第十五章 轴对称 综合评价卷
时间:120分钟 满分:120分
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一、选择题:本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知点P(-2,1),那么点P关于x轴对称的点P′的坐标是()
A.(-2,1) B.(-1,2) C.(2,1) D.(-2,-1)
2.未来计算机发展方向是让计算机能看、能听、能说、会思考!下列表示计算机视觉交互应用的图标中,文字上方的图案是轴对称图形的是()
A.眼控 B.声控 C.人脸识别 D.多点触控
3.等腰三角形的底角等于50°,则这个等腰三角形顶角的度数是()
A.50° B.65° C.80° D.100°
4.如图所示,△ABC与△A′B′C′关于直线l对称,∠A=45°,∠B′=110°,则∠C度数为()
A.15° B.20° C.25° D.35°
5.A,B是两个居民小区,快递公司准备在公路l上选取点P处建一个服务中心,使PA+PB最短.下面四种选址方案符合要求的是()
6.从平面镜里看到背后墙上电子钟的示数如图所示,这时的正确时间是()
A.21:05 B.21:15 C.20:15 D.20:12
7.如图所示,在等边三角形ABC中,AD⊥BC,E为AD上一点,∠CED=50°,则∠ABE等于()
A.10° B.15° C.20° D.25°
8.如图所示,沿AC方向开山修路,为了加快施工进度,要在小山的另一边同时施工,从AC上的一点B,取∠ABD=150°,BD=500 m,∠D=60°.要使A,C,E成一直线,那么开挖点E离点D的距离是()
A.200 m B.250 m C.300 m D.350 m
9.如图所示,在△ABC中,AB=AC=15,AB的垂直平分线DE交AC于D,连接BD,若△DBC的周长为27,则BC的长为()
A.10 B.11 C.12 D.13
10.如图所示,在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交AB于N,交AC于M,P是直线MN上一动点,点H为BC的中点.若BC=5,△ABC的面积是30,则PB+PH的最小值为()
A.5 B.6 C.12 D.24
二、填空题:本大题共5小题,每小题3分,共15分.
11.点P(-2,3)关于y轴对称点的坐标在第 象限.
12.如图所示,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的高,∠BAC=66°,则
∠BAD= .
13.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,CD是高.若AD=4,则BD= .
14.如图所示,一条船从灯塔C的南偏东42°的A处出发,向正北航行8海里到达B处,此时灯塔C在船的北偏西84°方向,则船距离灯塔C
海里.
15.如图所示,∠BOC=60°,A是BO的延长线上一点,OA=12 cm,动点P从点A出发,沿AB以2 cm/s的速度移动,动点Q从点O出发沿OC以1 cm/s的速度移动,若点P,Q同时出发,当△OPQ是等腰三角形时,移动的时间是 .
三、解答题(一):本大题共3小题,每小题7分,共21分.
16.如图所示,在△ABC中,∠A=36°,D在边AC上,AD=BD=BC,求∠DBC的度数.
17.用一条长为21 cm的铁丝围成一个等腰三角形,已知腰长是底边长的3倍,求这个等腰三角形各边的长.
18.如图所示,CD平分∠ACE,且AB∥CD,求证:△ABC为等腰三角形.
四、解答题(二):本大题共3小题,每小题9分,共27分.
19.如图所示,已知△ABC.
(1)利用尺规作图,作出AB的垂直平分线DE,使其与AC交于点D,与AB交于点E,连接BD(不写作法,保留作图痕迹);
(2)若AC=12,BC=8,求△BCD的周长.
20.如图所示,点D在等边三角形ABC的外部,连接AD,CD,AD=CD.过点D作DE∥BC交AB于点E,交AC于点F.
(1)判断△AEF的形状,并说明理由;
(2)若∠ADC=140°,求∠ADE的度数.
21.综合与实践.
主题:长方形的折叠.
素材:一张长方形纸片.
步骤一:如图所示,将长方形纸片ABCD沿着AE所在的直线折叠,使得点B落在长方形ABCD的内部;
步骤二:在CD边上取点F,将四边形AECD沿着EF折叠,使得点E,B,C在同一直线上,再将纸片恢复原形,留下折痕AE和EF.
证明与计算:
(1)猜想∠AEB与∠FEC的数量关系,并证明;
(2)若∠AEB=65°,求∠FEC和∠EFD的度数.
五、解答题(三):本大题共2小题,第22题13分,第23题 14分,共27分.
22.如图所示,在等边三角形ABC中,D为边AC上一点,延长BD至F使得AF=AC,过A作AH⊥BF于点H,AH与FC的延长线交于点G.
(1)若∠CAF为α,直接写出∠AFC的度数(用含α的代数式表示);
(2)求∠GFH的度数;
(3)已知C为GF的中点,且CD=1.5,求AD的长.
23.在平面直角坐标系中,直线AB分别交x轴、y轴于A(a,0),B(0,b)两点,且a,b满足(a-b)2+|a-4t|=0,且t>0,t是常数.直线BD平分
∠OBA,交x轴于点D.
(1)如图(1)所示,若AB的中点为M,连接OM交BD于N,求证:ON=OD;
(2)如图(2)所示,过点A作AE⊥BD,垂足为E,猜想AE与BD间的数量关系,并证明你的猜想;
(3)如图(3)所示,在x轴上有一个动点P(在A点的右侧),连接PB,并作等腰直角三角形BPF,其中∠BPF=90°,连接FA并延长交y轴于G点,当P点在运动时,OG的长是否发生改变 若改变,请求出它的变化范围;若不变,求出它的长度.
第十五章 综合评价卷
1.D 2.A 3.C 4.C 5.A 6.A 7.C 8.B 9.C 10.C
11.一 12.33° 13.12 14.8 15.4 s或12 s
16.解:∠DBC的度数为36°.
17.解:三角形的三边长分别为3 cm,9 cm,9 cm.
18.证明:∵AB∥CD,
∴∠A=∠ACD,∠B=∠DCE.
∵CD平分∠ACE,
∴∠ACD=∠DCE.
∴∠B=∠A.∴AC=BC.∴△ABC为等腰三角形.
19.解:(1)如图所示.
(2)△BCD的周长为20.
20.解:(1)△AEF是等边三角形.
理由如下:∵△ABC是等边三角形,
∴∠BAC=∠ACB=60°.
∵DE∥CB,∴∠AFE=∠ACB=60°.
∴∠EAF=∠AFE=∠AEF=60°.∴△AEF是等边三角形.
(2)∠ADE的度数为40°.
21.解:(1)∠AEB+∠FEC=90°.证明如下:
由折叠可知∠AEF=∠AEB+∠FEC,
又B,E,C共线,∴∠AEB+∠AEF+∠FEC=180°.
∴∠AEF=90°.∴∠AEB+∠FEC=90°.
(2)∠FEC的度数为25°,∠EFD的度数为115°.
22.解:(1)∠AFC=90°-α.
(2)由条件可知∠BAC=60°,AB=BC=AC=AF,
∴∠AFB=∠ABF=(180°-∠BAF)=(180°-∠BAC-∠CAF)=90°-
∠BAC-∠CAF=60°-∠CAF.
∵∠AFC=∠ACF=(180°-∠CAF)=90°-∠CAF,
∴∠GFH=∠AFC-∠AFB=90°-∠CAF-(60°-∠CAF)=30°.
(3)如图所示,连接BG,CH,过点C作CM⊥BF于点M,
由条件可知GH=FG,
∠FGH=60°,
∵C为GF的中点,
∴GH=CF=CG=GF.
∵∠FGH=60°,∴△CGH为等边三角形.
∴CH=CG,∠GCH=∠ACB=60°.
∴∠GCH-∠BCH=∠ACB-∠BCH,
即∠GCB=∠HCA.
∵△ABC是等边三角形,∴AC=BC.
在△GCB和△HCA中,
∴△GCB≌△HCA(SAS).∴AH=BG.
设GH=CG=CH=CF=a,则FG=2a,
∵AB=AF,AH⊥BF,∴AG垂直平分BF.
∴BG=GF=2a.∴AH=BG=2a.
由条件可知CM=CF=a,
∵S△ADH=AH·DH,S△CDH=CM·DH,
∴====4,
∵CD=1.5,∴AD=6.
23.(1)证明:∵直线AB分别交x轴、y轴于A(a,0),B(0,b)两点,且a,b满足(a-b)2+|a-4t|=0,且t>0,
∴a=b=4t.∴点A,B的坐标是A(4t,0),B(0,4t).
∴△AOB是等腰直角三角形.
∵M是AB的中点,∴OM⊥AB.∴∠MOA=45°.
∵直线BD平分∠OBA,∴∠ABD=∠ABO=22.5°.
∴∠OND=∠BNM=90°-∠ABD=90°-22.5°=67.5°,
∠ODB=∠ABD+∠BAD=22.5°+45°=67.5°.
∴∠OND=∠ODB.∴ON=OD(等角对等边).
(2)解:BD=2AE.
证明如下:如图①所示,延长AE交BO于点C,
∵BD平分∠OBA,∴∠ABD=∠CBD.
∵AE⊥BD于点E,
∴∠AEB=∠CEB=90°.
在△ABE和△CBE中,
∴△ABE≌△CBE(ASA).∴AE=CE.∴AC=2AE.
∵AE⊥BD,∴∠OAC+∠ADE=90°.
又∠OBD+∠BDO=90°,∠ADE=∠BDO(对顶角相等),
∴∠OAC=∠OBD.
在△OAC与△OBD中,
∴△OAC≌△OBD(ASA).∴BD=AC.∴BD=2AE.
(3)解:OG的长不变,且OG=4t.
如图②所示,过F作FH⊥OP,垂足为H,
∴∠FPH+∠PFH=90°.
∵∠BPF=90°,
∴∠BPO+∠FPH=90°.
∴∠PFH=∠BPO.
∵△BPF是等腰直角三角形,
∴BP=FP.
在△OBP与△HPF中,
∴△OBP≌△HPF(AAS).
∴FH=OP,PH=OB=4t.
∵AH=PH+AP=OB+AP,OA=OB,
∴AH=OA+AP=OP.∴FH=AH.
∴∠GAO=∠FAH=45°.
∴△AOG是等腰直角三角形.
∴OG=OA=4t.
