参考答案
一、单项选择题（共8题，共40分）
1. 【答案】B
【解析】 ，
所以 ．
故选：B．
2. 【答案】D
【解析】由于向量 ，，
所以 ．
故 ．
故选D．
3. 【答案】A
【解析】由 的图象知， 的函数值先正，再负，再正，再负．
4. 【答案】B
5. 【答案】B
【解析】函数 ，若 为奇函数，
可得 ，则 ，
即为 恒成立，可得 ，
即 ，
函数的导数为 ，
可得 在 处的斜率为 ，
则 在 处的切线方程为 ．
6. 【答案】A
【解析】设 的坐标为 ，若 ，则有 ，解得 ．
即点 的坐标为 ，故选A．
7. 【答案】A
【解析】因为函数 的定义域是 ，
所以 ，
因为 是函数 的唯一一个极值点，
所以 是导函数 的唯一根，
所以 在 无变号零点，
即 在 上无变号零点，
令 ，因为 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 的最小值为 ，所以必须 ．
8. 【答案】B
【解析】因为点 是 平面内直线 上的动点，
所以可设点 ，
由空间两点间的距离公式，得 ，
令 ，
当 时， 取最小值，为 ，
所以当 时， 的值最小，为 ，
即 ， 两点间的距离最小为 ．
二、多项选择题（共3题，共18分）
9. 【答案】B；C；D
【解析】因为函数 ，所以函数 的定义域为 ，故A错误．
当 时，．
当 变化时， 和 变化情况如下表：由上表可知，函数 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 ，
极小值是 ，B，C正确．
由 ，得 ．
若函数 为 上的增函数，则 在 上恒成立，
即不等式 在 上恒成立，
也即 在 上恒成立．
令 ，则 ．
当 时，，
所以 在 上为减函数，
所以 ，所以 ．
所以 的取值范围为 ．
10. 【答案】A；B；C
【解析】如图所示，该几何体可补形为正方体，以 为坐标原点，，， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系．
由正方体的性质易得 ，故A正确．
该几何体的外接球与正方体的外接球相同，其外接球半径为 ，故外接球的表面积为 ，故B正确．
由题意可得 ，，，，，
所以 ，．
设平面 的法向量为 ．
由 得
令 ，得 ，，则 ．
当 为 的中点时，，
则 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，故C正确．
设 ，
则 ，
故当 时， 取得最小值，
且最小值为 ，故D错误．
11. 【答案】C；D
【解析】设 ，则 ，
因为 时，，
所以 时，，
因此 在 上单调递减，所以 ，，
即 ，．
三、填空题（共3题，共15分）
12. 【答案】
【解析】函数 的导数为 ，
令 ，解得 ，故函数的单调减区间是 ．
13. 【答案】
14. 【答案】①③
【解析】从图中可得， 在 上为正，在区间 为负，所以 是函数 的一个极值点，①正确；当 时，，所以函数 在 处切线的斜率大于零，②错；因为 在 上为正，所以 在 上单调递增，所以 ，③正确；从图中无法确定 在 上的正负，故④错误．
四、解答题（共5题，共77分）
15. 【答案】
(1) ．
(2) 由（）得 ，
所以
故 ．
16. 【答案】
(1) 当 时，，
则 ，
所以 ，，
所以曲线 在 处的切线方程为 ．
(2) ，
令 ，，
则 ，
解 ，
得 ，
与 的变化情况如下：所以函数 在区间 上的最小值为 ，
方法 ：
①当 时，．
所以 恒成立，
即 恒成立，
所以函数 在区间 上是增函数，无极值，不符合要求，
②当 时，
因为 ，，
所以存在 ，使得 ．所以函数 在区间 上存在极小值 ，符合要求，
③当 时，
因为 ，
所以函数 在区间 上无极值．
取 ，
则 ，
所以存在 ，使得 ．
易知， 为函数 在区间 上的极大值点．
所以函数 在区间 上有极大值，无极小值，不符合要求．
综上，实数 的取值范围是 ．
方法 ：
“ 在区间 上存在极小值”，当且仅当
解得 ．
证明如下：
当 时，
因为
所以存在 ，使得 ．所以函数 在区间 上存在极小值．
所以实数 的取值范围是 ．
17. 【答案】
(1) 因为 ，
所以 ，且 ，则 ，
所以 在 处的切线方程为 ．
(2) 当 时，，即 ，
当 时，；
当 时，，即 ，
令 ，则 ，
因为 ，
所以 ，
当 时，， 在 上单调递增；
当 时，， 在 上单调递减，
所以 ，
所以 ，
所以实数 的最大值为 ．
(3) 若 ，当 时， 和 都单调递增，
令 ，
所以 单调递增．
①当 ，即 时，，，则 在 上单调递增，
而 ，所以当 时，，所以 在 上单调递减，
当 时，，所以 在 上单调递增，
所以 在 处取极小值．
②当 ，即 时，，且 ， 单调递增，
所以存在 ，使得 ，且 时，，
则 在 上单调递增，而 ，
所以当 时，，所以 在 上单调递减；
当 时，，所以 在 上单调递增，
所以 在 处取极小值．
综上，当 时， 在 处取极小值．
18. 【答案】
(1) 球的直径 ，
所以球半径 ，
所以 ．
(2) 以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，，，，，，
设 （），
所以 ，
因为 是以 为直径的圆上一点，
所以 ，得 ，
所以 ．
设平面 的一个法向量 ，则 ，，
得 取 ，则 ，
设直线 与平面 所成角为 ，则 ，
所以线 与平面 所成角为 ．
(3) 设 ，
又 ，得 ，，
设点 到平面 的距离为 ，则 ．
19. 【答案】
(1) 当 时，，．
所以 ，．
所以曲线 在点 处的切线方程为：，
即 ．
(2) 的定义域为 ，
当 时，，
令 ，得 或 ．
与 的情况如下：所以 的单调增区间为 ，，单调减区间为 ，．
(3) 法 ：
“”是“ 时， 恒成立”的必要条件．
当 ， 时，．
设 ，
由（Ⅱ）知， 在 上满足 ，
所以，当 ， 时，，
所以 的取值范围是 ．
法 ：
因为 时， 恒成立，
所以 ．
令 ，．
所以 ，
分析解析式发现 ．
令 ，
所以 ．
所以 单调递增．
与 的情况如下：所以 ，
所以 的取值范围是 ．
法 ：
，
①当 时，因为 ，所以
取 ，得 ，不合题意；
②当 时，，
显然 存在唯一负实数根 ，且在 上 ，在 上 ，
所以 在 上递减，在 上递增，所以 ，
由 得 ，
所以 ，
满足 成立即可满足题意，
设 ，则 ，
所以 在 时单调递减，又 ，所以 ，
设 ，则 在 时成立
所以 在 单调递增，
所以 时 恒成立．定西市临洮县第二中学2024-2025学年度第二学期期中考试
高二 数学
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
已知函数 ，则
A． B． C． D．
若向量 ，，则
A． B． C． D．
如果函数 的图象如图，那么导函数 的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
已知函数 的导函数为 ，且满足 ，则
A． B． C． D．
已知函数 是奇函数，则曲线 在点 处的切线方程是
A． B． C． D．
在空间直角坐标系中，已知点 与点 ，若在 轴上有一点 满足 ，则点 的坐标为
A． B． C． D．
已知函数 ，若 是函数 的唯一极值点，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
已知空间直角坐标系 中有一点 ，点 是 平面内直线 上的动点，则 ， 两点间的距离最小为
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分， 共18分. 在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分.
已知函数 ，则下列结论正确的是
A．当 时，函数 的单调递减区间是
B．当 时，单调递增区间是
C．当 时，极小值是
D．若 在 上是增函数，则 的取值范围为
如图，四边形 是边长为 的正方形，，，且 ， 为线段 上的动点，则下列结论中正确的是
A．
B．该几何体外接球的表面积为
C．若 为 的中点，则
D． 的最小值为
已知定义在 上的函数 ， 是 的导函数，且恒有 成立，则
A． B． C． D．
三、填空题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.
函数 的单调减区间是 ．
如图所示，在三棱柱 中，侧棱垂直于底面 ，，，， 分别是棱 ， 的中点，则直线 和 所成的角是 ．
已知函数 的导函数 的图象如图所示，给出如下命题：
① 是函数 的一个极值点；② 函数 在 处切线的斜率小于零；
③ ；④ 当 时，．
其中正确的命题是 ．（写出所有正确命题的序号）
四、解答题：本大题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（13分）如图，在平行六面体 中，，，，，， 是 的中点，设 ，，．
(1) 用 ，， 表示 ；
(2) 求 的长．
16.（15分）已知函数 ．
(1) 当 时，求曲线 在 处的切线方程；
(2) 若 在区间 存在极小值，求 的取值范围．
17.（15分）已知函数 ， 为自然对数的底数．
(1) 求 在 处的切线方程；
(2) 当 时，，求实数 的最大值；
(3) 证明：当 时， 在 处取极小值．
18.（17分）如图，在四棱锥 中，底面 是矩形，，，．以 的中心 为球心， 为直径的球面交 于点 ，交 于点 ．
(1) 求该球体的体积．
(2) 求直线 与平面 所成的角的大小．
(3) 求点 到平面 的距离．
19.（17分）已知函数 ．
(1) 当 时，求曲线 在 处的切线方程；
(2) 当 时，求函数 的单调区间；
(3) 当 时， 恒成立，求 的取值范围．
