3.3《探索与表达规律》小节复习题
【题型1 单项式中的规律探索】
1.由于（﹣1）n＝，所以我们通常把（﹣1）n称为符号系数．
（1）观察下列单项式：﹣，…按此规律，第5个单项式是 ，第n个单项式是 ．
（2）的值为 ；
（3）你根据（2）写出一个当n为偶数时值为2，当n为奇数时值为0的式子 ．
2.按一定规律排列的单项式：，则第个单项式是（ ）．
A． B． C． D．
3.按一定规律排列的数：，，，，……，则这列数的第n个数是（ ）
A． B．
C． D．
4.观察下列关于m，n的单项式的特点：，，，，，……，按此规律，第n个单项式是（ ）
A． B． C． D．
【题型2 多项式中的规律探索】
1.按一定规律排列的多项式：，，，，，，…，根据上述规律，则第n个多项式是（ ）
A． B．
C． D．
2.观察下列多项式：，，，，…，按此规律，则可得到第2023个多项式是 ．
3.一组按规律排列的多项式：，，，，……，其中第10个式子的次数是（ ）
A．10 B．17 C．19 D．21
4.观察多项式的构成规律，则：
（1）它的第5项是 ；
（2）当时，多项式前100项的和为 ．
【题型3 图形中的规律探索】
1.下列图形都是由●按照一定规律组成的，其中第①个图共有四个●，第②个图中共有8个●，第③个图中共有13个●，第④个图中共有19个●，…，照此规律排列下去，则第10个图形中●的个数为（ ）
A．50 B．53 C．64 D．76
2.如图，在一组有规律的图案中，第个图案由个基础图形组成，第个图案由个基础图形组成，第个图案由个基础图形组成，则第是正整数)个图案由 个基础图形组成．
3.烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、、癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷等，甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为 （ ）
A． B． C． D．
4.分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科．分形是把整体以某种方式分成几个部分．按照如图甲所示的分形规律（1个白圈分形为2个白圈1个黑圈，1个黑圈分形为1个白圈2个黑圈），可得如图乙所示的一个树形图，则第7行中黑圈数量为（ ）
A．364 B．365 C．366 D．367
【题型4 表格中的规律探索】
1.将偶数2、4、6、8、10…按下列规律进行排列，首先将这些数从“2”开始每隔一数取出，形成第一行数：2、6、10、14…；然后在剩下的数4、8、12、16…中从第一个数“4”开始每隔一数取出，形成第二行数：4、12、20、28…；那么数表中的416位于（）．
2 6 10 14 …
4 12 20 28 …
8 24 40 56 …
16 48 80 112 …
… … … … …
A．第6行第4列 B．第4行第6列 C．第5行第7列 D．第7行第5列
2.如图，萍萍同学将自然数按照一定的规律填写在方格中（图①），图②是从图①中截取的一部分．根据图①中数的规律，我们可以计算出图②中4个数的和是 ．
3.正整数按如下的规律排列，写出第n行、第列的数字为 ．
第一列 第二列 第三列 第四列 第五列
第一行 1 2 5 10 17 …
第二行 4 3 6 11 18 …
第三行 9 8 7 12 19 …
第四行 16 15 14 13 20 …
第五行 25 24 23 22 21 …
…
4.下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的．
根据此规律确定a的值为 ，b的值为 ，x的值为 ．
【题型5 等式中的规律探索】
1.观察以下等式．
第1个等式：．
第2个等式：．
第3个等式：．
第4个等式：．
按照以上规律，解决下列问题．
(1)写出第5个等式：______．
(2)写出你猜想的第n个等式．（用含n的式子表示）
2.观察下列算式：，，，…，这列算式的规律可表表示为：
3.从开始，连续的偶数相加，它们和的情况如下表：
加数的个数 连续偶数的和
(1)如果时，那么的值为 ；
(2)由表中的规律猜想：用含的代数式表示的公式为 ；
(3)由上题的规律计算的值．（要有计算过程）
4.观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；．
…．
(1)请写出第5个等式：______；
(2)写出第个等式：______；（用含n的式子表示，n为正整数）
(3)根据你发现的规律计算：．
【题型6 程序图中的规律探索】
1.如图所示，是一个运算程序示意图．若第一次输入k的值为125，则第2023次输出的结果是（ ）
A． B． C． D．
2.小明同学利用计算机设计了一个程序，输入和输出的情况如下表．他发现从第三个输出项起的每一项都与这一项的前面两个输出项有关．按此规律，当输入9时，输出结果为 ，从1开始一直输入到2022后，输出项的系数与次数均为奇数的项共有 个．
输入 1 2 3 4 5 6 7 8 …
输出 a …
3.[新视角 规律探究题]按如图所示的程序进行计算，如果第一次输入x的值是，则第次计算后输出的结果为 ．
4.按下列程序计算，把答案填写在表格内，然后观察有什么规律，想一想：为什么会有这个规律？
(1)填写表内空格：
输入 0 …
输出答案 9 1
(2)发现的规律是：输入数据x，则输出的答案是_____．
(3)请验证你发现的规律．
【题型7 新定义中的规律探索】
1.定义数组的变换：依次排列的一组数，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在两个数之间，可产生一个新数组．
步骤如下（以数组为例）：
①第1次变换后得到数组；
②第2次变换后得到数组；
……
一组有理数，这组数经过2023次变换后，利用你所观察的规律，这组数的和为 （用含有，的式子表示并化简）
2.定义一种新运算，规律如下：
(1)直接写出：______；（用含a、b的代数式表示）
(2)化简：；
(3)若定义的新运算满足交换律，则a、b的数量关系是（ ）
A． B． C． D．
3.定义一种对正整数的“运算”：
①当为奇数时，结果为；
②当为偶数时，结果为（其中是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，第一次“运算”的结果是3；第二次“运算”的结果是8；第三次“运算”的结果是1．
若，则：
（1）第一次“运算”的结果为 ．
（2）照这样运算下去，第2024次“运算”的结果为 ．
4.对于任意一个三位数或四位数，若m所有数位上的数相等，那么则称这个数为“同位数”，定义，那么 ；现有实数，，，满足式子能被7整除，求的值： ．
【题型8 动态中的规律探索】
1.如图，数轴上两点的距离为3，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处，按照这样的规律继续跳动到点（是整数）处，那么线段的长度为（ ）
A． B． C． D．
2.一只昆虫在一条直线上从点A处出发，它先前进1米，再后退2米，又前进3米，再后退4米，又前进5米，再后退6米，……依此规律继续运动，当昆虫一共运动4186米时，这只昆虫与点A相距 米．
3.如图所示，动点从第一个数的位置出发，每次跳动一个单位长度，第一次跳动一个单位长度到达数的位置，第二次跳动一个单位长度到达数的位置，第三次跳动一个单位长度到达数的位置，第四次跳动一个单位长度到达数的位置，，依此规律跳动下去，点从跳动次到达的位置，点从跳动次到达的位置，，点、、在一条直线上，则点从跳动次可到达的位置．（ ）
A． B． C． D．
4.如图，甲、乙两动点分别从正方形的顶点A，C同时沿正方形的边开始匀速运动．甲按逆时针方向运动，乙按顺时针方向运动，若乙的速度是甲的3倍，那么它们第一次相遇在边上，请问它们第次相遇在（ ）
A．边上 B．边上 C．边上 D．边上
参考答案
【题型1 单项式中的规律探索】
1.（1）， ；（2）b或a；（3）1+（﹣1）n．
【分析】（1）观察发现，奇数项为负，偶数项为正，系数的分子与项数相同，系数的分母的规律是4n2﹣1，字母x的指数与项数相同，据此可解；
（2）分n为奇数和n为偶数两种情况来计算即可；
（3）取指数为n的项的底数与不含n的项互为相反数，则不难得出答案．
【详解】（1）观察下列单项式：，…按此规律，第5个单项式是，第n个单项式是
故答案为：，．
（2）n为奇数时， ，
n为偶数时，.
故答案为：b或a．
（3）可以这样写一个当n为偶数时值为2，当n为奇数时值为0的式子：
1+（﹣1）n．
故答案为：1+（﹣1）n．
2.B
【分析】本题考查了数字的变化类，找到变化规律是解题的关键．
分别从系数、字母的指数两方面找出规律求解．
【详解】解： ；
；
；
；
，
第个单项式为：．
故选：．
3.D
【分析】本题考查了数字的变化规律，根据规律分别找到分子、分母及符号的规律即可解答．
【详解】解：分子1，3，5，的规律为，
分母2，5，10，的规律为，
符号的规律为，
故第个数为，
故选：D．
4.A
【分析】本题考查单项式规律问题，根据题意可知，的次数是，的次数是按自然数变化，系数为．
【详解】解：关于m，n的单项式的特点：，，，，，……，
按此规律，第个单项式是
故选：A．
【题型2 多项式中的规律探索】
1.B
【分析】此题考查了数字的变化类，是一道关于数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．
从三方面（符号、系数的绝对值、指数）总结规律，再根据规律进行解答便可．
【详解】解：按一定规律排列的多项式：，
，
，
，
…，
则第n个多项式是，
故选B．
2.
【分析】把已知的多项式看成由两个单项式组成，分别找出两个单项式的规律，也就知道了多项式的规律．
【详解】解：多项式的第一项依次是，，，，，
第二项依次是，，，
则可以得到第2023个多项式是．
故答案为：．
3.C
【分析】通过已知多项式找出规律，判定出第10个多项式，然后根据多项式次数的定义即可得出结论．
【详解】解：第1个多项式为：=；
第2个多项式为=；
第3个多项式为=；
第4个多项式为=；
故第10个式子为，其次数为19
故选C．
4.
【分析】本题考查多项式中的规律探究．解题的关键是得到多项式按照的升幂排列，第项为．
（1）由多项式的构成，可知第项为，进而得到第5项即可；
（2）当时，得到和为：，进行计算即可．
【详解】解：（1）由题意，可知：多项式按照的升幂排列，第项为，
∴它的第5项是；
故答案为：；
（2）当时，多项式前100项的和为
．
故答案为：
【题型3 图形中的规律探索】
1.D
【分析】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是找出规律．
根据已知图形得出图n中点的个数为，据此可得．
【详解】解：因为图①中点的个数为，
图②中点的个数为，
图③中点的个数为，
图④中点的个数为，
图n中点的个数为，
所以图10中点的个数为，
故选：D．
2.
【分析】本题考查了图形类规律探究；先写出前三个图案中基础图案的个数，并得出后一个图案比前一个图案多个基础图案，从而得出第个图案中基础图案的表达式．
【详解】解：观察可知，第个图案由个基础图形组成，
第个图案由个基础图形组成，，
第个图案由个基础图形组成，，
，
第个图案中基础图形有：，
故答案为：．
3.C
【分析】本题考查数字的变化类，根据图形，可以写出和的个数，然后即可发现和的变化特点，从而可以写出十二烷的化学式．
【详解】由图可得，
甲烷的化学式中的有1个，有（个，
乙烷的化学式中的有2个，有（个，
丙烷的化学式中的有3个，有（个，
，
十二烷的化学式中的有12个，有（个，
即十二烷的化学式为，
故选：C．
4.B
【分析】根据图形的变化规律归纳出第行中黑圈的数量为即可得出结论．
【详解】解：由题知，第一行的黑圈数量为1，
第二行的黑圈数量为2，
第三行的黑圈数量为5，
第四行的黑圈数量为14，
，
给每行的黑圈数量乘2，
则数量分别是2，4，10，，
即，，，，
第行中黑圈的数量的2倍为，
第行中黑圈的数量为，
第7行中黑圈数量为，
故选B
【题型4 表格中的规律探索】
1.C
【分析】根据题意和数据排列发现，，m指横行数，n代表列，代入选项逐项判断即可．
【详解】解：m代表横行数，n代表竖行数，则有：
最左侧一列数据为，（m取自然数），横行数据为，
∴选项A：，不符合题意；
选项B：，不符合题意；
选项C：，符合题意；
选项D：，不符合题意；
∴416是第五行第七列的数，
故选：C．
2.2025
【分析】本题考查了数字的变化类，根据图①的规律可知，，即可得出结果．
【详解】根据图①的规律可知，
，
图②中4个数的和是，
故答案为：2025．
3.
【分析】本题考查了数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找探究规律，利用规律解决问题．
根据题意找到规律求解即可．
【详解】第1行、第2列的数字为
第2行、第3列的数字为，
第3行、第4列的数字为
…
第n行、第列的数字为
故答案为：．
4. 9 10 69
【分析】本题考查了数字类规律探究，可得规律，，即可求解；找出规律是解题的关键．
【详解】解：根据题意得
，
解得：，
．
．
【题型5 等式中的规律探索】
1.（1）解：通过观察前面式子可得：
第5个等式：，
故答案为：；
（2）通过观察前面式子可得：
第n个等式： ．
2.
【分析】本题考查数字类规律探究．解题的关键是从已有的式子中抽象出相应的数字规律．
根据已有的式子，抽象出相应的数字规律，进行作答即可．
【详解】解：∵；
；
；
……
∴，
故答案为：．
3.（1）解：由题意得，时，，
故答案为：；
（2）解：根据表中的规律猜想：用含的代数式表示的公式为，
故答案为：；
（3）解：由规律可得，，，
∴原式．
4.（1）解：第5个等式：，
故答案为：；
（2）解：第n个等式：，
故答案为：；
（3）解：原式．
．
【题型6 程序图中的规律探索】
1.C
【分析】本题考查了程序流程图以及有理数的运算，根据题中已知条件进行计算，找到输出数据的变化规律即可得到结果，解题的关键根据输出的结果找出规律．
【详解】解：当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
…
由此可知，从第2次输出开始，输出结果按“5、1”的顺序循环出现的，
∴，
即输出的结果为1，
故选：C．
2. 674
【分析】通过观察表格发现从第三个输出项起的每一项的系数都是前两项的系数之和，每个字母的指数是前两项相同字母的指数之和，输入的数为时，输出项的系数与次数均为奇数，再由，即可求解．
【详解】解：∵根据表格中输出项的规律：从第三个输出项起的每一项的系数都是前两项的系数之和，每个字母的指数是前两项相同字母的指数之和，
∴当输入9时，输出结果为：，
输入1时，输出项的系数与次数均为奇数，
输入4时，输出项的系数与次数均为奇数，
输入7时，输出项的系数与次数均为奇数，
……
输入的数为时，输出项的系数与次数均为奇数，
∵，
∴从1开始一直输入到2022后，输出项的系数与次数均为奇数的项共有674个，
故答案为：，674．
3.
【分析】本题主要考查了数字的变化类规律、代数式求值等知识点，仔细计算、观察出即从第2次开始，以、、为一个循环组循环出现是解题的关键．
先通过计算、观察出从第2次开始，以、、为一个循环组出现，再结合，再利用规律即可解答．
【详解】解：第1次输出的结果为：；
第2次输出的结果为：；
第3次输出的结果为：；
第4次输出的结果为：；
第5次输出的结果为：；
第6次输出的结果为：
…，
则从第1次输出开始，以、、为一个循环组循环出现，
∵，
∴第2024次输出的结果为．
故答案为：．
4.（1）解：填表如下：
输入 0 …
输出答案 9 4 1 0 …
（2）解：输入数据x，则输出的答案是．
（3）解：
【题型7 新定义中的规律探索】
1.
【分析】本题主要考查数字的变化规律．根据前3次变换，求得每次比前一次新增，据此求解即可．
【详解】解：一组有理数，
①第1次变换后得到数组，新增；
②第2次变换后得到数组，新增；
③第3次变换后得到数组，新增；
；
经过2023次变换后，这组数的和为，
故答案为：．
2.（1）解：∵，
，
，
，
∴，
故答案为：；
（2）解：
；
（3）解：∵，，且定义的新运算满足交换律，
∴，
整理得，
∴．
故选：B．
3. 512 1
【分析】本题考查了数字类规律探索、代数式求值，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
（1）将代入计算即可得；
（2）先求出第一次、第二次、第三次、第四次“运算”的结果，再归纳类推出一般规律，由此即可得．
【详解】解：（1）因为为奇数，
所以第一次“运算”的结果为，
故答案为：512；
（2）由题意可知，当时，第一次“运算”的结果为，
第二次“运算”的结果为，
第三次“运算”的结果为，
第四次“运算”的结果为，
归纳类推得：当时，从第二次开始，“运算”的结果是以为一个循环的，
因为，
所以第2024次“运算”的结果与第二次“运算”的结果相同，即为1，
故答案为：1．
4.
【分析】本题考查整式的加减，有理数的混合运算，根据“同位数”的定义计算即可求解，理解“同位数”的定义是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴；
∵，，所有数位上的数相等，
∴，，
∴，
又∵能被7整除，
∴能被整除，
又∵，
∴当时，不能被整除，
当时，不能被整除，
当时，不能被整除，
当时，不能被整除，
当时，能被整除，
当时，不能被整除，
当时，不能被整除，
当时，不能被整除，
当时，不能被整除，
∴，
【题型8 动态中的规律探索】
1.C
【分析】本题考查了数字类规律探索，数轴上的动点问题，根据题意找出一般规律是解题关键．通过前三次的跳动情况发现，第次动点从点跳动到的中点处时，，即可得出答案．
【详解】解：由题意可知，，
第1次动点跳动到的中点处时，；
第2次动点从跳动到的中点处时，；
第3次动点从点跳动到的中点处时，；
……
观察可知，第次动点从点跳动到的中点处时，；
故选：C
2.46
【分析】先求出这只昆虫最后一次移动的路程，再根据向左为正，向右为负列式计算即可．
【详解】解：∵1+2+3+...+n=，
而91×92÷2=4186，
∴最后一次移动91米，
∴这只昆虫与点A相距：
1-2+3-4+5-...+89-90+91=46米，
故答案为：46．
3.B
【分析】找到规律：跳动次数为从1开始连续正整数的和，且最后一个加数为，进而得到答案即可．
【详解】由题意知，跳动个单位长度到，
从到再跳动个单位长度，
归纳可得：从上一个点跳到下一个点跳动的单位长度是三个连续的正整数的和，，
点从跳到跳动了：，
故选：B．
4.D
【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，行程问题中的相遇问题及按比例分配的运用，难度较大，注意先通过计算发现规律然后再解决问题．设出正方形的边长，甲的速度是乙的速度的倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答．
【详解】解：设正方形的边长为a，因为乙的速度是甲的速度的倍，时间相同，甲乙所行的路程比为，把正方形的每一条边平均分成份，由题意知：
①第一次相遇甲乙行的路程和为，乙行的路程为，甲行的路程为，在边的中点相遇；
②第一次相遇到第二次相遇甲乙行的路程和为，乙行的路程为，甲行的路程为，在边的中点相遇；
③第二次相遇到第三次相遇甲乙行的路程和为，乙行的路程为，甲行的路程为，在边的中点相遇；
④第三次相遇到第四次相遇甲乙行的路程和为，乙行的路程为，甲行的路程为，在边的中点相遇；
⑤第四次相遇到第五次相遇甲乙行的路程和为，乙行的路程为，甲行的路程为，在边的中点相遇；
四次一个循环，因为，
所以它们第次相遇在边上，
故选：D．
