2024-2025学年内蒙古部分学校高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
3.下列四组函数中，两个函数表示的是同一个函数的是( )
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
4.若复数是方程的根，其中，，则的值为( )
A. B. C. D.
5.圆上的点到直线的距离的最小值是( )
A. B. C. D.
6.如图，这是一个正方体的平面展开图，将其还原成正方体后，下列直线中与直线平行的是( )
A.
B.
C.
D.
7.在菱形中，设向量，则向量( )
A. B. C. D.
8.方程的正整数解共有( )
A. 组 B. 组 C. 组 D. 组
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知的展开式中，各项的二项式系数之和为，则( )
A. B. 各项系数之和为
C. 第项的二项式系数最大 D. 常数项为
10.已知函数，则( )
A. 的图象关于直线对称
B. 在上单调递增
C. 在上的值域为
D. 将函数图象上所有点的纵坐标扩大到原来的倍，横坐标不变，可以得到的图象
11.已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，，且为上一个动点，则( )
A. B. 的长轴长为
C. 的最小值为 D. 的最大值是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.样本数据，，，，，，的极差为______．
13.在锐角中，角，，的对边分别是，，若，则 ______．
14.已知一个圆锥的母线长为，则当该圆锥的体积取最大值时，该圆锥的侧面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在数列中，，且．
求的通项公式；
求的最小值；
求数列的前项和．
16.本小题分
小张从一个口袋内取小球，每次取一个小球，每次取到红球的概率为，取到白球的概率为，已知每次取到红球还是白球相互独立，他连续取球次，直至取到个红球则停止取球，设停止取球时已取球的次数的概率为．
求；
求；
若小张在取球次之内含次可以停止取球，设他停止取球时已取球的次数为，求的分布列与期望．
17.本小题分
如图，在直三棱柱中，，，点，，，分别为，，，的中点．
证明：，，，四点共面．
证明：平面C.
求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线方程．
证明：在上存在极小值．
判断在上是否存在零点，并说明理由．
19.本小题分
已知抛物线：经过点，的焦点在轴的正半轴上，点，在上运动．
求的方程．
若直线的方程为，求内切圆的半径．
设点，且平分，试问直线：是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．
参考答案
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15.在数列中，，且，
可得，
所以数列是首项和公差均为的等差数列，
所以，得．
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为．
因为，
可得，
所以．
16.表示连续取球次且次都取到红球的概率，
所以．
表示连续取球次，且前次中有次取到红球，第次取到红球的概率，
所以．
表示连续取球次，且前次中有次取到红球，第次取到红球的概率，
所以．
由题意随机变量可取，，，
所以，
，
，
则的分布列为：
所以．
17.证明：连接，，
因为，，，分别为，，，的中点，
所以易得，，
所以，
所以，，，四点共面．
证明：因为三棱柱是直三棱柱，
所以平面，平面，
则，
又因为，，，平面，
所以平面，
因为平面，
所以，
连接，
因为，分别为，的中点，
所以，
因为，
所以易得四边形为正方形，则，
所以，
因为，，平面，
所以平面C.
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，
所以，，
由易得为平面的一个法向量，
设直线与平面所成的角为，
则，，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
18.因为，
所以；
又，
所以，
故所求切线方程为，即；
证明：因为的图象是一条连续不断的曲线，
又，
．
所以在上必存在一个异号零点，
即存在正数，使得，且当时，，
当时，，
所以在处取得极小值，即在上存在极小值．
在上无零点．
理由如下：
当时，，，可得．
令函数，则，
当时，，单调递增．
又，所以，
从而，所以在上无零点．
19.因为抛物线经过点，
所以，
解得或，
因为抛物线的焦点在轴的正半轴上，
所以，
则，
故抛物线的方程为；
设，
联立，消去并整理得，
此时，
由韦达定理得，，
则，
，
因为点到直线的距离，
所以的面积，
则；
因为平分，
所以，
设，，
则，
因为，，
所以，
整理得，
所以，
即，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，，
因为，
所以，
因为，
所以，
即，
所以直线方程为．
则直线过定点．
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