浙江省杭州市杭州滨文中学2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·杭州期末）以下四个车标的图案，中心对称图形是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024八下·杭州期末）一元二次方程x2﹣6x﹣5=0配方可变形为（ ）
A．（x﹣3）2=14 B．（x﹣3）2=4
C．（x+3）2=14 D．（x+3）2=4
3．（2024八下·杭州期末）菱形具有而矩形不一定有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．四条边都相等
C．对角相等 D．对边平行
4．（2024八下·杭州期末）点点同学对数据26，36，26，46，5■，52进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被墨水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．方差 D．标准差
5．（2024八下·杭州期末）用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，可先假设（ ）
A．四边形的四个角都是直角
B．四边形的四个角都是锐角
C．四边形的四个角都是钝角
D．四边形的四个角都是钝角或直角
6．（2024八下·杭州期末）关于x的一元二次方程2x2﹣bx+b﹣3＝0的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
7．（2024八下·杭州期末）已知A（n，y1），B（n+1，y2），C（n+2，y3）是反比例函数y图象上的三点．若y3＞y1＞y2，则n的取值范围为（ ）
A．n＜﹣2 B．﹣2＜n＜﹣1 C．﹣1＜n＜0 D．n＞0
8．（2024八下·杭州期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，第四个顶点D在反比例函数的图像上，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024八下·杭州期末）如图，四边形是平行四边形，点为的中点，延长至点，使，连接、、，则在中（ ）
A． B． C． D．
10．（2024八下·杭州期末）对于代数式（，a，b，c为常数），下列说法正确的是（ ）
①若，则有两个相等的实数根；
②存在三个实数，使得；
③若与方程的解相同，则．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
11．（2024八下·杭州期末）若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
12．（2024八下·杭州期末）已知一个多边形的内角和，则这个多边形是 边形．
13．（2024八下·杭州期末）某博物馆拟招聘一名优秀志愿讲解员，其中某位志愿者笔试、试讲、面试三轮测试得分分别为90分、94分、92分，综合成绩中笔试占30%，试讲占50%，面试占20%，则该名志愿者的综合成绩为是 分.
14．（2024八下·杭州期末）已知反比例函数，求当，且时自变量x的取值范围 ．
15．（2024八下·杭州期末）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，若，则的值为 ．
16．（2024八下·杭州期末）如图，正方形中，，点在边上，且．将沿对折至，延长交边于点，连接、．有以下结论：①；②；③；④；⑤图中与相等的角有个．其中，正确结论的序号是 （把正确结论的序号都填上）．
17．（2024八下·杭州期末）计算：
（1）
（2）
18．（2024八下·杭州期末）解方程：
（1）
（2）
19．（2024八下·杭州期末）我市某中学八年级举行“中国梦·校园好声音”歌手大赛，其中八年级（1）、八年级（2）班派出的名选手的比赛成绩如图所示：
（1）根据图，完成表格：
中位数（分） 众数（分） 平均数（分）
班
班
（2）请问，哪个班参加比赛选手的成绩比较整齐？为什么？
20．（2024八下·杭州期末）已知有关于x的一元二次方程．
（1）求k的取值范围，并判断该一元二次方程根的情况；
（2）若方程有一个根为，求k的值及方程的另一个根；
（3）若方程的一个根是另一个根3倍，求k的值．
21．（2024八下·杭州期末）如图，菱形的对角线和交于点，点在线段上（不与点，点重合），点在线段上，且，连接，，，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，当时，判断的形状，说明理由．
22．（2024八下·杭州期末）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，连接，，延长交反比例函数图象于点C．
（1）求一次函数的表达式与反比例函数的表达式；
（2）当时，直接写出自变量x的取值范围为______；
（3）点P是x轴上一点，当时，请求出点P的坐标．
23．（2024八下·杭州期末）根据以下素材，完成探索任务：
如何故剪出符合要求的矩形纸片？
素材1 如图1，是腰长为的等腰直角三角形卡纸，甲，乙、丙三名同学分别用这样的卡纸试图裁剪出不一样的矩形纸片，并使长方形的四个顶点都在的边上．
素材2 甲同学按图2的方式裁剪，想裁出面积为的矩形纸片，乙同学按图3的方式裁剪，想裁出两边长之比为的矩形纸片，丙同学想裁出面积最大的矩形纸片．
任务1 计算矩形纸片的边长 请帮甲同学计算此矩形纸片的两边长
任务2 计算矩形纸片的面积 请求出符合乙同学裁剪方案的矩形纸片的面积
任务3 计算矩形纸片的最大面积 请帮丙同学计算出面积最大的矩形纸片的面积
24．（2024八下·杭州期末）问题情境：数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动（每个小组的矩形纸片规格相同），已知矩形纸片宽．
动手实践：
（1）如图1，A小组将矩形纸片折叠，点D落在边上的点E处，折痕为，连接，然后将纸片展平，得到四边形． 试判断四边形的形状，并加以证明．
（2）如图2，B小组将矩形纸片对折使与重合，展平后得到折痕，再次过点A折叠使点D落在折痕上的点N处，得到折痕，连结，展平后得到四边形，请求出四边形的面积．
深度探究：
（3）如图 3，C小组将图1中的四边形剪去，然后在边上取点G，H，将四边形沿折叠，使A点的对应点始终落在边上（点不与点D，F重合），点E落在点处，与交于点T．
探究①当在上运动时，的周长是否会变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值．
探究②直接写出四边形面积的最小值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：选项A，B，C均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故答案为：D．
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，对四个图形逐一判断即可．
2．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x2﹣6x﹣5=0，
x2﹣6x=5，
x2﹣6x+9=5+9，
（x﹣3）2=14，
故选：A．
【分析】先把方程的常数项移到右边，然后方程两边都加上32，这样方程左边就为完全平方式．
3．【答案】B
【知识点】菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：A.因为矩形和菱形都是平行四边形，对角线都互相平分，故答案为：不符合题意；
B.因为菱形的四条边相等，而矩形的四条边不一定相等，故答案为：符合题意；
C.因为矩形和菱形都是平行四边形，对角都相等，故答案为：不符合题意；
D.因为矩形和菱形的对边都相等且平行，故答案为：不符合题意.
故答案为：B.
【分析】菱形的性质：具有平行四边形的性质；菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有两条对称轴；
矩形的性质：矩形具有平行四边形的所有性质；矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等.
4．【答案】B
【知识点】中位数；方差；众数；标准差
【解析】【解答】解：这组数据的平均数、方差和标准差都与被涂污数字有关，而这组数据的中位数为36与46的平均数，与被涂污数字无关．
故选：B．
【分析】
由平均数的计算公式可得这个被墨水覆盖的数字肯定对结果产生影响，则方差、标准差必然受到影响，而中位数的求法是先对数据进行排序，再取最中间两个数据的平均值，则无论这个数字是五十几，最中间的两个数字都不受影响，故中位数的结果不受其影响．
5．【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，
可先假设四边形的四个角都是锐角.
故答案为：B.
【分析】找出：至少有一个角是钝角或直角的反面即可.
6．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：关于x的一元二次方程2x2﹣bx+b﹣3＝0，
∵Δ＝（﹣b）2﹣8（b﹣3）
＝b2﹣8b+24
＝（b2﹣8b+16）+8
＝（b﹣4）2+8＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故答案为：A．
【分析】一元二次方程根的情况与判别式△的关系，（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；（2）△=0 方程有两个相等的实数根；（3）△＜0 方程没有实数根，正确表示出一元二次方程的判别式，利用配方法判断正负即可解答.
7．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数y中，k＝20＞0，
∴反比例函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵A（n，y1），B（n+1，y2），C（n+2，y3）是反比例函数y图象上的三点，且y3＞y1＞y2，
∴A（n，y1），B（n+1，y2）在第三象限，C（n+2，y3）在第一象限，
∴，
∴﹣2＜n＜﹣1，
故答案为：B．
【分析】
根据反比例函数的图象及性质结合A、B、C三点的横坐标，判断出A（n，y1），B（n+1，y2）在第三象限，C（n+2，y3）在第一象限，进而列出不等式组即可解答.
8．【答案】A
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC=AD，BC∥AD，
∵A（1，0），B（4，2），C（2，3），
∴ ，
∴
∴
即点D坐标为（-1，1），
∵点D在反比例函数的图象上，
∴k=-1×1=-1，
故答案为：A．
【分析】根据平行四边形的性质及坐标平移规律即可确定出D坐标，代入反比例解析式求出k的值．
9．【答案】B
【知识点】三角形的面积；平行四边形的面积
【解析】【解答】连接BF．
设平行四边形AFEO的面积为4m．
∵FO：OC＝3：1，BE＝OB，AF∥OE
∴S△OBF＝S△AOB＝m，S△OBC＝m，S△AOC＝m，
∴S△AOB：S△AOC：S△BOC＝m：m：m＝3：2：1
故答案为：B．
【分析】连接BF．设平行四边形AFEO的面积为4m，根据平行四边形的性质及三角形面积公式，利用同高三角形面积比等于底的比，表示出S△AOB、S△AOC、S△OBC，即可解答.
10．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：①，
方程有两个相等的实数根．
①正确；
②一元二次方程（为常数）最多有两个解，
②错误；
③方程的解为，
将代入得，即：，
将代入得，即：，
∴，则，
即：
③正确．
故答案为：B．
【分析】根据一元二次方程根的判别式，即可判断①；根据一元二次方程(为常数)最多有两个解，即可判断②；解方程求出，再分别代入中，消去c，即可判断③．
11．【答案】x≠﹣1
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵式子 在实数范围内有意义，
∴x+1≠0，解得：x≠﹣1．
故答案为：x≠﹣1．
【分析】此代数式是分式，要使分式有意义，则分母不等于0，列出不等式，即可得x的取值范围。
12．【答案】10
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形的边长个数为n，
∴，
解得，
故答案为：10．
【分析】设这个多边形的边长个数为n，根据多边形内角和公式“n边形的内角和为(n-2)×180°”列方程求解即可．
13．【答案】92.4
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：该名志愿者的综合成绩为90×30%+94×50%+92×20%=92.4（分），
故答案为：92.4.
【分析】利用加权平均数公式进行计算，可求出该名志愿者的综合成绩.
14．【答案】或
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数中k=-12＜0，
∴图象的两支分别位于第二、四象限，且在每一个象限内y随x的增大而减小，
当时，，
解得x=-8，
∴当时，x≤-8或x＞0.
故答案为：x≤-8或x＞0.
【分析】由于此反比例函数的比例系数k=-12＜0，图象的两支分别位于第二、四象限，且在每一个象限内y随x的增大而减小，故求出当时对应的自变量的取值，根据函数的增减性即可得出答案.
15．【答案】
【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：，是关于的一元二次方程的两个实数根，
，．
，
，
，
，
．
故答案为：．
【分析】利用根与系数的关系 （，） ，用含的式子表示两根之和与两根之积，再结合已知条件整理出求出关于的一元二次方程，即可解方程求解.
16．【答案】①②④
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
又∵，
∴，
∴①正确；
∵，
∴，
∵，，
设，
则，
中，，
解得，
则，
∴，
∴②正确；
由②可知，在中，，
则，
由图可知：与是同高，
所以它们的面积比会等于底边之比，即，
∴，
∴③错误；
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，，
∴，
；
∴④正确；
与相等的角有，
由可得，
∴⑤错误；
正确结论是①②④，
故答案为：①②④．
【分析】
根据折叠的性质及正方形的性质，易证，由角的和差关系即可判断①；
根据翻折变换的性质和正方形的性质可证；根据角的和差关系求得；在Rt中，根据勾股定理即可判断②；与是同高三角形，即可判断③；通过证明，由平行线的判定可判断④⑤.
17．【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】
（1）利用平方差公式计算即可；
（2）二次根式的混合运算，先计算乘法，再合并，即可求解．
（1）解：
（2）解：
18．【答案】（1）解：，∴，
∴，
∴，
解得或．
（2）解：∵，∴，
∴，
∴，
∴或，
解得：或．
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】
（1）用配方法解一元二次方程即可；
（2）用因式分解法解一元二次方程即可．
（1）解：，
∴，
∴，
∴，
解得或．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
解得：或．
19．【答案】（1）
中位数（分） 众数（分） 平均数（分）
班
班
（2）解：八（1）班参加比赛选手的成绩比较整齐；理由如下：八（1）的成绩的方差为；
八（2）的成绩的方差；
∵两个班的平均分相同，均为，八（1）班的方差小，，
∴八（1）班选手的成绩总体上较整齐．
【知识点】分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】（1）解：∵八（1）的成绩分别是，把这组数据从小到大排列为，
∴这组数据的中位数是分，众数是分，平均数分；
∵八（2）的成绩分别是，把这组数据从小到大排列为，
∴这组数据的众数是90分，
填表如下：
中位数（分） 众数（分） 平均数（分）
班
班
【分析】
（1）根据条形统计图读出对应的数据，再根据中位数、众数的定义及平均数计算公式求解即可；
（2）根据方差的公式计算出两个班的方差，结合平均数和方差，进行比较判断即可解答．
（1）解：∵八（1）的成绩分别是，把这组数据从小到大排列为，
∴这组数据的中位数是分，众数是分，平均数分；
∵八（2）的成绩分别是，把这组数据从小到大排列为，
∴这组数据的众数是90分，
填表如下：
中位数（分） 众数（分） 平均数（分）
班
班
（2）解：八（1）班参加比赛选手的成绩比较整齐；
理由如下：八（1）的成绩的方差为；
八（2）的成绩的方差；
∵两个班的平均分相同，均为，八（1）班的方差小，，
∴八（1）班选手的成绩总体上较整齐．
20．【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程，∴，
∴；
而
，
∴原方程方程有两个实数根．
（2）∵方程有一个根为，∴，
解得：，
∴方程为：，
∴，
∴，
解得：，，
∴方程的另一个解为1．
（3）∵，∴，
∴，，
解得：，，
∵方程的一个根是另一个根3倍，
当时，解得：，经检验符合题意；
当时，解得：，经检验符合题意；
综上：或．
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；根据一元二次根的根的情况求参数
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的定义可得的取值范围，再计算一元二次方程的判别式即可判断方程根的情况；
（2）把代入原方程求解k，再回代到原方程中，即可解出另一个解；
（3）先解出含参数的一元二次方程的两个根，再分两种情况讨论即可．
（1）解：∵关于x的一元二次方程，
∴，
∴；
而
，
∴原方程方程有两个实数根．
（2）∵方程有一个根为，
∴，
解得：，
∴方程为：，
∴，
∴，
解得：，，
∴方程的另一个解为1．
（3）∵，
∴，
∴，，
解得：，，
∵方程的一个根是另一个根3倍，
当时，解得：，经检验符合题意；
当时，解得：，经检验符合题意；
综上：或．
21．【答案】（1）证明：四边形是菱形，
，，，
，，
，
即，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
（2）解：是直角三角形，
理由是：，，，，
，，
，
，，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，
即是直角三角形．
【知识点】勾股定理；菱形的判定
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质得出，，，求出，由对角线互相平分证明该四边形是平行四边形，再根据对角线互相垂直证明出菱形；
（2）根据菱形的性质及线段的和差关系求出，和，再根据勾股定理求出，，再根据勾股定理的逆定理即可判断．
（1）证明：四边形是菱形，
，，，
，，
，
即，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
（2）解：是直角三角形，
理由是：，，，，
，，
，
，，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，
即是直角三角形．
22．【答案】（1）解：将，代入得 ，解得，
∴一次函数为，
将代入得，
解得，
∴反比例函数的解析式为；
（2）或
（3）解：如图，由题意可知，，∴，
把代入得，， 解得，
∴，
，
，
∴，
∴，即，
∴，
∴或，
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】（2）解：由图象可知，当时， 自变量x的取值范围为或，
故答案为：或；
【分析】
（1）利用待定系数法，将， 代入函数解析式即可解答；
（2）根据图象求解即可；
（3）先求得，再根据三角形面积和差关系得，求得，根据反比例函数的图象是中心对称图形，得出，可得，从而求得，即可求解．
（1）解：将，代入得 ，
解得，
∴一次函数为，
将代入得，
解得，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：由图象可知，当时， 自变量x的取值范围为或，
故答案为：或；
（3）解：如图，由题意可知，，
∴，
把代入得，， 解得，
∴，
，
，
∴，
∴，即，
∴，
∴或，
23．【答案】解：任务1：∵是等腰直角三角形，∴，
∵四边形为矩形，
∴，，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
设，则，
∴，
解得：，，
当时，，
当时，，
即甲同学所裁出的矩形纸片的两边长为和；
任务2：当时，设，则，
∵为等腰直角三角形，
∴，
，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴和为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
解得：，
即，，
即此时矩形面积为；
当时，设，则，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴和为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
解得：，
即，，
即此时矩形面积为；
综上分析可知，符合乙同学裁剪方案的矩形纸片的面积为或．
任务3：当按照图1方式裁剪时，设矩形的面积为，，则，根据题意得：
，
∴当时，最大，最大值为
即此时矩形的最大面积为；
当按照图2方式裁剪时，设矩形的面积为，，则，
∴，
根据题意得：，
∴当时，S最大，且最大值为，
即此时矩形的最大面积为；
综上分析可知，矩形纸片的最大面积为．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】任务1：证明为等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出，设，则，根据矩形面积列出关于x的方程：，即可解答；
任务2：根据矩形两边长之比为，可分两种情况讨论：当时，当时，先分别求出矩形的边长，再求出矩形的面积即可；
任务3：分两种情况：按照图1方式裁剪时，按照图2方式裁剪时，分别构造出矩形面积的二次函数，根据二次函数的性质，求出矩形的最大面积，然后比较即可．
24．【答案】解：（1）四边形是正方形，理由如下：
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
由第一步折叠可知：，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
又∵，
∴四边形是正方形；
（2）连接，
由折叠得，
∴
∴
∴是等边三角形，
∴
∴
设则，
由勾股定理得，
∴
解得，（负值舍去）
∴
由折叠得，，
∴；
（3）①的周长不变，为定值12．理由如下：
如图，连接，，过点A作于点M，
由折叠可知，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵的周长，
∴的周长为12．
②过点H作，连接，设，，
在中，，
解得，
由折叠可知，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，四边形是正方形，
∴，
∴，
∴当时，S有最小值为．
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的判定；矩形的性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质和折叠的性质得到，即可得到是菱形，然后利用得到结论即可；
（2）连接，根据折叠可得是等边三角形，即可得到，设根据勾股定理求出DM长，再根据解题即可；
（3）①连接，，过点B作于点M，即可得到，根据全等三角形的对应边相等得到，，然后推理得到，即可得到，求出周长即可；
②过点H作，连接，设，，根据勾股定理得到，然后证明，即可得到求出，得到最值即可．
浙江省杭州市杭州滨文中学2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·杭州期末）以下四个车标的图案，中心对称图形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：选项A，B，C均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故答案为：D．
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，对四个图形逐一判断即可．
2．（2024八下·杭州期末）一元二次方程x2﹣6x﹣5=0配方可变形为（ ）
A．（x﹣3）2=14 B．（x﹣3）2=4
C．（x+3）2=14 D．（x+3）2=4
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x2﹣6x﹣5=0，
x2﹣6x=5，
x2﹣6x+9=5+9，
（x﹣3）2=14，
故选：A．
【分析】先把方程的常数项移到右边，然后方程两边都加上32，这样方程左边就为完全平方式．
3．（2024八下·杭州期末）菱形具有而矩形不一定有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．四条边都相等
C．对角相等 D．对边平行
【答案】B
【知识点】菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：A.因为矩形和菱形都是平行四边形，对角线都互相平分，故答案为：不符合题意；
B.因为菱形的四条边相等，而矩形的四条边不一定相等，故答案为：符合题意；
C.因为矩形和菱形都是平行四边形，对角都相等，故答案为：不符合题意；
D.因为矩形和菱形的对边都相等且平行，故答案为：不符合题意.
故答案为：B.
【分析】菱形的性质：具有平行四边形的性质；菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有两条对称轴；
矩形的性质：矩形具有平行四边形的所有性质；矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等.
4．（2024八下·杭州期末）点点同学对数据26，36，26，46，5■，52进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被墨水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．方差 D．标准差
【答案】B
【知识点】中位数；方差；众数；标准差
【解析】【解答】解：这组数据的平均数、方差和标准差都与被涂污数字有关，而这组数据的中位数为36与46的平均数，与被涂污数字无关．
故选：B．
【分析】
由平均数的计算公式可得这个被墨水覆盖的数字肯定对结果产生影响，则方差、标准差必然受到影响，而中位数的求法是先对数据进行排序，再取最中间两个数据的平均值，则无论这个数字是五十几，最中间的两个数字都不受影响，故中位数的结果不受其影响．
5．（2024八下·杭州期末）用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，可先假设（ ）
A．四边形的四个角都是直角
B．四边形的四个角都是锐角
C．四边形的四个角都是钝角
D．四边形的四个角都是钝角或直角
【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，
可先假设四边形的四个角都是锐角.
故答案为：B.
【分析】找出：至少有一个角是钝角或直角的反面即可.
6．（2024八下·杭州期末）关于x的一元二次方程2x2﹣bx+b﹣3＝0的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：关于x的一元二次方程2x2﹣bx+b﹣3＝0，
∵Δ＝（﹣b）2﹣8（b﹣3）
＝b2﹣8b+24
＝（b2﹣8b+16）+8
＝（b﹣4）2+8＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故答案为：A．
【分析】一元二次方程根的情况与判别式△的关系，（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；（2）△=0 方程有两个相等的实数根；（3）△＜0 方程没有实数根，正确表示出一元二次方程的判别式，利用配方法判断正负即可解答.
7．（2024八下·杭州期末）已知A（n，y1），B（n+1，y2），C（n+2，y3）是反比例函数y图象上的三点．若y3＞y1＞y2，则n的取值范围为（ ）
A．n＜﹣2 B．﹣2＜n＜﹣1 C．﹣1＜n＜0 D．n＞0
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数y中，k＝20＞0，
∴反比例函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵A（n，y1），B（n+1，y2），C（n+2，y3）是反比例函数y图象上的三点，且y3＞y1＞y2，
∴A（n，y1），B（n+1，y2）在第三象限，C（n+2，y3）在第一象限，
∴，
∴﹣2＜n＜﹣1，
故答案为：B．
【分析】
根据反比例函数的图象及性质结合A、B、C三点的横坐标，判断出A（n，y1），B（n+1，y2）在第三象限，C（n+2，y3）在第一象限，进而列出不等式组即可解答.
8．（2024八下·杭州期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，第四个顶点D在反比例函数的图像上，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC=AD，BC∥AD，
∵A（1，0），B（4，2），C（2，3），
∴ ，
∴
∴
即点D坐标为（-1，1），
∵点D在反比例函数的图象上，
∴k=-1×1=-1，
故答案为：A．
【分析】根据平行四边形的性质及坐标平移规律即可确定出D坐标，代入反比例解析式求出k的值．
9．（2024八下·杭州期末）如图，四边形是平行四边形，点为的中点，延长至点，使，连接、、，则在中（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的面积；平行四边形的面积
【解析】【解答】连接BF．
设平行四边形AFEO的面积为4m．
∵FO：OC＝3：1，BE＝OB，AF∥OE
∴S△OBF＝S△AOB＝m，S△OBC＝m，S△AOC＝m，
∴S△AOB：S△AOC：S△BOC＝m：m：m＝3：2：1
故答案为：B．
【分析】连接BF．设平行四边形AFEO的面积为4m，根据平行四边形的性质及三角形面积公式，利用同高三角形面积比等于底的比，表示出S△AOB、S△AOC、S△OBC，即可解答.
10．（2024八下·杭州期末）对于代数式（，a，b，c为常数），下列说法正确的是（ ）
①若，则有两个相等的实数根；
②存在三个实数，使得；
③若与方程的解相同，则．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：①，
方程有两个相等的实数根．
①正确；
②一元二次方程（为常数）最多有两个解，
②错误；
③方程的解为，
将代入得，即：，
将代入得，即：，
∴，则，
即：
③正确．
故答案为：B．
【分析】根据一元二次方程根的判别式，即可判断①；根据一元二次方程(为常数)最多有两个解，即可判断②；解方程求出，再分别代入中，消去c，即可判断③．
11．（2024八下·杭州期末）若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】x≠﹣1
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵式子 在实数范围内有意义，
∴x+1≠0，解得：x≠﹣1．
故答案为：x≠﹣1．
【分析】此代数式是分式，要使分式有意义，则分母不等于0，列出不等式，即可得x的取值范围。
12．（2024八下·杭州期末）已知一个多边形的内角和，则这个多边形是 边形．
【答案】10
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形的边长个数为n，
∴，
解得，
故答案为：10．
【分析】设这个多边形的边长个数为n，根据多边形内角和公式“n边形的内角和为(n-2)×180°”列方程求解即可．
13．（2024八下·杭州期末）某博物馆拟招聘一名优秀志愿讲解员，其中某位志愿者笔试、试讲、面试三轮测试得分分别为90分、94分、92分，综合成绩中笔试占30%，试讲占50%，面试占20%，则该名志愿者的综合成绩为是 分.
【答案】92.4
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：该名志愿者的综合成绩为90×30%+94×50%+92×20%=92.4（分），
故答案为：92.4.
【分析】利用加权平均数公式进行计算，可求出该名志愿者的综合成绩.
14．（2024八下·杭州期末）已知反比例函数，求当，且时自变量x的取值范围 ．
【答案】或
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数中k=-12＜0，
∴图象的两支分别位于第二、四象限，且在每一个象限内y随x的增大而减小，
当时，，
解得x=-8，
∴当时，x≤-8或x＞0.
故答案为：x≤-8或x＞0.
【分析】由于此反比例函数的比例系数k=-12＜0，图象的两支分别位于第二、四象限，且在每一个象限内y随x的增大而减小，故求出当时对应的自变量的取值，根据函数的增减性即可得出答案.
15．（2024八下·杭州期末）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，若，则的值为 ．
【答案】
【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：，是关于的一元二次方程的两个实数根，
，．
，
，
，
，
．
故答案为：．
【分析】利用根与系数的关系 （，） ，用含的式子表示两根之和与两根之积，再结合已知条件整理出求出关于的一元二次方程，即可解方程求解.
16．（2024八下·杭州期末）如图，正方形中，，点在边上，且．将沿对折至，延长交边于点，连接、．有以下结论：①；②；③；④；⑤图中与相等的角有个．其中，正确结论的序号是 （把正确结论的序号都填上）．
【答案】①②④
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
又∵，
∴，
∴①正确；
∵，
∴，
∵，，
设，
则，
中，，
解得，
则，
∴，
∴②正确；
由②可知，在中，，
则，
由图可知：与是同高，
所以它们的面积比会等于底边之比，即，
∴，
∴③错误；
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，，
∴，
；
∴④正确；
与相等的角有，
由可得，
∴⑤错误；
正确结论是①②④，
故答案为：①②④．
【分析】
根据折叠的性质及正方形的性质，易证，由角的和差关系即可判断①；
根据翻折变换的性质和正方形的性质可证；根据角的和差关系求得；在Rt中，根据勾股定理即可判断②；与是同高三角形，即可判断③；通过证明，由平行线的判定可判断④⑤.
17．（2024八下·杭州期末）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】
（1）利用平方差公式计算即可；
（2）二次根式的混合运算，先计算乘法，再合并，即可求解．
（1）解：
（2）解：
18．（2024八下·杭州期末）解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：，∴，
∴，
∴，
解得或．
（2）解：∵，∴，
∴，
∴，
∴或，
解得：或．
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】
（1）用配方法解一元二次方程即可；
（2）用因式分解法解一元二次方程即可．
（1）解：，
∴，
∴，
∴，
解得或．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
解得：或．
19．（2024八下·杭州期末）我市某中学八年级举行“中国梦·校园好声音”歌手大赛，其中八年级（1）、八年级（2）班派出的名选手的比赛成绩如图所示：
（1）根据图，完成表格：
中位数（分） 众数（分） 平均数（分）
班
班
（2）请问，哪个班参加比赛选手的成绩比较整齐？为什么？
【答案】（1）
中位数（分） 众数（分） 平均数（分）
班
班
（2）解：八（1）班参加比赛选手的成绩比较整齐；理由如下：八（1）的成绩的方差为；
八（2）的成绩的方差；
∵两个班的平均分相同，均为，八（1）班的方差小，，
∴八（1）班选手的成绩总体上较整齐．
【知识点】分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】（1）解：∵八（1）的成绩分别是，把这组数据从小到大排列为，
∴这组数据的中位数是分，众数是分，平均数分；
∵八（2）的成绩分别是，把这组数据从小到大排列为，
∴这组数据的众数是90分，
填表如下：
中位数（分） 众数（分） 平均数（分）
班
班
【分析】
（1）根据条形统计图读出对应的数据，再根据中位数、众数的定义及平均数计算公式求解即可；
（2）根据方差的公式计算出两个班的方差，结合平均数和方差，进行比较判断即可解答．
（1）解：∵八（1）的成绩分别是，把这组数据从小到大排列为，
∴这组数据的中位数是分，众数是分，平均数分；
∵八（2）的成绩分别是，把这组数据从小到大排列为，
∴这组数据的众数是90分，
填表如下：
中位数（分） 众数（分） 平均数（分）
班
班
（2）解：八（1）班参加比赛选手的成绩比较整齐；
理由如下：八（1）的成绩的方差为；
八（2）的成绩的方差；
∵两个班的平均分相同，均为，八（1）班的方差小，，
∴八（1）班选手的成绩总体上较整齐．
20．（2024八下·杭州期末）已知有关于x的一元二次方程．
（1）求k的取值范围，并判断该一元二次方程根的情况；
（2）若方程有一个根为，求k的值及方程的另一个根；
（3）若方程的一个根是另一个根3倍，求k的值．
【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程，∴，
∴；
而
，
∴原方程方程有两个实数根．
（2）∵方程有一个根为，∴，
解得：，
∴方程为：，
∴，
∴，
解得：，，
∴方程的另一个解为1．
（3）∵，∴，
∴，，
解得：，，
∵方程的一个根是另一个根3倍，
当时，解得：，经检验符合题意；
当时，解得：，经检验符合题意；
综上：或．
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；根据一元二次根的根的情况求参数
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的定义可得的取值范围，再计算一元二次方程的判别式即可判断方程根的情况；
（2）把代入原方程求解k，再回代到原方程中，即可解出另一个解；
（3）先解出含参数的一元二次方程的两个根，再分两种情况讨论即可．
（1）解：∵关于x的一元二次方程，
∴，
∴；
而
，
∴原方程方程有两个实数根．
（2）∵方程有一个根为，
∴，
解得：，
∴方程为：，
∴，
∴，
解得：，，
∴方程的另一个解为1．
（3）∵，
∴，
∴，，
解得：，，
∵方程的一个根是另一个根3倍，
当时，解得：，经检验符合题意；
当时，解得：，经检验符合题意；
综上：或．
21．（2024八下·杭州期末）如图，菱形的对角线和交于点，点在线段上（不与点，点重合），点在线段上，且，连接，，，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，当时，判断的形状，说明理由．
【答案】（1）证明：四边形是菱形，
，，，
，，
，
即，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
（2）解：是直角三角形，
理由是：，，，，
，，
，
，，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，
即是直角三角形．
【知识点】勾股定理；菱形的判定
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质得出，，，求出，由对角线互相平分证明该四边形是平行四边形，再根据对角线互相垂直证明出菱形；
（2）根据菱形的性质及线段的和差关系求出，和，再根据勾股定理求出，，再根据勾股定理的逆定理即可判断．
（1）证明：四边形是菱形，
，，，
，，
，
即，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
（2）解：是直角三角形，
理由是：，，，，
，，
，
，，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，
即是直角三角形．
22．（2024八下·杭州期末）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，连接，，延长交反比例函数图象于点C．
（1）求一次函数的表达式与反比例函数的表达式；
（2）当时，直接写出自变量x的取值范围为______；
（3）点P是x轴上一点，当时，请求出点P的坐标．
【答案】（1）解：将，代入得 ，解得，
∴一次函数为，
将代入得，
解得，
∴反比例函数的解析式为；
（2）或
（3）解：如图，由题意可知，，∴，
把代入得，， 解得，
∴，
，
，
∴，
∴，即，
∴，
∴或，
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】（2）解：由图象可知，当时， 自变量x的取值范围为或，
故答案为：或；
【分析】
（1）利用待定系数法，将， 代入函数解析式即可解答；
（2）根据图象求解即可；
（3）先求得，再根据三角形面积和差关系得，求得，根据反比例函数的图象是中心对称图形，得出，可得，从而求得，即可求解．
（1）解：将，代入得 ，
解得，
∴一次函数为，
将代入得，
解得，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：由图象可知，当时， 自变量x的取值范围为或，
故答案为：或；
（3）解：如图，由题意可知，，
∴，
把代入得，， 解得，
∴，
，
，
∴，
∴，即，
∴，
∴或，
23．（2024八下·杭州期末）根据以下素材，完成探索任务：
如何故剪出符合要求的矩形纸片？
素材1 如图1，是腰长为的等腰直角三角形卡纸，甲，乙、丙三名同学分别用这样的卡纸试图裁剪出不一样的矩形纸片，并使长方形的四个顶点都在的边上．
素材2 甲同学按图2的方式裁剪，想裁出面积为的矩形纸片，乙同学按图3的方式裁剪，想裁出两边长之比为的矩形纸片，丙同学想裁出面积最大的矩形纸片．
任务1 计算矩形纸片的边长 请帮甲同学计算此矩形纸片的两边长
任务2 计算矩形纸片的面积 请求出符合乙同学裁剪方案的矩形纸片的面积
任务3 计算矩形纸片的最大面积 请帮丙同学计算出面积最大的矩形纸片的面积
【答案】解：任务1：∵是等腰直角三角形，∴，
∵四边形为矩形，
∴，，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
设，则，
∴，
解得：，，
当时，，
当时，，
即甲同学所裁出的矩形纸片的两边长为和；
任务2：当时，设，则，
∵为等腰直角三角形，
∴，
，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴和为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
解得：，
即，，
即此时矩形面积为；
当时，设，则，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴和为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
解得：，
即，，
即此时矩形面积为；
综上分析可知，符合乙同学裁剪方案的矩形纸片的面积为或．
任务3：当按照图1方式裁剪时，设矩形的面积为，，则，根据题意得：
，
∴当时，最大，最大值为
即此时矩形的最大面积为；
当按照图2方式裁剪时，设矩形的面积为，，则，
∴，
根据题意得：，
∴当时，S最大，且最大值为，
即此时矩形的最大面积为；
综上分析可知，矩形纸片的最大面积为．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】任务1：证明为等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出，设，则，根据矩形面积列出关于x的方程：，即可解答；
任务2：根据矩形两边长之比为，可分两种情况讨论：当时，当时，先分别求出矩形的边长，再求出矩形的面积即可；
任务3：分两种情况：按照图1方式裁剪时，按照图2方式裁剪时，分别构造出矩形面积的二次函数，根据二次函数的性质，求出矩形的最大面积，然后比较即可．
24．（2024八下·杭州期末）问题情境：数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动（每个小组的矩形纸片规格相同），已知矩形纸片宽．
动手实践：
（1）如图1，A小组将矩形纸片折叠，点D落在边上的点E处，折痕为，连接，然后将纸片展平，得到四边形． 试判断四边形的形状，并加以证明．
（2）如图2，B小组将矩形纸片对折使与重合，展平后得到折痕，再次过点A折叠使点D落在折痕上的点N处，得到折痕，连结，展平后得到四边形，请求出四边形的面积．
深度探究：
（3）如图 3，C小组将图1中的四边形剪去，然后在边上取点G，H，将四边形沿折叠，使A点的对应点始终落在边上（点不与点D，F重合），点E落在点处，与交于点T．
探究①当在上运动时，的周长是否会变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值．
探究②直接写出四边形面积的最小值．
【答案】解：（1）四边形是正方形，理由如下：
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
由第一步折叠可知：，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
又∵，
∴四边形是正方形；
（2）连接，
由折叠得，
∴
∴
∴是等边三角形，
∴
∴
设则，
由勾股定理得，
∴
解得，（负值舍去）
∴
由折叠得，，
∴；
（3）①的周长不变，为定值12．理由如下：
如图，连接，，过点A作于点M，
由折叠可知，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵的周长，
∴的周长为12．
②过点H作，连接，设，，
在中，，
解得，
由折叠可知，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，四边形是正方形，
∴，
∴，
∴当时，S有最小值为．
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的判定；矩形的性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质和折叠的性质得到，即可得到是菱形，然后利用得到结论即可；
（2）连接，根据折叠可得是等边三角形，即可得到，设根据勾股定理求出DM长，再根据解题即可；
（3）①连接，，过点B作于点M，即可得到，根据全等三角形的对应边相等得到，，然后推理得到，即可得到，求出周长即可；
②过点H作，连接，设，，根据勾股定理得到，然后证明，即可得到求出，得到最值即可．
