2024-2025 学年北京市朝阳区青苗国际学校常营校区高一（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1. = 是四边形 构成平行四边形的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.对于非零向量 ， ，下列命题中正确的是( )
A. = 0 //
B. // 在 上的投影向量为 | | ( 是与 方向相同的单位向量)
C. ⊥ = ( )2
D. = =
3.已知 = (5, 2)， = ( 4, 3)， = ( , )，若 2 + 3 = 0，则 =( )
A. (1, 83 ) B. (
13
3 ,
8
3 ) C. (
13 , 43 3 ) D. (
13
3 ,
4
3 )
4.若△ 的角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， = 60°， 2 = ，则△ 一定是( )
A.底边和腰不相等的等腰三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.等边三角形
5.下列说法错误的是( )
A.矩形旋转一周一定形成一个圆柱 B.任意 面体都可以分割成 个棱锥
C.棱台的侧棱的延长线必交于一点 D.一个八棱柱有 10 个面
6.三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，长分别为 ， ， ，则这个三棱锥的体积为( )
A. 1 1 1 13 B. 6 C. 12 D. 24
7.设 1 = 3 4 ， 2 = 2+ 3 ，则 1 + 2在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
8.设 是原点， ， 对应的复数分别为 2 3 ， 3 + 2 ，那么 对应的复数是( )
A. 5+ 5 B. 5 5 C. 5 + 5 D. 5 5
9.若(1 ) + (2 + 3 ) = + ( , ∈ )， 是虚数单位，则 ， 的值分别等于( )
A. 3， 2 B. 3，2 C. 3， 3 D. 1，4
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10.若△ 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， = 80， = 100， = 30°，则 的解的个数是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D.不确定
二、填空题：本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分。
11 5.复数3+4 的共轭复数是______．
12.正方体相邻两个面的两条对角线所成角的大小是______．
13.若长方体所有顶点都在一个球面上，长、宽、高分别是 3，2，1，则这个球面的面积为______．
14.若向量 = (6, 8)，则与 平行的单位向量是______．
15.已知向量| | = 3， = (1,2)，且 ⊥ ，则 的坐标是______．
16.在△ 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 = 50 3， = 150， = 30°，则边长
= (1) 或 (2) ．
三、解答题：本题共 4 小题，共 36 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题 8 分)
已知过 点的任意两个不共线的非零向量 , ，若 = + , = + 2 , = + 3 ．
(1)请你猜想 ， ， 三点的位置关系．
(2)证明你的猜想．
18.(本小题 10 分)
已知 = 3 1 2 2, = 4 1 + 2，其中 1 = (1,0), 2 = (0,1)，求：
(1) ；| + |；
(2) 与 的夹角的余弦值．
19.(本小题 8 分)
已知△ 三个内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，向量 = ( , 3 )， = ( , )，且 ⊥ ．
(1)求角 ；
(2)若 = 7， = 2，求△ 的面积．
20.(本小题 10 分)
已知函数 ( ) = sin( 4 + )sin( 4 ) + 3 ．
(1)化简函数 ( )为 ( + )( > 0, > 0, > 0) 的形式，并求 ( 6 )的值．
(2)在△ 中，若 ( 2 ) = 1，求 + 的最大值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.3 45 + 5
12.60°
13.14
14.( 35 ,
4 3
5 )或( 5 ,
4
5 )
15.( 6 5 , 3 5 ) ( 6 5 3 55 5 或 5 , 5 )
16.50 3；100 3
17.由 = + , = + 2 , = + 3 ．
(1)猜想 ， ， 三点共线．
证明：(2)因为 = = + 2 ( + ) = ，
= = + 3 ( + ) = 2 ，
所以 = 2 ．
又 , 均过 点，因此 ， ， 三点共线．
18.解：(1) ∵ 1 = (1,0), 2 = (0,1)，
∴ | 1| = | 2| = 1，又 = 3 1 2 2, = 4 1 + 2，
∴ = (3 1 2 2) (4 1 + 2) = 12| |2 2| |21 2 5 1 2
= 10；
+ = 3 1 2 2 + 4 1 + 2 = 7 1 2 = (7,0) (0,1) = (7, 1)，
∴ | + | = 72 + ( 1)2 = 50 = 5 2；
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(2)| | = |3 1 2 2| = |(3, 2)| = 13，| | = |4 1+ 2| = |(4,1)| = 17，
∴ 与 的夹角的余弦值为 ．
19.解：(1)因为 ⊥ ，所以 = + 3 = 0，
由正弦定理得 + 3 = 0，
因为 ≠ 0，所以 + 3 = 0，即： = 3，
又因为 0 < < 2，所以 = 3 ；
(2)由余弦定理可得： 2 = 2 + 2 2 ，
代入可得关于 的方程： 2 + 2 3 = 0，解得： = 1 或 = 3(舍)，
1
由三角形面积公式 △ = 2 =
1 3 3
2 × 2 × 1 × 2 = 2 ．
20.(1)因为 ( ) = sin( 4 + )sin(
4 ) + 3
3
= sin( 4 + )cos( 4 + ) + 2 2
= 12 sin(
+ 2 ) + 3 2 = 12 2 2 2 +
3
2 2 = sin(2 +
6 )，
即 ( ) = sin(2 + 6 )，
所以 ( 6 ) = sin(2 ×
6 + 6 ) = sin
2 = 1．
(2) ( ) = sin( + 因为 2 6 ) = 1，因为 ∈ (0, )
7
，所以 + 6 ∈ ( 6 , 6 )
+ 所以 6 = 2，解得 = 3，
故 + = + sin( 2 2 2 3 ) = + sin 3 cos 3
= 32 +
3
2 = 3sin( +
6 )，
∈ (0, 2 ) + ∈ ( , 5 ) sin( + ) ∈ 1因为 3 ， 6 6 6 ，所以 6 2，1]，
所以 3sin( + 6 ) ≤ 3，
所以 = 3时， + 取得最大值，且最大值为 3．
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