司部门有员工100名，公司拟开展DeepSeek培训，分三轮进行，每位员工一轮至三轮培训达到“优秀”的概率分别为，，，每轮相互独立，有两轮及两轮以上获得“优秀”的员工才能应用DeepSeek.
(1)估计部门员工经过培训能应用DeepSeek的人数（去尾法精确到个位）；
(2)已知开展DeepSeek培训前，员工每人每年为公司创造利润6万元；开展DeepSeek培训后，能应用DeepSeek的员工每人每年平均为公司创造利润10万元.DeepSeek培训平均每人每年成本为1万元.根据公司发展需要，计划先将部门的部分员工随机调至公司其他部门，然后对其余员工开展DeepSeek培训.要保证培训后部门的年利润不低于员工调整前的年利润，部门最多可以调多少人到其他部门？
16．（24-25安徽）在中，角的对边分别为，且满足.
(1)求角；
(2)已知面积为，为7，求边上中线长.
17．（24-25高一下·天津滨海新·期中）如图，在直三棱柱中，底面为正三角形，侧面为正方形，，且，分别是，的中点.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角.
18．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知、、分别是锐角三个内角、、的对边，面积为，且．
(1)求；
(2)求取最大值时角的大小.
19．（24-25高一下·浙江·期中）已知为奇函数，且定义域为，.
(1)求的值，判断的单调性，并用定义法证明；
(2)若，求的取值范围；
(3)若存在两个不相等的实数，，使，且.求实数的取值范围.
