第1章 三角形的初步认识 单元测试
一、单选题
1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．4，6，10 B．3，9，5 C．8，6，1 D．5，7，9
2．如图是的折纸示意图，则折痕是的（ ）
A．中垂线 B．中线 C．角平分线 D．高线
3．如图，在已知的中，按以下步骤作图：
①分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；
②作直线交于点D，连接．
若，，则的周长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．14
4．如图所示，已知于点B，延长交于点G，于点C，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，，，，，动点D在边上，以为边作等边（点E、A在BD的同侧）．在点D从点A移动至点C的过程中，点E移动的路径长为（ ）
A．2 B．1 C． D．
6．4月6日，以“筝春色，享春趣”为主题的2025龙亭风筝大赛在开封龙亭公园举行，吸引了无数游客与风筝爱好者共赴这场春日盛宴．如图是小雪制作的风筝模型，已知，且，则的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．10
7．下列命题中，真命题的个数是（ ）
（）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
（）从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离
（）三角形的任何一个内角小于与它不相邻的外角
（）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
（）两条边相等及一个角相等的两个三角形一定全等
A． B． C． D．
8．下列说法不正确的是（ ）
A．面积相等的两个图形是全等图形
B．全等三角形的对应边相等，对应角相等
C．图形全等，只与形状、大小有关，而与它们的位置无关
D．如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同
9．下列命题中：（1）点到直线的距离是指这点到直线的垂线段；（2）两直线被第三条直线所截，同位角相等；（3）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（4）过一点有且只有一条直线与已知直线平行．其中假命题的个数为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，若，，则（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，在中，，，，P、Q是边AC、BC上的两个动点，于点D，于点E．设点P、Q运动的时间是t秒（）．若点P从C点出发沿CA以每秒3个单位的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回到点C停止运动；点Q从点B出发沿BC以每秒1个单位的速度向点C匀速运动，到达点C后停止运动，当 秒时，和全等．
12．如图，在中，，，，，平分交于点，点、分别是、边上的动点，则的最小值为 ．
13．如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，过点作于，下列四个结论：①；②；③点到各边的距离相等；④设，，则．其中正确的结论有 （填写序号）．
14．如图，平行四边形ABCD中，，，与的平分线分别交AB于F、E，则
15．如图，，，与相交于点E，与相交于点F，则的度数为 ．
三、解答题
16．如图，在中，垂直平分，分别交边于点D，点E，平分．
(1)若，求的周长；
(2)设，试用含的式子表示，再求当，的值．
17．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处，直线交于点．
(1)直接写出点、、的坐标；
(2)求的面积．
18．已知：如图，O是的内角和外角的平分线的交点．
（1）若，求；
（2）若，用n的代数式表示的度数．
19．如图，已知，，与交于点，试探究与有怎样的大小关系和位置关系，并说明理由．
20．如图，⊙O是以△ABC的边AC为直径的外接圆，∠ACB＝54°，如图所示，D为⊙O上与点B关于AC的对称点，F为劣弧BC上的一点，DF交AC于N点，BD交AC于M点．
(1)求∠DBC的度数；
(2)若F为弧BC的中点，求．
《第1章 三角形的初步认识 单元测试》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D D A D D B A D C
1．D
【分析】根据构成三角形的条件：两边之和大于第三边，两边只差小于第三边进行逐一判断即可
【详解】解：根据三角形的三边关系，知
A、4＋6＝10，不能组成三角形，故A错误；
B、3＋5＜9，不能组成三角形；故B错误；
C、1＋6＜8，不能组成三角形；故C错误；
D、5＋7＞9，能够组成三角形，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了构成三角形的条件，熟知构成三角形的条件是解题的关键．
2．D
【分析】本题考查了折叠的性质、中垂线定义以及三角形的角平分线、中线和高线，正确掌握相关定义，即可解题．
【详解】解：根据折叠的性质得，
，，，
不是的角平分线，不是中垂线和的中线．
，
，
，
是的高线．
故答案为：D．
3．D
【分析】根据作图可得MN是BC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得CD=DB，然后可得AD+CD=10，进而可得△ACD的周长．
【详解】解：根据作图可得MN是BC的垂直平分线，
∵MN是BC的垂直平分线，
∴CD=DB，
∵AB=10，
∴CD+AD=10，
∴△ACD的周长=CD+AD+AC=4+10=14，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了线段垂直平分线的性质和作法，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
4．A
【分析】根据于点B，于点C，且可得出平分，根据三角形外角的性质可得结论．
【详解】∵于点B，于点C，且，
∴平分，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了角平分线的判定以及三角形外角的性质，熟知角平分线上的任意一点到角两边的距离相等是解题的关键．
5．D
【分析】作垂足为F，连接，由，推出点E在的垂直平分线上，在点D从点A移动至点C的过程中，点E移动的路线和点D运动的路线相等，由此即可解决问题．
【详解】解：如图，作垂足为F，连接．
∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点E在的垂直平分线上，
∴在点D从点A移动至点C的过程中，点E移动的路径长和点D运动的路径长相等，
∵，
∴在点D从点A移动至点C的过程中，点E移动的路径长为．
故选：D．
【点睛】本题考查轨迹、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，正确找到点E的运动路线．
6．D
【分析】本题考查了全等三角形的应用，根据全等三角形的性质得出，，然后结合已知，根据线段的和差关系求解即可．
【详解】解∶∵，，
∴，，
∵，
∴，
故选∶D．
7．B
【分析】本题考查了命题，根据垂线的性质、点到直线的距离、三角形外角性质、平行公理和三角形全等的判定方法逐一判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：（）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，该命题是真命题，符合题意；
（）从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离，原命题是假命题，不合题意；
（）三角形的任何一个内角小于与它不相邻的外角，该命题是真命题，符合题意；
（）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，该命题是真命题，符合题意；
（）两条边相等及其夹角相等的两个三角形一定全等，原命题是假命题，不合题意；
∴真命题有个，
故选：．
8．A
【分析】根据全等图形的判定以及性质、全等三角形的性质解决此题．
【详解】解：A．面积相等的两个图形不一定是全等图形，故A符合题意．
B．全等三角形的对应边相等，对应角相等，说法正确，故B不符合题意．
C．图形全等，只与形状、大小有关，而与它们的位置无关，说法正确，故C不符合题意．
D．如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同，说法正确，故D不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查全等图形的判定以及性质、全等三角形的性质，熟练掌握全等图形的判定以及性质、全等三角形的性质是解决本题的关键．
9．D
【分析】本题考查判断命题的真假，根据点到直线的距离，平行线的性质，垂直的概念，平行公理，逐一进行判断即可，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
【详解】（）点到直线的距离是指这点到直线的垂线段的长度，故（）是假命题；
（）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；故（）是假命题；
（）同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故（）是假命题；
（）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故（）是假命题；
综上假命题有个，
故选：．
10．C
【分析】根据三角形外角等于不相邻的两个内角和求解．
【详解】解：由题意可得：
故选：C．
【点睛】本题考查三角形外角的性质，掌握三角形外角等于不相邻的两个内角和正确计算是解题关键．
11．3或6/6或3
【分析】分两种情况：①时，点P从C到A运动，则，求得，②时，点P从A到C运动，则，求得．
【详解】解：①时，点P从C到A运动，则，
当时，
则，
即，解得：，
②时，点P从A到C运动，则，
当时，
则，
即，
解得：，
综上所述：当秒或6秒时，．
故答案为：3或6．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是正确进行分类讨论，不要漏解．
12．
【分析】此题主要考查了角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，点到直线的距离，垂线段最短，三角形的面积公式，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键．
在上取一点，使得，连接，根据全等三角形的判定和性质，则，得到，当点，，在同一条直线上且时，有最小值，即最小，最后用面积法，进行解答，即可．
【详解】解：在上取一点，使得，连接，
∵平分，
∴，
∵是公共边，
∴，
∴，
∴，
当点，，在同一条直线上且时，有最小值，即最小，其值为，
∵，
∴，
∴最小值为．
故答案为：．
13．①③④
【分析】由角平分线的性质，平行的性质，三角形的性质等对结论进行判定即可．
【详解】解：在中，和的平分线相交于点，
，，，
，
；故②错误；
在中，和的平分线相交于点，
，，
，
，，
，，
，，
，
故①正确；
过点作于，作于，连接，
在中，和的平分线相交于点，
，
；故④正确；
在中，和的平分线相交于点，
点到各边的距离相等，故③正确．
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了三角形内的有关角平分线的综合问题，一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线，角的平分线上的点到角的两边的距离相等.也就是说，一个点只要在角的平分线上，那么这个点到该角的两边的距离相等．
14．1．
【分析】由平行四边形ABCD中，∠ADC，∠BCD的平分线分别交AB于点F、E，易证得△ADF与△CBE是等腰三角形，又由AB=5，BC=3，即可求得答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，CD=AB=5，AD=BC=3，
∴∠AFD=∠CDF，∠DCE=∠BEC，
∵∠ADC，∠BCD的平分线分别交AB于点F、E，
∴∠ADF=∠CDF，∠BCE=∠DCE，
∴∠AFD=∠ADF，∠BCE=∠BEC，
∴AF=AD=3，BC=BE=3，
∴EF=AF+BE-AB=3+3-5=1．
故答案为1．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质．注意证得△ADF与△CBE是等腰三角形是关键．
15．
【分析】利用三角形全等得到，再根据对顶角相等，即可求解．
【详解】解：∵
∴
又∵
∴
故答案为：
【点睛】此题考查了全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的有关性质．
16．(1)14
(2)β＝180°﹣3α，96°
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EC，根据三角形的周长公式计算，得到答案；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠ECA＝∠A＝α，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可．
【详解】（1）∵DE垂直平分AC，
∴EA＝EC，
∴△BCE的周长＝BC+BE+EC＝BC+BE+EA＝BC+AB＝14；
（2）∵EA＝EC，
∴∠ECA＝∠A＝α，
∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE＝∠ECA＝α，
∴β＝180°﹣3α，
当α＝28°时，β＝180°﹣3×28°＝96°．
【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
17．(1)点A的坐标为(3，0) ，点B的坐标为(0，4) ，点的坐标为
(2)
【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B，再利用勾股定理可求得AB，根据折叠的性质可得AC=AB，即可得OC的长度，进而可得C点的坐标．
（2）根据翻折的性质，可得∠B=∠C，∠BDA=∠ADC，进而可得∠AOD=∠AED，可证得△AOD≌△AED，故所求△ADE的面积即为求△AOD的面积，即可得解．
【详解】（1）解：由题意，直线与轴、轴分别交于点，，
令，得，
点的坐标为，
令，得，
点的坐标为，
，，
，
将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处，
即，
，
点的坐标为．
（2）解：由翻折的性质可得，，，
，
，
，
，
≌，
点，
，
．
【点睛】本题考查一次函数的图象与性质、勾股定理，翻折的性质以及全等三角形的判定与性质．
18．（1）；（2）
【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠ABC＝2∠CBO，∠ACE＝2∠ECO，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACE＝∠A＋∠ABC，∠ECO＝∠BOC＋∠CBO，然后整理即可得到∠A＝2∠BOC，再求解即可；
（2）与（1）的求解方法相同．
【详解】解：（1）∵O是△ABC的内角∠ABC和外角∠ACE的平分线的交点，
∴∠ABC＝2∠CBO，∠ACE＝2∠ECO，
由三角形的外角性质得，∠ACE＝∠A＋∠ABC，∠ECO＝∠BOC＋∠CBO，
∴∠A＋∠ABC＝2（∠BOC＋∠CBO），
∴然后整理即可得到∠A＝2∠BOC，
∵∠A＝48°，
∴∠BOC＝24°；
（2））∵O是△ABC的内角∠ABC和外角∠ACE的平分线的交点，
∴∠ABC＝2∠CBO，∠ACE＝2∠ECO，
由三角形的外角性质得，∠ACE＝∠A＋∠ABC，∠ECO＝∠BOC＋∠CBO，
∴∠A＋∠ABC＝2（∠BOC＋∠CBO），
∴然后整理即可得到∠A＝2∠BOC，
∵∠A＝n°，
∴∠BOC＝．
【点睛】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图是解题的关键．
19．且，理由见详解
【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，垂直的定义和余角等相关知识，熟知相关知识是解题的关键．
根据全等三角形的性质得到对应角相等，根据垂直的定义得出互余的角，最后根据角即可得出结果．
【详解】解：且，理由如下：
，
，
设与交于点，
，
，
，，
，
，
即．
20．(1)36°；
(2)．
【分析】（1）利用对称的性质证明BD⊥AC，所以∠DBC与∠ACB互余，即可求出∠DBC；
（2）利用等弧所对的圆周角等于圆心角的一半和三角形内角和为180°，求出∠BDF、∠OBM的度数并证明其相等，再根据证明△BOM≌△DNM(ASA)，从而得到OM=NM，即可求出．
【详解】（1）∵点B、点D关于AC对称，
∴BD⊥AC，
∴∠DBC+∠ACB=90°，
∵∠ACB=54°，
∴∠DBC=90°-54°=36°，
故∠DBC的度数为36°．
（2）连接OF，
∵点F是的中点，
∴∠BOF=∠COF=2∠BDF，
∵OC=OB，
∴∠OBC=∠OCB=54°，
∴∠OBM=∠OBC-∠DBC=54°-36°=18°，∠BOC=180°-2×54°=72°，
∴∠BOF=∠BOC==36°，
∴∠BDF===18°，
∴∠BDF=∠OBM，
∵点B、点D关于AC对称，
∴DM=BM，
∴在△BOM和△DNM中，
∴△BOM≌△DNM，
∴NM=OM，
∴．
【点睛】本题考查了轴对称、圆和全等三角形，熟练利用对称点连线与对称轴垂直，圆心角与圆周角的关系以及全等三角形的判定能有效帮助解此题．
