2024-2025学年云南省曲靖市某中学高一下学期期末数学试卷
一、单选题：本大题共8小题，共40分。
1.已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为( )
A. B.
C. D.
2.已知，，，则，，的大小关系正确的是( )
A. B. C. D.
3.实心圆锥的底面直径为，高为，过中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的表面积为( )
A. B.
C. D.
4.设，则( )
A. B. C. D.
5.在中，若，则的形状一定是( )
A. 等腰三角形 B. 等腰或直角三角形
C. 等腰直角三角形 D. 不含的直角三角形
6.已知为偶函数，且当时，，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
7.如图，在中，已知，，边上存在点，使，且，那么的长是( )
A. B.
C. D.
8.已知复数满足，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本大题共3小题，共18分。
9.已知正数满足，则( )
A. 的最大值为 B. 的最小值为
C. 的最大值为 D. 的最小值为
10.在中，角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若为锐角三角形，则
C. 若，，，则满足条件的有两个
D. 若，则为等腰三角形
11.已知函数，将的图像上所有点向右平移个单位长度，然后横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图像．若为奇函数，且最小正周期为，则下列说法正确的是( )
A. 函数的图像关于点中心对称
B. 函数在区间上单调递减
C. 不等式的解集为
D. 方程在上有个解
三、填空题：本大题共3小题，共15分。
12.设和是两个不共线的向量，若，，，且，，三点共线，则实数的值等于 ．
13.如图，在正四棱台中，若该四棱台的体积为，则该四棱台的高为 ；外接球的表面积为 ．
14.已知函数在上恰有个零点，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.如图，在等边中，，点在边上，且过点的直线分别交射线，于不同的两点，．
设，，试用，表示；
求；
设，，求的最小值．
16.已知关于的实系数一元二次方程．
若一根为，求，的值；
设，是虚数根，记，，在复平面上对应点分别为，，，求的值．
17.如图，在直三棱柱中，是边长为的等边三角形，分别是线段的中点．
证明：平面平面．
求点到平面的距离．
18.已知向量，，设函数．
化简并写出的最小正周期；
若，且，求的值；
在锐角中，若，，求周长的取值范围．
19.如图，在等腰梯形中，，将沿边翻折，使点翻折到点，连接，得到三棱锥，如图，其中．
证明：平面．
若，求三棱锥的体积．
求二面角的正切值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.；
14.
15.【详解】由，得，所以．
在等边中，，
由得，
，，，
，
所以．
由知，，而，，
因此，而共线，则，
又，于是，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值是．
16.【详解】依题意可知，实系数一元二次方程的两根为，，
根据韦达定理，，解得，．
若，则方程的根为，，
若，则，，则，，，
所以；
若，则，，则，，，
所以；
故．
17.【详解】连接．
由棱柱的定义可知四边形为平行四边形，则与相交且互相平分．
因为为线段的中点，所以为线段的中点．
因为分别是线段的中点，所以．
因为平面平面，所以平面．
因为分别是线段的中点，所以．
由棱柱的定义可知，则．
因为平面平面，所以平面．
因为平面平面，且，所以平面平面．
方法一取的中点，连接，
则，所以点在平面内
由已知条件可知平面，则平面．
又平面，所以平面平面，
所以点到平面的距离即点到的距离，
所以．
方法二由可知平面平面，则点到平面的距离等于点到平面的距离．
连接．
因为是边长为的等边三角形，所以．
由直棱柱的定义可知平面平面，则平面，即点到平面的距离为．
因为是线段的中点，所以点到平面的距离为．
因为，所以，
则三棱锥的体积．
因为是的中位线，且，所以．
由题意可知，所以，则的面积
三棱锥的体积．
因为，所以，解得．
18.【详解】
故最小正周期为．
因为，由，则，
所以，
则
；
因为，又为锐角三角形，
所以，则，
由正弦定理，
可得三角形的周长
，
由为锐角三角形，可得，
因为都在上单调递增，
所以在上单调递减，
即
所以的取值范围为．
19.【详解】
如图，在梯形中，取边的中点，连接，
，，，，
四边形是平行四边形，，
，，，
，且，所以，
，平面平面，且，
平面．
如图，取的中点，连接，
由可知平面，且平面，则平面平面，
，且为线段的中点，，
平面平面，平面，平面，
，，，
，，，
三棱锥的体积．
如图，过作，垂足为，取的中点，连接，
则，从而，
由知平面，平面，，
又，平面，平面，平面，
平面，，
为二面角的平面角，
设，，，，，
则，
又，．
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