2024-2025学年广东省汕头市潮南区高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 7小题，每小题 5分，共 35分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 2.已知复数 = 1+ ，则 的虚部为( )
A. 1 B. 1 C. D.
2. 75° =( )
A. 6 2 B. 6+ 22 2 C.
6 2 6+ 2
4 D. 4
3.已知向量 = (2,3)， = ( , 6)，且 ⊥ ，则 =( )
A. 9 B. 9 C. 4 D. 4
4 , ≥ 0 1.已知函数 ( ) = ln[ ( + 2)], < 0，则 ( 4 ) ( 2) =( )
A. 17 17 1 14 B. 4 C. 4 D. 4
5.已知 ， 是两条不同的直线， 、 是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A.若 // ， ， ，则 //
B.若 ⊥ ， ⊥ ， // ，则 //
C.若 ⊥ ， ⊥ ， ⊥ ，则 ⊥
D.若 // ， ， ，则 //
6.从长度为 2，3，5，6，8 的 5 条线段中任取 3 条，这三条线段能构成一个三角形的概率是( )
A. 25 B.
1
2 C.
3
5 D.
7
10
7.如图，在△ 中，已知 = 2， = 5，∠ = 60°， ， 边上的两条中线 ， 相交于点 ，
则∠ 的正切值是( )
A. 415
B. 4 315
C. 54
D. 5 34
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
8.某水果店为了解本店苹果的日销售情况，依据过去 60 天苹果的日销售量(单位： )绘制了频率分布直方
图(同一组数据用区间中点值作代表)，则下列选项正确的有( )
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A.直方图中的 = 0.025
B.过去 60 天苹果日销售量的平均数估计值为 52
C.过去 60 天苹果日销售量的众数估计值为 50
D.过去 60 天苹果日销售量的中位数估计值为 55
9.已知函数 ( ) = tan(2 3 )，则( )
A. ( ) 的最小正周期为2
B. ( ) 5 的一个对称中心为( 12 , 0)
C. ( ) ( 5 在区间 12 ,
12 )上单调递增
D. ( ) 的图像向右平移6个单位后，解析式为 = tan(2 + 3 )
10.如图，在棱长为 4 的正方体 1 1 1 1中， ， 分别是棱 1 1， 1 1
的中点， 是正方形 1 1 1 1内的动点，则下列结论正确的是( )
A.若 / /平面 ，则点 的轨迹长度为 2 2
B.若 = 17，则点 的轨迹长度为 2
C.若 是正方形 1 1 1 1的中心， 在线段 上，则 + 的最小值为 4 2
D. 81 若 是棱 1 1的中点，三棱锥 的外接球球心为 ，则平面 1 1截球 所得截面的面积为 8
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
11 1.圆锥的底面半径扩大到原来的 2 倍，高缩小为原来的2，则其体积是原来的______倍.
12.一台机床生产一种零件，10 天中生产的次品数为：0，1，0，2，2，0，3，1，2，4，则这 10 天生产
次品数的方差是______．
13.在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，∠ = 120°，∠ 的平分线交 于点 ，且 = 1，
则 9 + 的最小值为______．
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四、解答题：本题共 5小题，共 60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题 12 分)
已知向量 ， 满足| | = 1，| | = 2．
(1) 若向量 与 的夹角为4，求
的值；
(2)若| + | = 2，求| 2 |的值；
(3)若 ⊥ ( + )，求向量 ， 的夹角．
15.(本小题 12 分)
一个箱子里有 6 个大小颜色相同的小球，编号为 1，2，3，4，5，6，从中有放回地抽取 2 次(每次取 1 个
球).设事件 ：“第一次取出的球的号码大于 3”，事件 ：“两次取出的球的号码之和为偶数”．
(1)求事件 的概率；
(2)判断事件 与事件 是否相互独立，并说明理由．
16.(本小题 12 分)
如图，在正三棱柱 1 1 1中， ， 分别为 ， 1的中点．
(1)求证： //平面 1 1；
(2)若 = 1 = 2，求三棱锥 1 1的体积．
17.(本小题 12 分)
如图，四棱锥 中， // ，∠ = 90°， = = = 12 ，侧面 ⊥底面 ， 为
的中点．
(1)求证： ⊥平面 ；
(2)若 = ，求二面角 的余弦值．
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18.(本小题 12 分)
△ 1为锐角三角形，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .已知 为△ 的外心， 为 上一点，且 = 3 ，
2 ( + ) = ．
(1)求角 ；
(2)若 = 3，求△ 面积的取值范围；
(3)若 = 3，求| + 3 |的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.2
12.3320
13.16
14.1；
7；
3
4．
15.(1)由题意有：设 表示第一次取得小球号码， 表示第二次取得小球号码，
( , )( = 1,2,3,4,5,6； = 1，2，3，4，5，6)表示 2 次取得小球号码，
则 = {( , )| = 1，2，3，4，5，6； = 1，2，3，4，5，6}共有 36 个样本点，
= {(4, )，(5, )，(6, )}， = 1，2，3，4，5，6 共有 18 个样本点，
( ) = 18所以 36 =
1
2；
(2) = {(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(2,6)，
(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，
(5,1)，(5,3)，(5,5)，(6,2)，(6,4)(6,6)}，共有 18 个样本点，
= {(4,2)，(4,4)，(4,6)，(5,1)，(5,3)，
(5,5)，(6,2)，(6,4)，(6,6)}共有 9 个样本点，
( ) = 18 = 1 9 1所以 36 2， ( ) = 36 = 4，
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所以 ( ) = ( ) ( )，
所以事件 与事件 相互独立．
16.解：(1)证明：如图，取 的中点 ，连接 ， ，
又 ， 分别为 ， 1的中点，
∴ // 1， // ，又 // 1 1，
∴ // 1 1且 // 1，
又 平面 1 1， 1 1 平面 1 1，
且 平面 1 1， 1 平面 1 1，
∴ //平面 1 1， //平面 1 1，
又 ∩ = ，且 ， 平面 ，
∴平面 //平面 1 1，又 平面 ，
∴ //平面 1 1；
(2)如图，取 的中点为 ，连接 ，
又三棱柱 1 1 1为正三棱柱，
∴易得 ⊥平面 1 1，
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又根据题意可知 = 3，△ 11 1 的面积为2 × 2 × 1 = 1，
∴三棱锥 1 1的体积为：
1 3 1 1 = ．1 1 = 3 × 1 × 3 = 3
17.(1)证明：取 中点 ，连接 ， ，
因为 为 中点，所以 // 且 = 12 ，
又 // 1且 = 2 ，所以 // 且 = ，
所以四边形 为平行四边形，所以 // ，
因为平面 ⊥平面 ，交线 ， ⊥ ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，又 平面 ，所以 ⊥ ，
又 = ， 为 中点，所以 ⊥ ，
又 ∩ = ， 、 平面 ，所以 ⊥平面 ，
所以 ⊥平面 ；
解：(2)取 中点 ，在平面 内过 作 ⊥ 交 延长线于 ，连接 ， ，
因为 = ，所以 ⊥ ，
又平面 ⊥平面 ，交线为 ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
因为 ∩ = ，所以 ⊥平面 ，
因为 平面 ，所以 ⊥ ，
所以∠ 为二面角 的平面角，
设 = 2，则 = 3， = 3 2，2 tan∠ =
= 6， 3 cos∠ =
15，
5
所以二面角 的余弦值为 15．
5
18.(1)由正弦定理及 2 ( + ) = ，得 2 ( + ) = ，
因为 + = sin( + ) = ，
所以 2 = ，
又 > 0 1，所以 = 2，
因为 0 < < ，所以 = 3．
(2) 1 3由题意知， △ = 2 = 4 ，
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由正弦定理得， = ，
1 3
3sin( + ) 3( + )
所以 = =
3 = 3 2 2 3 3 3 3 1 = = 2 + 2 = 2 + 2 ，
0 < < 2
因为△ 为锐角三角形，所以 0 < < 2 ，解得6 < < 2，
+ = 2 3
3 1
所以 > 3 ，0 < < 3，
∈ ( 3所以 2 , 2 3)，
所以 3 3 3 3△ ∈ ( 8 , 2 )，
故△ ( 3 3 , 3 3面积的取值范围为 8 2 ).
(3)设 为△ 外接圆的半径，
= 3由正弦定理得 3 = 2 = 2 ，即 = 1，
2
所以| | = | | = | | = = 1，
2 2 2 2 2
在△ cos∠ = | | +| | | | 1+1 2 中，由余弦定理得
2| ||
= 2 = 2 ，|
2
所以 = | | | |cos∠ = 2 2 ，
2 2 2 2
同理可得 = ， 2
= 2 ，
所以 + 3 = + 3( + ) = + 3 + = + 3 + ( ) = 2 + + ，
所以| + 3 |2 = |2 + + |2 = (2 + + )2
2= 4 +
2 2
+ + 4 + 4 + 2
2 2 2
= 4 + 1 + 1 + 4 × 2 + 4 × 2 + 2 × 2 2 2 2 = 10 2
2 2，
由正弦定理得， = 2 = 2 ， = 2 = 2 ，
所以 2 2 + 2 = 8 2 + 4 2 = 8 × 1 2 + 4 × 1 2 2 2 = 6 4 2 2 2
2
= 6 4 [2( 3 )] 2 2 = 6 + 4 ( 3 2 ) 2 2
= 6 + 4( 1 2 + 32 2 2 ) 2 2 = 6 + 2 3 2 ，
< < 因为6 2，所以3 < 2 < ，所以 0 < 2 ≤ 1，
所以 6 < 2 2 + 2 ≤ 6 + 2 3，
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所以 4 2 3 ≤ | + 3 |2 < 4，即 3 1 ≤ | + 3 | < 2，
故| + 3 |的取值范围为[ 3 1,2)．
第 9页，共 9页
