山西省2025年中考数学试题
第I卷 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．下列各数中比小的数是（ ）
A． B． C． D．3
2．科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展．以下四个科技创新型企业的品牌图标中，为中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，小谊将两根长度不等的木条AC，BD的中点连在一起，记中点为O，即．测得C，D两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上A，B两点之间的距离．图中与全等的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．HL
5．不等式组的解集是（ ）
A． B． C． D．无解
6．如图，在中，点O是对角线AC的中点，点E是边AD的中点，连接OE．下列两条线段的数量关系中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
7．下表记录了某市连续五天的日最高气温和日最低气温．比较这五天的日最高气温与日最低气温的波动情况，下列说法正确的是（ ）
日期 气温 2月2日 2月3日 2月4日 2月5日 2月6日
最高/℃ 12 6 10 9 8
最低/℃ 1 0 2
A．日最高气温的波动大 B．日最低气温的波动大 C．一样大 D．无法比较
8．如图，AB为的直径，点C，D是上位于AB异侧的两点，连接AD，CD．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得．实践小组通过实验发现，在电解水的过程中，生成物氢气的质量y（g）与分解的水的质量x（g）满足我们学过的某种函数关系．下表是一组实验数据，根据表中数据，y与x之间的函数关系式为（ ）
水的质量x/g 4.5 9 18 36 45
氢气的质量y/g 0.5 1 2 4 5
A． B． C． D．
10．如图，在中，，分别以点B，C为圆心、BC的长为半径画弧，与BA，CA的延长线分别交于点D，E．若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．因式分解： ________．
12．近年来，我省依托乡村e镇建设，打造农村电商新产业，提高了农民收入．某农户通过网上销售传统手工艺品布老虎，利润由原来的每个20元增加到80元．该农户通过网上售出a个布老虎，则他的利润增加了________元（用含a的代数式表示）．
13．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，将线段OA绕点O逆时针旋转，则点A对应点的坐标为________．
14．如图是创新小组设计的一款小程序的界面示意图，程序规则为：每点击一次按钮，“”就从一个格子向左或向右随机移动到相邻的一个格子．当“”位于格子A时，小明连续点击两次按钮，“”回到格子A的概率是________．
15．如图，在四边形ABCD中，，点E在边AB上，，连接CE，且．点F在BC的延长线上，连接DF若，则线段CF的长为________．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（本题共2个小题，每小题5分，共10分）
（1）计算： （2）解方程组：
17．（本题7分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数的图象交于点C．已知点A的坐标为，点C的坐标为，点D在反比例函数的图像上，纵坐标为2．
（1）求反比例函数的表达式，并直接写出点B的坐标；
（2）连接BD，OD，请直接写出四边形ABDO的面积．
18．（本题8分）近年来，交通工具的多样化和普及化，为家长接送孩子带来便利的同时，也在一定程度上造成了放学时段校门口的交通拥堵．为了解具体情况，某校爱心社团中午放学后在校门口随机选取300名接送孩子的家长，针对接送孩子的方式和时段进行了问卷调查（调查问卷如右图），所有问卷全部收回且有效，并将调查结果绘制成了如下所示的扇形统计图和条形统计图（不完整）．
请认真阅读上述信息，回答下列问题：
（1）扇形统计图中“公共交通”所在扇形的圆心角度数为_________；本次调查的家长中骑电动自行车接送孩子的有__________人，并补全条形统计图；
（2）若该校共有1500名家长中午放学后接送孩子，请估计用私家车接送孩子的家长人数；
（3）假如你是爱心社团的成员，请根据上述统计图中的信息，写出一个造成放学后校门口交通拥堵的原因，并给家长提出一条缓解拥堵的建议．
19．（本题7分）我国自主研发的HGCZ-2000型快速换轨车，采用先进的自动化技术、能精准高效地完成更换铁路钢轨的任务．一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨的公里数是一个工作队人工更换钢轨的2倍，它更换116公里钢轨比一个工作队人工更换80公里钢轨所用时间少22小时．求一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨多少公里．
20．（本题8分）项目学习
项目背景：“源池泉涌”为我省某景区的一个景点，主体设计包括外栏墙与内栏墙，外栏墙高于内栏墙，两栏中间为步道，内栏墙内为泉池，池内泉水清澈见底．从正上方看，外栏墙呈正八边形，内栏墙呈圆形．综合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告．
项目主题 景物的测量与计算
驱动问题 如何测量内栏墙围成泉池的直径
活动内容 利用视图、三角函数等有关知识进行测量与计算
活动过程 方案说明 图1为该景，点俯视图的示意图，点A，D是正八边形中一组平行边的中点，BC为圆的直径图中点A，B，C，D在同一条直线上． 图2为测量方案示意图，直径BC所在水平直线与外栏墙分别交于，点E，F，外栏墙AE与DF均与水平地面垂直，且．BE，CF均表示步道的宽，．图中各点都在同一竖直平面内．
数据测量 在点A处测得，点B和点C的俯角分别为米．图中墙的厚度均忽略不计
计算 ……
交流展示 ……
请根据上述数据，计算内栏墙围成泉池的直径BC的长（结果精确到1米．参考数据：
）．
21．（本题9分）阅读与思考
下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务．
双关联线段 【概念理解】 如果两条线段所在直线形成的夹角中有一个角是，且这两条线段相等，则称其中一条线段是另一条线段的双关联线段，也称这两条线段互为双关联线段． 例如，下列各图中的线段AB与CD所在直线形成的夹角中有一个角是，若，则下列各图中的线段CD都是相应线段AB的双关联线段． 【问题解决】 问题1：如图，在矩形ABCD中，，若对角线AC与BD互为双关联线段，则________． 问题2：如图，在等边中，点D，E分别在边BC，CA的延长线上，且，连接AD，BE． 求证：线段AD是线段BE的双关联线段． 证明：延长DA交BE于点F． 是等边三角形， ． ， （依据）． ， …
任务：
（1）问题1中的________， （2分）
问题2中的依据是________________； （3分）
（2）补全问题2的证明过程；
（3）如图，点C在线段AB上，请在图3中作线段AB的双关联线段CD．
（要求：①尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；②作出一条即可）．
22．（本题13分）综合与实践
问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合．
实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为．
数学建模：如图，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O为原点，OM所在直线为x轴，过点O与OM所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系．
（1）请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式；
问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变．
（2）如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为，点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离OQ的长；
（3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于，才能安全通过．如图，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形ABCD，其中，．仿青蛙机器人从距离AB左侧处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青娃机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）．
23．（本题13分）综合与探究
问题情境：如图，在纸片中，，点D在边AB上，．沿过点D的直线折叠该纸片，使DB的对应线段与BC平行，且折痕与边BC交于点E，得到，然后展平．
拓展延伸：（2）如图，继续沿过点D的直线折叠该纸片，使点A的对应点落在射线上，且折痕与边AC交于点F，然后展平．连接交边AC于点G，连接．
①若，判断DE与的位置关系，并说明理由；
参考答案
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A D B B C C A B C D
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11． 12． 13． 14． 15．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（本题共2个小题、每小题5分，共10分）
（1）解：原式 （3分）
（4分）
（5分）
（2）解：①+②，得， （6分）
． （7分）
将代入②，得， （8分）
． （9分）
所以原方程组的解是 （10分）
17．（本题7分）
（1）解：反比例函数的图象经过点，
． （2分）
反比例函数的表达式为． （3分）
点B的坐标为． （5分）
（2）连接BD，OD，请直接写出四边形ABDO的面积．
解：10． （7分）
18．（本题8分）
（1）解：36 （2分）135 （3分）
（2）解：（人） （5分）
答：估计用私家车接送孩子的家长有450人． （6分）
（3）解：答案不唯一，例如：
原因：①由扇形统计图可知，接送孩子的电动自行车和私家车的比例较大，为，容易造成放学后校门口交通拥堵．②由条形统计图可知，在12：00~12：10时段，接送孩子的电动自行车和私家车的数量较多，容易造成放学后校门口交通拥堵，等． （7分）
建议：①建议家长在条件允许的情况下选用公共交通方式接送孩子．②建议用电动自行车和私家车接送孩子的家长，在条件允许的情况下避开1200~12：10时段接送孩子，等． （8分）
19．（本题7分）
解：设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨x公里． （1分）
根据题意，得． （4分）
解，得． （5分）
经检验，是原方程的根． （6分）
答：一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨2公里． （7分）
20．（本题8分）
解：由题意得，，四边形AEFD为矩形． （1分）
．
． （2分）
设米，则米，米．
在中，，，
． （3分）
在中，，，
． （4分）
． （5分）
解，得． （6分）
（米）． （7分）
答：内栏墙围成泉池的直径BC的长约为17米． （8分）
21．（本题9分）
（1） （2分）
等角的补角相等； （3分）
（2）解：是的外角， ．
是的外角， ． （4分）
，． （5分）
即线段AD与线段BE所在直线形成的夹角中有一个角是．
，线段AD是线段BE的双关联线段． （6分）
（3）解：答案不唯一，例如：
作法一： 作法二：
如图，线段CD即为所求． （9分）
评分说明：作图正确并保留作图痕迹得2分，字母标注正确并写出结论得1分．
22．（本题13分）
（1）解：顶点N的坐标为． （1分）
设抛物线的函数表达式为． （2分）
由题意得，点M的坐标为．将点M的坐标代入，
得． （3分）
解，得． （4分）
抛物线的函数表达式为． （5分）
问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变．
（2）解：由题意得，过点P的抛物线是由（1）中的抛物线沿直线l向上平移得到的，
顶点为．其表达式为． （7分）
当时，． （8分）
解，得（不符合题意，舍去）． （9分）
点Q的坐标为．
起跳点P与落地点Q的水平距离OQ的长为． （10分）
（3）解：． （13分）
23．（本题13分）
解：四边形是菱形． （1分）
理由如下：由折叠可知，，
． （2分）
， ． （3分）
． ． （4分）
． 四边形是菱形． （5分）
（2）①解：．理由如下：
由（1）得． ，． （6分）
由折叠可知，．，．
点是的中点．'． （7分）
．． （8分）
在中，，
．． （9分）
即．． （10分）
②解：5或（评分说明：只写出一个正确答案得2分，全部正确得3分）． （13分）
