2024-2025学年第二学期期末考试高二数学模拟试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．的展开式中的常数项为（ ）
A．240 B． C．160 D．
2．甲 乙 丙 丁4名志愿者被派往三个足球场参加志愿服务，每名志愿者都必须分配，每个足球场至少分配1名志愿者，但甲 乙不能安排在同一个足球场，则不同的分配方案共有（ ）
A．30种 B．36种 C．42种 D．56种
3．曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
4．袋中有5个球，其中红、黄、蓝、白、黑球各一个，从袋中有放回地随机取两次，每次取一个球，记事件：至少一次取到红球，事件：两次取到的球颜色不同，则（ ）
A． B． C． D．
5．一枚质地均匀的硬币掷出正面与反面的概率均等，将该硬币连续抛掷三次，已知三次中至少有一次正面，则三次中恰好有两次正面的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数，当时，有极大值，则（ ）
A． B． C．0 D．或1
7．口袋里有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，数列满足：，如果为数列的前n项和，那么的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．当时，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在毎小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9．下列有关回归分析的结论中，正确的有（ ）
A．若回归方程为，则变量与负相关
B．运用最小二乘法求得的经验回归直线一定经过样本点的中心
C．若决定系数的值越接近于0，表示回归模型的拟合效果越好
D．若散点图中所有点都在直线上，则相关系数
10．将甲、乙、丙、丁4名医生随机派往①，②，③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派1名医生，A 表示事件“医生甲派往①村庄”，B 表示事件“医生乙派往①村庄”，C表示事件“医生乙派往②村庄”，则（ ）
A．事件A与B相互独立 B． C．事件A与C相互独立 D．
11．已知定义域为R的函数为奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．有三个零点 B．在处切线的斜率为
C．当时，有极大值 D．若的极小值为m，则
三、填空题（本大题共3小题，每小题 5 分，共15分．）
12．曲线在点处的切线方程为 .
13．在的展开式中，若各项系数的和为，则的系数为 ．
14．一个箱子里有5个相同的球，分别以1~5标号，若每次取一颗，有放回地取三次，记至少取出一次的球的个数X，则数学期望 .
四、解答题（本大题共5小题， 共 77 分， 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．为了研究学生每天整理数学错题的情况，某校数学建模兴趣小组在本校某年级学生中随机抽取了200名学生，调查他们平时的数学成绩和整理数学错题的情况，现统计的部分数据如下表：
数学成绩总评优秀的人数 数学成绩总评非优秀的人数 合计
每天都整理数学错题的人数 90
不是每天都整理数学错题的人数 40 100
合计 200
(1)完成上述样本数据的列联表，并判断是否有的把握认为学生的数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关；
(2)按照比例采用分层随机抽样的方法从不是每天都整理数学错题的学生中随机抽取5名学生，再从这5名学生中选3名做进一步访谈，设这3人中数学成绩总评非优秀的人数为，求的分布列和期望．
附：，其中．
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
16．2025年世界游泳锦标赛将在新加坡举办，游泳比赛分为预赛、半决赛和决赛三个阶段，只有预赛、半决赛都获胜才有资格进入决赛．已知甲在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，乙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，丙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为p和，其中．假设每次比赛结果相互独立．
(1)甲、乙、丙进入决赛的概率分别是多少？
(2)如果甲、乙、丙三人都进入决赛的概率为，求p的值；
(3)在（2）的条件下，设甲、乙、丙三人中进入决赛的人数为X，求X的分布列．
17．某试点高校校考过程中笔试通过后才能进入面试环节.2022年报考该试点高校的学生的笔试成绩近似服从正态分布.其中，近似为样本平均数，近似为样本方差.已知的近似值为76.5，s的近似值为5.5，以样本估计总体.
(1)若笔试成绩高于76.5进入面试，若从报考该试点高校的学生中随机抽取10人，设其中进入面试学生数为，求随机变量的期望.
(2)现有甲、乙、丙、丁四名学生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为.设这4名学生中通过面试的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望.
参考数据：；；.
18．已知函数
(1)当时，求曲线在处的切线方程;
(2)若函数，求函数极值点的个数;
19．已知函数，．
(1)求的最小值
(2)当时，，求的取值范围．
试卷第1页，共3页
参考答案
1．D解析：展开式的通项公式为：.
令的次数为0，则.将代入通项公式中，可得：.故选：D.
2．A分析：先计算出所有可能得选派方法，在计算出甲乙在同一足球场的情况，可求出不在同一足球场的分配方案数.
解析：总分配方案种数为，甲 乙在同一足球场的分配方案种数为，则甲 乙不在同一个足球场的分配方案种数为，故选:A.
3．C分析：求出导数，再利用导数的几何意义求出切线方程.
解析：由函数求导得：，则，
所以所求切线方程为，即.故选：C
4．D分析：根据独立事件概率的乘法公式，和条件概率公式，求出结果.
解析：两次抽取一个球，至少一次又两种情况为只有一次红球和两个都是红球，为方便计算，取的对立事件为没有红球，则，
事件为一个红球和一个其他颜色球，则.
由条件概率可知. 故选：D.
5．B分析：利用条件概率中的缩小样本空间的方法求解即可.
解析：设事件“三次中至少有一次正面”，事件“三次中恰好有两次正面”，
依题意，正反反，反正反，反反正，正正反，正反正，反正正，正正正，
正正反，正反正，反正正，则正正反，正反正，反正正，
则三次中恰好有两次正面的概率为. 故选：B.
6．A分析：求出导函数，由导数在极值点处的函数值为零可求或，检验后可得参数的值.
解析：由题知在时取得极大值，，解得或，
当时，，
由，在区间上单调递增；
由在区间上单调递减．
此时在时取得极大值，满足题意，
当时，，则在上单调递增，不符合题意，故舍去．．故选：A.
7．B解析：由题可知为7次中2次摸到红球，5次摸到白球，所以其概率为．故选：B.
8．D分析：利用分类讨论进行参变分离，然后通过求导函数求最值即得.
解析：当时，，， 当时，由得，
令，则，
∴当时，，单调递增，当时，，单调递减，
∴当时，，∴；
当时，由得，
由上知在上为增函数，所以，∴；综上可知，.故选：D.
9．AB分析：A选项，根据得到变量与负相关；B选项，运用最小二乘法求得的经验回归直线一定经过样本点的中心；C选项，的值越接近于1，拟合效果越好；D选项，若散点图中所有点都在直线，说明此时相关系数.
解析：因为，所以变量与负相关，A正确；
运用最小二乘法求得的经验回归直线一定经过样本点的中心，B正确；
若决定系数的值越接近于0，表示回归模型的拟合效果越差，
越接近于1，表示回归模型的拟合效果越好，C错误；
若散点图中所有点都在直线，结合可得：相关系数为1，D错误；故选：AB
10．BD分析：由古典概率公式计算出，然后由相互独立事件的定义判断AC，由条件概率公式计算条件概率判断BD．
解析：因为4名医生派去三个村庄，基本事件的总数为，它们是等可能的基本事件，
事件含有的基本事件个数为，所以，同理，
事件含有的基本事件的个数为，，事件含有的基本事件的个数为，，，事件A与B不相互独立,A错误；
，事件A与C不相互独立，C错误；
，B正确；，D正确．故选：BD．
11．AC分析：对于A，利用函数零点的定义结合奇函数的性质求解判断即可；对于B，先求出时，，进而求导，利用导数的几何意义求解判断即可；对于C，求导，分析可得在区间内存在唯一，在上单调递增，在上单调递减，进而判断即可；对于D，结合C可得的极大值，结合奇函数的性质可得的极小值，进而判断即可.
解析：对于A，当时，令，得，因为是定义域为R的奇函数，
所以，，故有三个零点，故A正确；
对于B，当时，，所以，得，
此时，所以，故B错误；
对于C，当时，，
因为函数在上单调递减，所以函数在上单调递减，
又，，
故在区间内存在唯一，使，即，
则时，；时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，故C正确；
对于D，由C得在处取得极大值，因为，
所以，因为，所以极大值，
又因为为奇函数，所以极小值，故D错误．故选：AC.
12．分析：通过求导得出在点的切线斜率，即可求出在点处的切线方程.
解析：由题意，在中，，
当时，， ∴在点处的切线方程为：，
即：，故答案为：.
13．分析：令，即可表示出二项式系数之和求出，然后利用通项公式直接求解即可.
解析：由题知，令，则原式为，
因为各项系数的和为，所以，则，则原式为，
因为通项为，所以的系数为.故答案为：
14．分析：法一：根据题意得到的可能取值，再利用分步乘法原理与古典概型的概率公式求得的分布列，从而求得；法二，根据题意假设随机变量，利用对立事件与独立事件的概率公式求得，进而利用数学期望的性质求得.
解析：法一：依题意，的可能取值为1、2、3，总的选取可能数为，
其中：三次抽取同一球，选择球的编号有5种方式，故，
：恰好两种不同球被取出（即一球出现两次，另一球出现一次），
选取出现两次的球有5种方式，选取出现一次的球有4种方式，
其中选取出现一次球的位置有3种可能，故事件的可能情况有种，故，
：三种不同球被取出，由排列数可知事件的可能情有况种，故，
所以.故答案为：.
法二：依题意，假设随机变量，其中：
其中，则，
由于球的对称性，易知所有相等，
则由期望的线性性质，得，
由题意可知，球在单次抽取中未被取出的概率为，
由于抽取独立，三次均未取出球的概率为，
因此球至少被取出一次的概率为：，故，
所以. 故答案为：.
分析：（1）求出的观测值，与临界值对比即可.
（2）先通过采用分层随机抽样得抽取的成绩优秀与不优秀人数，求出所有可能的取值，及对应的概率，列出分布列并求出期望.
解析：（1）完善列联表，如下：
数学成绩总评优秀的人数 数学成绩总评非优秀的人数 合计
每天都整理数学错题的人数 90 10 100
不是每天都整理数学错题的人数 60 40 100
合计 150 50 200
零假设为：：学生的数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题相互独立，即学生的数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题无关，
根据列联表数据计算可得，
根据小概率的独立性检验，我们推断不成立，所以有的把握认为学生的数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关．
（2）由分层随机抽样可知，抽取的5名学生中有2名数学成绩总评非优秀．
所有可能的取值为0，1，2，知，，，
所以的分布列为：
0 1 2
故．
16．分析：（1）利用相互独立事件概率乘法公式即可求解；
（2）利用甲、乙、丙三人都进入决赛的概率之积列方程求解即可；
（3）利用分类计算三人相互独立事件发生概率之积来求分布列即可.
解析：（1）甲进入决赛的概率为， 乙进入决赛的概率为，
丙进入决赛的概率为
（2）因为甲、乙、丙三人都进入决赛的概率为， 则，
整理得，解得或， 因为，所以
（3）由（2）知，丙进入决赛的概率为，
所以甲、乙、丙三人进入决赛的概率分布为，，，
根据题意，得到随机变量X的可能取值为0，1，2，3，
可得；
，
， 则，
所以随机变量X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
17．分析：（1）根据题意随机变量服从二项分布，应用二项分布期望计算公式可解.
（2）由题可知随机变量X可能取值为，分别计算相关概率，写出分布列计算期望即可.
解析：（1）由，可得，
即从所有报考该试点高校的学生中随机抽取1人，该学生笔试成绩高于76.5的概率为
所以随机变量服从二项分布，故.
（2）X的可能取值为，
，
，
，
，
，所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
所以.
18．分析：（1）求出导函数，利用导数的几何意义求出切线斜率，即可求出切线方程；
（2）求导，分类讨论求解函数的单调区间，根据极值点的概念即可判断极值点个数；
解析：（1）：的定义域为，，，
所以，，所以曲线在处的切线方程为
（2）：，
对于方程，
①当时， ，此时没有极值点;
②当时，方程的两根为，，不妨设，
则，，，
当或时，，
当时，，此时，是函数的两个极值点;
③当时，方程的两根为，，且，，
故，，当时，，故没有极值点;
综上，当时，函数有两个极值点;当时，函数没有极值点.
19．分析：（1）求导得函数单调性即可得最小值；
（2）令，，所以恒成立，求导得，对分类讨论，结合基本不等式，零点存在性定理即可求解.
解析：（1）的定义域为，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，故；
（2）令，，
因为时，，所以恒成立，
，令，
则有，令，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故，所以，即，
则时，，
所以在上单调递增，
则，又，所以，即，
则在上单调递增，从而，又，所以；
当时，令，
因为，则有，故在上单调递增，
而，，故存在，，
从而当时，，单调递减，所以当时，，
又，所以，在上单调递减，则，又，
故，与矛盾，故不合题意，
综上所述，实数的取值范围为．
答案第1页，共2页
