2024-2025学年四川省眉山市高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数，则( )
A. B. C. D.
2.函数的一个对称中心是( )
A. B. C. D.
3.为落实“双碳”目标，某环保组织调研个国家年度的人均碳排放强度单位：吨人年后，得到数据如下：，，，，，，，，，则该组数据的分位数是( )
A. B. C. D.
4.已知一个圆锥的母线长为，表面积为，则该圆锥的底面半径为( )
A. B. C. D.
5.如图，在平行四边形中，是对角线，的交点，，若，则( )
A. B. C. D.
6.已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A. 的最小正周期为
B.
C.
D. 是偶函数
7.庑殿顶是中国传统建筑中等级最高的屋顶形式之一，形态为四面斜坡，有一条正脊和四条斜脊，九章算术中将类似庑殿顶的几何体称为“刍甍”图据记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广袤：南北方向长度；广：东西方向长度”，其体积公式为：上袤下袤广高如图所示，刍甍是底面为矩形的五面体，顶部是一条与底面平行的正脊，四条斜脊长度相等，若下袤为，广为，上袤是下袤的，斜脊与底面所成角均为，则该刍甍的体积为( )
A. B. C. D.
8.设函数，则曲线与所有交点的横坐标之和为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，以下结论正确的是( )
A.
B. 在复平面内，复数对应的点位于第四象限
C.
D. 是纯虚数
10.下列命题中为真命题的是( )
A. 若直线平面，直线，则
B. 两条异面直线被两个平行平面截得的线段的中点连线平行于这两个平面
C. 若平面平面，直线平面，直线平面，则
D. 若直线平面，直线平面，直线平面，直线平面，则
11.在中，，，的重心为，外心为，则下列命题正确的是( )
A.
B.
C. 若向量在方向上的投影向量为，则
D. 若为锐角三角形，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某汽车店欲通过分层随机抽样了解、、三个小区居民对新能源汽车的购买意愿已知这三个小区的人口分别为人、人、人，若总样本量为人，则应从小区抽取______人
13.定义：向量叫向量与的外积，且的模为其中表示向量与的夹角已知点，，，则______．
14.已知，在三棱锥中，平面，，则三棱锥的外接球的表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
为深化共享单车监管工作，某市交通管理部门随机选取名市民开展共享单车使用满意度问卷调查按照百分制评分标准，将这份问卷的结果分成，，，，，组，并作出如图所示的频率分布直方图．
估计本次问卷调查评分的众数和中位数；
估计本次问卷调查评分的平均数同一组数据用该区间的中点值作代表．
16.本小题分
已知向量，若，与的夹角为．
求；
求与夹角的余弦值．
17.本小题分
已知，，分别为三个内角，，的对边，且．
求；
若是边的中点，，求面积的最大值．
18.本小题分
已知函数的两条相邻对称轴的距离为．
求的解析式；
将函数的图象向右平移个单位长度，再将所有点的纵坐标伸长到原来的倍横坐标不变，得到函数的图象．
若，且，求的值；
若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数解，求实数的取值范围．
19.本小题分
如图，在三棱柱中，，为中点，侧面为矩形．
求证：；
若，四棱锥的体积为，求侧棱与底面所成角；
令，若，，求二面角的正弦值的取值范围．
参考答案
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14.
15.由频率分布直方图，可得众数为．
因为，解得．
设中位数为，则前组频率之和为，
又前组频率之和为，
所以中位数在第组，由，解得，故中位数为；
平均数为．
16.因为，，与的夹角为，所以，
所以，
所以．
由知，，
所以，
所以，
设与的夹角为，
所以．
17.法：利用正弦定理化简已知等式可得，
，
．
，，
，
，
；
法：由余弦定理化简已知等式可得，
化简可得，
，
，
；
由题意可得，
两边平方，可得，
，
，可得当且仅当时等号成立，
当且仅当时等号成立，
可得面积的最大值为．
18.由题意得，
根据的相邻两条对称轴的距离为，可得的周期，
所以，可得．
将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象，
再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍横坐标不变，可得的图象，
由，解得，
当时，，可得，
所以．
方程在上恰有两个不同的实数解，
可转化为和的图象在区间上有且只有个交点．
由可得，
根据函数在上的图象，可得：
当时，；当时，；
当时，即时，．
作出函数的大致图象如下：
结合图象，可得，即实数的取值范围是．
19.证明：在三棱柱中，取中点，连接、、，
由题知，，则，又，则，
因为，，平面，
所以平面，
因为平面，
所以E.
因为，为中点，所以，
因为，
所以点到三顶点距离相等，
所以点在底面的射影为的外心．
因为为直角三角形，为斜边中点，
所以平面，
所以即为侧棱与底面所成角，
又因为，
所以，
由，
解得，又因为，所以，
所以侧棱与底面所成角为．
由知平面平面，
所以平面平面，
因为平面平面，
过作于，则平面，平面，
过作于，连接，
则即为二面角的平面角．
因为，，
所以，，，中，，得．
所以．
因为，所以，所以．
所以二面角的正弦值的取值范围．
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