第一章勾股定理单元测试卷 2025-2026学年北师大版版八年级数学上册
学校:___________姓名：___________班级：___________
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
1.如图，在中，，为上一点，且，如果的面积为，那么的长是 ( )
A. B. C. D.
2.下列各组线段能构成直角三角形的是( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
3.如图，的三边长分别为，，，则下列选项中，正确的是( )
A.
B.
C.
D. 以上都不对
4.下列各组数中，是勾股数的是( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
5.如图，池塘边有，两点，点为过点与垂直方向上一点，测得，，则，两点的距离为( )
A. B. C. D.
6.九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高丈丈尺，中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根尺，试问折断处离地面多高？则折断处离地面的高度为( )
A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺
7.如图，在中，于点，，，，则的长为( )
A. B. C. D.
8.如图，某公园的一块草坪旁边有一条直角小路，公园管理处为了方便群众，沿修了一条近路，已知米，米，则走这条近路可以少走米路．
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.如图，分别以各边为边在外作正方形，，，分别表示这三个正方形的面积已知，，，则是 三角形．
10.在中，，，，的对边分别为，，若，，则 ．
11.如图，以直角三角形的三边为边向外作三个正方形、、若，，则 ．
12.如图，某人要横渡一条宽的河，由于受水流的影响，实际上岸地点偏离欲要到达的地点，则他在河中实际游了
13.如图，在中，是上一点，已知，，，，则的长为 ．
14.如图，线段的长为，延长到，以为一边作正方形，连接，以为一边作正方形，设正方形的面积为，正方形的面积为，则的值为 ．
15.在一棵树的米高处有两个猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到处离树米的池塘边．另一只爬到树顶后直接跃到处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高______米．
16.如图，有两棵树，一棵高米，另一棵高米，两树相距米一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行 米
三、解答题：本题共6小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
判断由线段，，组成的三角形是不是直角三角形．
，，；
，，；
，，；
，，为正整数．
18.本小题分
如图，圆通山上有两只猴子在一棵树上的点处，且，它们都要到处吃东西，其中一只猴子甲沿树爬下再走到离树处的处即，另一只猴子乙先爬到顶处后再沿缆绳滑到处．已知两只猴子所经过的路程相等，设为，求这棵树高有多少米？
19.本小题分
据说古埃及人曾用下面的方法得到直角：如图所示，他们用个等距的结把一根绳子分成等长的段，一个人同时握住绳子的第个结和第个结，另两个人分别握住第个结和第个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，其直角顶点在第个结处．你能说说其中的道理吗？
20.本小题分
如图，为了求出分别位于池塘两岸的点与点的距离，小亮在点处立一标杆，使是直角．测得的长为，的长为，那么点与点的距离是多少？
21.本小题分
如图，在中，，，，是的三边长，
已知，，求
已知，，求
若，，求，．
22.本小题分
如图，，，是直线上的三个点，于点，于点，，，，，求的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是三角形的面积，勾股定理有关知识，在中，得出是的高，然后再利用三角形的面积及勾股定理进行解答即可．
【解答】
解：在中，，
，即是的高，
的面积为，，
，
，
．
故选B．
2.【答案】
【解析】略
3.【答案】
【解析】略
4.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了勾股数，关键是掌握满足的三个正整数、、，称为勾股数．
利用勾股数定义进行分析即可．
【解答】
解：不是，因为
不是，因为不是正整数
不是，因为
是，因为，且、、是正整数．
5.【答案】
【解析】【分析】
在直角三角形中已知直角边和斜边的长，利用勾股定理求得另外一条直角边的长即可．
本题考查的是勾股定理的应用，解题的关键是理解题意根据勾股定理建立方程．
【解答】
解：点是与方向成直角的方向上一点，
．
在中，，，
．
．
．
答：，两点间的距离为，
故选：．
6.【答案】
【解析】略
7.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查勾股定理．
先在中，利用勾股定理求出，再在中利用勾股定理求出即可．
【解答】
解：在中，，
在中，，
故选B．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，正确应用勾股定理．根据勾股定理求出即可解决问题．
【解答】
解：在中，
米，米，
米，
米，
走这条近路可以少走米的路．
9.【答案】直角
【解析】略
10.【答案】
【解析】略
11.【答案】
【解析】解：由勾股定理得：，
，，
，
，
故答案为：．
12.【答案】
【解析】略
13.【答案】
【解析】略
14.【答案】
【解析】解：，，
正方形中，
，
在中，
，
，
即．
故答案为：．
在直角三角形中，由勾股定理知，可得的值．
本题考查勾股定理，解本题关键会应用勾股定理，正方形的面积为边长的平方．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的应用，设出未知数，用表示有关的线段是解题关键．
首先设树的高度为米，用表示，，再利用勾股定理就可求出树的高度．
【解答】
解：设树的高度为米．
两只猴子所经过的距离相等，，
，，
在中根据勾股定理得，
，
，
，
故答案为：．
16.【答案】
【解析】【分析】本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
【解答】解：如图，过点作于，
在中，由勾股定理，得，
米，即小鸟至少飞行米
17.【答案】解：，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形；
，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；
，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；
，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形．
【解析】根据判断三条线段是否能构成直角三角形的三边，需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方，分别对每一小题进行分析，即可得出答案．
本题主要考查了勾股定理的逆定理：用到的知识点是已知的三边满足，则是直角三角形．
18.【答案】解：由题意知：，
两只猴子所经过的路程相等，
，
，
在中，由勾股定理得：
，
解得，
，
答：这棵树高米．
【解析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，读懂题意，得出是解题的关键．
根据两只猴子所经过的路程相等，则，在中，利用勾股定理列出方程，即可解决问题．
19.【答案】解：设每一段的长度为，这样做实际上得到了一个三边长分别为，，的三角形．
因为，
所以由直角三角形的判别条件勾股定理的逆定理可知该三角形是直角三角形．
【解析】见答案
20.【答案】解：在中，，由勾股定理，得，所以点与点的距离是。
【解析】见答案
21.【答案】解：，
所以；
，
所以；
设，，
则，
解得，
所以，．
【解析】本题考查了勾股定理，利用勾股定理解决问题确定直角三角形的直角边与斜边，利用勾股定理列出等式，从而求出未知量．
利用勾股定理即可求出；
利用勾股定理即可求出；
设，，利用勾股定理即可求出、即可．
22.【答案】解：于点，于点，
，
，，是直线上的三个点，
，
，
在中，，
即，
在中，，
即，
，
，
，
故的长为
【解析】根据垂直的定义得到，根据线段的和差得到，根据勾股定理列方程即可得到结论．
本题考查了勾股定理，线段的和差，正确的运用勾股定理是解题的关键．
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