2024-2025学年江西省宜春市丰城九中高一（下）期末
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数是纯虚数，则实数( )
A. B. C. D.
3.函数的定义域是( )
A. B. C. D.
4.已知函数，则的值为( )
A. B. C. D.
5.已知扇形的半径为，弧长为，则此扇形的圆心角正角的弧度数是( )
A. B. C. D.
6.已知命题：，命题：，则命题是命题的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.已知平面向量，是不共线的两个向量，，，，则( )
A. ，，三点共线 B. ，，三点共线
C. ，，三点共线 D. ，，三点共线
8.已知，，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.，是两条异面直线，，在直线上，，在直线上，、、、四点互不相同，则下列结论一定不成立的是( )
A. A、、、四点共面 B.
C. 与相交 D.
10.已知平面向量，，则( )
A. ，，不垂直
B. ，使得，共线
C. 当时，
D. 当时，在方向上的投影向量为
11.已知函数与的图象的对称中心完全相同，则( )
A. 函数为奇函数 B.
C. 直线是图象的一条对称轴 D. 是图象的一个对称中心
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数有______个零点．
13.甲、乙两人独立地攻克一道难题，已知两人能攻克的概率分别是和，则该题被攻克的概率为______．
14.如图，在长方体中，已知，，，是线段上的点，且，则二面角的正切值为
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，，且函数．
若，，求的值；
求函数在上的严格增区间．
16.本小题分
已知，其内角，，的对边分别为，，，且．
求；
若，，为边上的中点，求的长．
17.本小题分
设函数，该函数图像上相邻两个最高点间的距离为，且为奇函数．
求的解析式；
在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，求的取值范围．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，平面，点在棱上．
求；
若平面，求三棱锥的体积；
若二面角的大小为，求．
19.本小题分
设平面内两个非零向量，的夹角为，定义一种新运算“”：．
已知向量，，，求；
设向量，，且，证明：；
已知向量，，，若，求的值．
参考答案
1.
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10.
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13.
14.
15.，，
则，
由，得，则，
，，则，
可得；
由，，
解得，，
又，函数在上的严格增区间为，
16.由题意可得，
所以，
可得，且，则，
可得，且，
所以；
如图：
因为，，
由，所以，解得，
在中，由余弦定理得，则，
又为边上的中点，所以，
在中，由余弦定理得，则，
在中，由余弦定理得，
所以．
17.由函数图像上相邻两个最高点间的距离为，可得，解得，
所以，
又因为为奇函数，所以，即，又，所以，
所以；
因为，
由正弦定理得，
所以，
所以，
所以，，则，
由知，
所以
，
又因为，解得，
所以，
所以的取值范围为．
由题意知，可得，由为奇函数，可求得；
，由，可得，从而有，根据三角恒等变换化简，利用三角函数的性质可求取值范围．
本题主要考查了正弦函数性质的应用，正弦定理，和差角公式的应用，属于中档题．
18.证明：因为平面，平面，所以平面平面，
又因为，平面，平面平面，所以平面，
又因为平面，所以，所以三角形为直角三角形，
所以，即．
连接与交于点，连接，
因为平面，平面，平面平面，
所以，可知为的中点，而平面，平面，因此，
在三角形中，，，，
所以，，，
所以
．
根据题意知平面，过点作的平行线交于点，
所以平面，再作为垂足，
由于平面，因此，而，，平面，
因此平面，而平面，因此，
所以为二面角的平面角，，
根据第二问可知，因此三角形是等腰直角三角形，
同理三角形也是等腰直角三角形，从而，
在三角形中，，，所以，
设，，那么且，
所以，所以．
19.设向量的夹角为．
因为，，，
所以，
则，，
所以；
证明：由题知，
所
，
所以，
所以；
由题知，，
所以，
又因为，所以，
所以．
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